1[2026 浙江温州调研,中]已知三角形 ABC 中，$∠ C＞90°,AC=5,BC=3,AB=x$,则 $x$ 的取值范围是（）

A.$2＜x＜8$
B.$3＜x＜8$
C.$2＜x≤8$
D.$5＜x＜8$

D

【解析】
1. 先根据三角形三边关系确定初步范围：
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知$AC=5$，$BC=3$，因此$5-3 ＜ x ＜ 5+3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
2. 结合$∠ C＞90°$的钝角条件进一步限定范围：
当$∠ C=90°$时，由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，因为$∠ C＞90°$，根据钝角三角形的性质，钝角所对的边为最长边，且长度大于直角时的斜边长，因此$x^2 ＞ AC^2+BC^2=34$，可得$x＞\sqrt{34}\approx5.83$，同时$AB$是三角形的最长边，需满足$x＞AC=5$，结合三边关系最终得到$5 ＜ x ＜ 8$。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
勾股定理应用
钝角三角形性质
【点评】
本题容易忽略$∠ C＞90°$的钝角条件，直接套用普通三角形三边关系错选A，解题时需要同时结合钝角对边大于直角斜边的性质，双重约束得到边长的准确范围。
【难度系数】
0.6

2[2026江苏扬州质检,中]定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”,有两条边的长分别为4和6,则第三条边的长为.

2.3或8
【解析】设三角形第三边的长是x.由三角形三边关系得6-4＜x＜6+4,
∴2＜x＜10.若2x=4,则x=2;若2x=6,则x=3;若x=2×4,则x=8;若x=2×6,则x=12.
∵2＜x＜10,
∴三角形第三边的长是3或8.故答案为3或8.

3[2026江苏南京期末,较难]如果三角形三边长分别是正整数$a,b,c$,且$a＞b＞c,b=5$,那么满足条件且周长均不同的三角形共有个.

3.5
【解析】
∵a,b,c是一个三角形的三边长,a＞b＞c,b=5,
∴a-c＜b=5＜a+c.当c=4时,a-4＜5＜a+4,
∴5＜a＜9.又
∵a是正整数,
∴a的值可以为6或7或8,
∴此时该三角形的周长为4+5+6=15或4+5+7=16或4+5+8=17.
当c=3时,a-3＜5＜a+3,
∴5＜a＜8.又
∵a是正整数,
∴a的值可以为6或7,
∴此时该三角形的周长为3+5+6=14或3+5+7=15.当c=2时,a-2＜5＜a+2,
∴5＜a＜7.又
∵a是正整数,
∴a的值为6,
∴此时该三角形的周长为2+5+6=13.当c=1时,a-1＜5＜a+1,
∴5＜a＜6.又
∵a是正整数,
∴此时不符合题意.综上所述,该三角形的周长可以为13或14或15或16或17,共有5个不同的值,故答案为5.

4[2026江苏南通质检,中]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+y=a+3, \\x+3y=7a-7.\end{cases}$
(1)求这个方程组的解(用含$a$的式子表示$x$和$y$);
(2)若长为$x,y,a$的三条线段恰好可以围成一个三角形,求$a$的取值范围.

4.【解】(1)$\begin{cases}3x+y=a+3,① \\x+3y=7a-7,②\end{cases}$ ①×3-②,得8x=-4a+16,解得$x=-\frac{1}{2}a+2$.把$x=-\frac{1}{2}a+2$代入①,得$3×(-\frac{1}{2}a+2)+y=a+3$,解得$y=\frac{5}{2}a-3$,
∴方程组的解是$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}a+2, \\y=\frac{5}{2}a-3.\end{cases}$
(2)
∵长为x,y,a的三条线段恰好可以围成一个三角形,
∴$\begin{cases}a＞0, \\-\frac{1}{2}a+2＞0, \\\frac{5}{2}a-3＞0,\end{cases}$解得$\frac{6}{5}＜a＜4$.由三角形三边关系得$\begin{cases}x+y＞a, \\x+a＞y, \\a+y＞x,\end{cases}$
∴$\begin{cases}(-\frac{1}{2}a+2)+(\frac{5}{2}a-3)＞a, \\(-\frac{1}{2}a+2)+a＞\frac{5}{2}a-3, \\\frac{5}{2}a-3+a＞-\frac{1}{2}a+2,\end{cases}$解得$\frac{5}{4}＜a＜\frac{5}{2}$.综上所述,$\frac{5}{4}＜a＜\frac{5}{2}$.
关键点拨
(2)本题考查三角形三边关系与不等式的综合应用,关键是作辅助线构造三角形,从而将不等关系联系起来.

5 核心素养几何直观 [2026 江苏宿迁调研,较难]
【阅读材料】
在解决几何问题时,我们经常需要比较线段和的大小.其中一种有效的方法是将多个不等号方向相同的不等式相加,从而得到新的不等式,这种方法称为同向不等式相加.核心原理:
如果 $a＞b,c＞d$,那么 $a+c＞b+d$.
如何选择和应用不等式,是成功使用此方法的关键.请思考并完成以下探究问题.
【问题探究】
(1)(基础应用)
如图(1),在$△ ABC$中,当点$P$位于边$BC$上时(不与$B,C$重合),$AC+BC$ $PA+PB$(填“＜”“＞”或“=” ).
(2)(核心方法)
如图(2),当点$P$位于$△ ABC$内部时,求证:$AB+AC＞PB+PC$.
(3)(能力提升)
如图(3),$P,Q$是$△ ABC$内部的两点,连接$BP,PQ,QC$,构成四边形$BPQC$.求证:$AB+AC＞BP+PQ+QC$.
(4)(拓展创新)
如图(4),$P$是$△ ABC$内任意一点.我们定义比值 $k=\dfrac{PA+PB+PC}{AB+BC+CA}$,即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值.利用(2)中的结论,直接写出$k$的取值范围是 .

5.(1)【解】根据三角形的三边关系可得PC+AC＞PA,
∴PC+AC+PB＞PA+PB,
∴AC+BC＞PA+PB,故答案为＞.
(2)【证明】如图(1),延长BP交AC于点E.
在△ABE中,AB+AE＞BE,BE=BP+PE,
∴AB+AE＞BP+PE.在△PCE中,PE+EC＞PC,
∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC,
∴AB+AE+EC＞BP+PC,即AB+AC＞PB+PC.
(3)【证明】如图(2),延长PQ交AC于点F,延长QP交AB于点E.
在△AEF中,AE+AF＞EP+PQ+QF;在△EBP中,EP+EB＞BP;在△QFC中,QF+FC＞QC,
∴AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC,
∴AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC,即AB+AC＞BP+PQ+QC.
(4)【解】由(2)得AB+AC＞PB+PC,AB+BC＞PA+PC,AC+BC＞PA+PB,
∴2(AB+BC+AC)＞2(PA+PB+PC),
∴$\frac{PA+PB+PC}{AB+BC+AC}＜1$,即k＜1.在△ABP中,PA+PB＞AB;在△ACP中,PA+PC＞AC;在△BPC中,PC+PB＞BC,
∴2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC,
∴$\frac{PA+PB+PC}{AB+BC+AC}＞\frac{1}{2}$,即$k＞\frac{1}{2}$.
综上,$\frac{1}{2}＜k＜1$,故答案为$\frac{1}{2}＜k＜1$.
关键点拨
三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分.