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四、解答题
18. 若方程$|(m-2)x^2|-(m+2)x-6=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1)求$m$的值；
(2)判断$x=3$，$x=-\dfrac{3}{2}$，$x=\dfrac{3}{2}$是不是方程的解.
18. 若方程$|(m-2)x^2|-(m+2)x-6=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1)求$m$的值；
(2)判断$x=3$，$x=-\dfrac{3}{2}$，$x=\dfrac{3}{2}$是不是方程的解.
答案
(1)$m=2$
(2)$x=3$，$x=\dfrac{3}{2}$不是方程的解；$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解
(2)$x=3$，$x=\dfrac{3}{2}$不是方程的解；$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解
解析
【分析】
(1) 要确定m的值，需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程只含1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不能为0。本题方程含x²项，要使其为一元一次方程，必须让x²项的系数为0，据此列等式求出m的取值后，再验证一次项系数是否不为0即可。
(2) 判断x的值是不是方程的解，先将(1)中求出的m代入原方程得到具体的一元一次方程，既可以先解方程得到准确解再对比三个x值，也可以将三个x值分别代入方程左右两边，若左右两边相等就是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 解：
∵ 方程$|(m-2)x^2|-(m+2)x-6=0$是关于$x$的一元一次方程
∴ x²项的系数必须为0，即$m-2=0$，解得$m=2$
此时一次项系数为$-(m+2)=-(2+2)=-4≠0$，符合一元一次方程的要求
故$m=2$。
(2) 解：将$m=2$代入原方程，可得：$-4x - 6 = 0$
分别代入三个x值验证：
① 当$x=3$时，左边$=-4×3 -6 = -18$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=3$不是方程的解；
② 当$x=-\dfrac{3}{2}$时，左边$=-4×(-\dfrac{3}{2}) -6 = 6 - 6 = 0$，右边$=0$，左边=右边，因此$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
③ 当$x=\dfrac{3}{2}$时，左边$=-4×\dfrac{3}{2} -6 = -6 -6 = -12$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=\dfrac{3}{2}$不是方程的解。
【答案】
(1)$m=2$
(2)$x=3$，$x=\dfrac{3}{2}$不是方程的解；$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的判定
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础考查题，解题核心是明确一元一次方程的判定条件，判断方程解的方法简单易操作，整体考查方向常规，只要掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定m的值，需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程只含1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不能为0。本题方程含x²项，要使其为一元一次方程，必须让x²项的系数为0，据此列等式求出m的取值后，再验证一次项系数是否不为0即可。
(2) 判断x的值是不是方程的解，先将(1)中求出的m代入原方程得到具体的一元一次方程，既可以先解方程得到准确解再对比三个x值，也可以将三个x值分别代入方程左右两边，若左右两边相等就是方程的解，反之则不是。
【解析】
(1) 解：
∵ 方程$|(m-2)x^2|-(m+2)x-6=0$是关于$x$的一元一次方程
∴ x²项的系数必须为0，即$m-2=0$，解得$m=2$
此时一次项系数为$-(m+2)=-(2+2)=-4≠0$，符合一元一次方程的要求
故$m=2$。
(2) 解：将$m=2$代入原方程，可得：$-4x - 6 = 0$
分别代入三个x值验证：
① 当$x=3$时，左边$=-4×3 -6 = -18$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=3$不是方程的解；
② 当$x=-\dfrac{3}{2}$时，左边$=-4×(-\dfrac{3}{2}) -6 = 6 - 6 = 0$，右边$=0$，左边=右边，因此$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解；
③ 当$x=\dfrac{3}{2}$时，左边$=-4×\dfrac{3}{2} -6 = -6 -6 = -12$，右边$=0$，左边≠右边，因此$x=\dfrac{3}{2}$不是方程的解。
【答案】
(1)$m=2$
(2)$x=3$，$x=\dfrac{3}{2}$不是方程的解；$x=-\dfrac{3}{2}$是方程的解
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的判定
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础考查题，解题核心是明确一元一次方程的判定条件，判断方程解的方法简单易操作，整体考查方向常规，只要掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
