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20. 在实数范围内定义一种新运算“⊗”，其运算规则为：$a⊗b=3a+2(b−a)$，如1⊗4=3×1+2×(4−1)=9.
(1)若$x⊗3=4$，求x的值；
(2)求不等式$x⊗2＞−1⊗(x+2)$的最大整数解.
(1)若$x⊗3=4$，求x的值；
(2)求不等式$x⊗2＞−1⊗(x+2)$的最大整数解.
答案
(1)$x=-2$
(2)$0$
(2)$0$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解新运算“⊗”的规则：$a⊗b=3a+2(b−a)$，解题时只需将对应位置的数或代数式代入运算规则，把新运算转化为我们熟悉的常规四则运算即可。第(1)问代入后得到一元一次方程，按解方程的步骤求解$x$；第(2)问左右两边分别按新运算展开后得到一元一次不等式，解不等式后找出符合条件的最大整数解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则，$x⊗3$中$a=x$，$b=3$，代入得：
$3x + 2×(3 - x) = 4$
去括号：$3x + 6 - 2x = 4$
合并同类项：$x + 6 = 4$
移项得：$x = 4 - 6$
解得：$x = -2$
(2) 先分别化简不等式左右两边的新运算：
左边：$x⊗2 = 3x + 2×(2 - x) = 3x + 4 - 2x = x + 4$
右边：$-1⊗(x+2)$中$a=-1$，$b=x+2$，代入得：
$3×(-1) + 2×[(x+2) - (-1)] = -3 + 2×(x + 3) = -3 + 2x + 6 = 2x + 3$
原不等式转化为：$x + 4 ＞ 2x + 3$
移项：$x - 2x ＞ 3 - 4$
合并同类项：$-x ＞ -1$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变：$x ＜ 1$
则小于1的最大整数是0，即不等式的最大整数解为0。
【答案】
(1)$x=-2$
(2)$0$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与转化能力，结合了一元一次方程、一元一次不等式的常规解法，解题的关键是严格按照新运算规则代入转化，再按常规运算步骤求解即可，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解新运算“⊗”的规则：$a⊗b=3a+2(b−a)$，解题时只需将对应位置的数或代数式代入运算规则，把新运算转化为我们熟悉的常规四则运算即可。第(1)问代入后得到一元一次方程，按解方程的步骤求解$x$；第(2)问左右两边分别按新运算展开后得到一元一次不等式，解不等式后找出符合条件的最大整数解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则，$x⊗3$中$a=x$，$b=3$，代入得：
$3x + 2×(3 - x) = 4$
去括号：$3x + 6 - 2x = 4$
合并同类项：$x + 6 = 4$
移项得：$x = 4 - 6$
解得：$x = -2$
(2) 先分别化简不等式左右两边的新运算：
左边：$x⊗2 = 3x + 2×(2 - x) = 3x + 4 - 2x = x + 4$
右边：$-1⊗(x+2)$中$a=-1$，$b=x+2$，代入得：
$3×(-1) + 2×[(x+2) - (-1)] = -3 + 2×(x + 3) = -3 + 2x + 6 = 2x + 3$
原不等式转化为：$x + 4 ＞ 2x + 3$
移项：$x - 2x ＞ 3 - 4$
合并同类项：$-x ＞ -1$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变：$x ＜ 1$
则小于1的最大整数是0，即不等式的最大整数解为0。
【答案】
(1)$x=-2$
(2)$0$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与转化能力，结合了一元一次方程、一元一次不等式的常规解法，解题的关键是严格按照新运算规则代入转化，再按常规运算步骤求解即可，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
21. 苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克.
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？
(3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？
(3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？
答案
(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克.
(2)每天卖出的苹果至少是36千克.
(3)最低可以打8折.
(2)每天卖出的苹果至少是36千克.
(3)最低可以打8折.
解析
【分析】
(1) 先提取题目中的两个等量关系：①苹果重量=3×香梨重量+20千克；②苹果总进价+香梨总进价=420元。可设香梨重量为未知数，用第一个等量关系表示出苹果重量，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 先分别计算每千克苹果、香梨的单件利润，再找到不等关系：每日苹果总利润+每日香梨总利润≥268元。设每天卖出苹果的重量为未知数，表示出对应香梨重量后代入不等关系列不等式，取最小正整数解即可。
(3) 先计算已售出苹果的总利润，明确打折规则：打n折即售价为原价×0.1n，再找不等关系：已售苹果利润+打折售出剩余苹果的利润≥1016元，设折扣为未知数列不等式求解即可。
【解析】
(1) 设李老板购进香梨$x$千克，则购进苹果$(3x+20)$千克，根据总花费列方程：
$\begin{aligned}1.5(3x+20) + 2x &= 420 \\4.5x + 30 + 2x &= 420 \\6.5x &= 390 \\x &= 60\end{aligned}$
苹果重量为$3×60 +20=200$（千克）。
(2) 每千克苹果利润：$7-1.5=5.5$（元），每千克香梨利润：$7-2=5$（元）。
设每天卖出苹果$m$千克，则卖出香梨$(50-m)$千克，根据利润要求列不等式：
$\begin{aligned}5.5m + 5(50-m) &≥ 268 \\5.5m +250 -5m &≥268 \\0.5m &≥ 18 \\m &≥36\end{aligned}$
(3) 已售出苹果重量：$200-60=140$（千克），已售苹果利润：$140×5.5=770$（元）。
设剩余苹果打$n$折销售，此时每千克苹果售价为$7×0.1n=0.7n$元，根据总利润要求列不等式：
$\begin{aligned}770 + 60×(0.7n -1.5) &≥ 1016 \\770 +42n -90 &≥1016 \\42n &≥ 336 \\n &≥8\end{aligned}$
【答案】
(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克.
(2)每天卖出的苹果至少是36千克.
(3)最低可以打8折.
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题是贴合生活的销售类实际应用题，综合考查了方程和不等式的实际运用，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，计算难度较低，需要注意打折的换算规则，避免因概念混淆出错，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先提取题目中的两个等量关系：①苹果重量=3×香梨重量+20千克；②苹果总进价+香梨总进价=420元。可设香梨重量为未知数，用第一个等量关系表示出苹果重量，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 先分别计算每千克苹果、香梨的单件利润，再找到不等关系：每日苹果总利润+每日香梨总利润≥268元。设每天卖出苹果的重量为未知数，表示出对应香梨重量后代入不等关系列不等式，取最小正整数解即可。
(3) 先计算已售出苹果的总利润，明确打折规则：打n折即售价为原价×0.1n，再找不等关系：已售苹果利润+打折售出剩余苹果的利润≥1016元，设折扣为未知数列不等式求解即可。
【解析】
(1) 设李老板购进香梨$x$千克，则购进苹果$(3x+20)$千克，根据总花费列方程：
$\begin{aligned}1.5(3x+20) + 2x &= 420 \\4.5x + 30 + 2x &= 420 \\6.5x &= 390 \\x &= 60\end{aligned}$
苹果重量为$3×60 +20=200$（千克）。
(2) 每千克苹果利润：$7-1.5=5.5$（元），每千克香梨利润：$7-2=5$（元）。
设每天卖出苹果$m$千克，则卖出香梨