19. 已知关于$x$，$y$的方程满足方程组$\begin{cases}3x+2y=m+1, \\2x+y=m-1.\end{cases}$
(1)若$5x+3y=-6$，求$m$的值；
(2)若$x$，$y$均为非负数，求$m$的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求$S=2x-3y+m$的最大值和最小值。
(1)若$5x+3y=-6$，求$m$的值；
(2)若$x$，$y$均为非负数，求$m$的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求$S=2x-3y+m$的最大值和最小值。
答案
(1)$m=-3$
(2)$3≤m≤5$
(3)最大值为9，最小值为$-3$
(2)$3≤m≤5$
(3)最大值为9，最小值为$-3$
解析
【分析】
(1) 观察方程组两个方程的左边，相加后恰好等于5x+3y，因此直接将两个方程相加，即可得到5x+3y与m的关系，代入已知条件就能快速求出m的值。
(2) 要得到x、y均为非负数时m的取值范围，首先用消元法解方程组，将x、y都用含m的代数式表示，再根据x≥0、y≥0列出关于m的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到m的范围。
(3) 把(2)中用m表示的x、y代入S的表达式，化简得到S关于m的一次式，结合m的取值范围，根据一次式的增减性就能求出S的最大值和最小值。
【解析】
(1) 将方程组中的两个方程相加：
$\begin{aligned}(3x+2y)+(2x+y)&=(m+1)+(m-1)\\5x+3y&=2m\end{aligned}$
已知$5x+3y=-6$，代入得：
$2m=-6$
解得$m=-3$。
(2) 解方程组$\begin{cases}3x+2y=m+1&①\\2x+y=m-1&②\end{cases}$
用加减消元法，②×2得：$4x+2y=2m-2$ ③
③-①得：$x=m-3$
将$x=m-3$代入②得：$2(m-3)+y=m-1$
解得$y=-m+5$
∵x、y均为非负数，
∴$\begin{cases}x≥0\\y≥0\end{cases}$，即$\begin{cases}m-3≥0\\-m+5≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥3$，解第二个不等式得$m≤5$
∴m的取值范围是$3≤ m≤5$。
(3) 将$x=m-3$，$y=-m+5$代入$S=2x-3y+m$：
$\begin{aligned}S&=2(m-3)-3(-m+5)+m\\&=2m-6+3m-15+m\\&=6m-21\end{aligned}$
∵6＞0，
∴S随m的增大而增大
结合$3≤ m≤5$：
当$m=3$时，S取得最小值，$S_{最小}=6×3-21=-3$
当$m=5$时，S取得最大值，$S_{最大}=6×5-21=9$
【答案】
(1)$m=-3$；(2)$3≤ m≤5$；(3)最大值为9，最小值为$-3$
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次不等式组应用，代数式最值计算
【点评】
本题是代数综合类题型，将二元一次方程组、不等式组和代数式求值结合考察，核心解题思路是用参数m表示x、y，再结合不同条件逐步推导，对逻辑推导能力有一定要求，是该章节的经典考法。
【难度系数】
0.6
(1) 观察方程组两个方程的左边，相加后恰好等于5x+3y，因此直接将两个方程相加，即可得到5x+3y与m的关系，代入已知条件就能快速求出m的值。
(2) 要得到x、y均为非负数时m的取值范围，首先用消元法解方程组，将x、y都用含m的代数式表示，再根据x≥0、y≥0列出关于m的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到m的范围。
(3) 把(2)中用m表示的x、y代入S的表达式，化简得到S关于m的一次式，结合m的取值范围，根据一次式的增减性就能求出S的最大值和最小值。
【解析】
(1) 将方程组中的两个方程相加：
$\begin{aligned}(3x+2y)+(2x+y)&=(m+1)+(m-1)\\5x+3y&=2m\end{aligned}$
已知$5x+3y=-6$，代入得：
$2m=-6$
解得$m=-3$。
(2) 解方程组$\begin{cases}3x+2y=m+1&①\\2x+y=m-1&②\end{cases}$
用加减消元法，②×2得：$4x+2y=2m-2$ ③
③-①得：$x=m-3$
将$x=m-3$代入②得：$2(m-3)+y=m-1$
解得$y=-m+5$
∵x、y均为非负数，
∴$\begin{cases}x≥0\\y≥0\end{cases}$，即$\begin{cases}m-3≥0\\-m+5≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥3$，解第二个不等式得$m≤5$
∴m的取值范围是$3≤ m≤5$。
(3) 将$x=m-3$，$y=-m+5$代入$S=2x-3y+m$：
$\begin{aligned}S&=2(m-3)-3(-m+5)+m\\&=2m-6+3m-15+m\\&=6m-21\end{aligned}$
∵6＞0，
∴S随m的增大而增大
结合$3≤ m≤5$：
当$m=3$时，S取得最小值，$S_{最小}=6×3-21=-3$
当$m=5$时，S取得最大值，$S_{最大}=6×5-21=9$
【答案】
(1)$m=-3$；(2)$3≤ m≤5$；(3)最大值为9，最小值为$-3$
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次不等式组应用，代数式最值计算
【点评】
本题是代数综合类题型，将二元一次方程组、不等式组和代数式求值结合考察，核心解题思路是用参数m表示x、y，再结合不同条件逐步推导，对逻辑推导能力有一定要求，是该章节的经典考法。
【难度系数】
0.6
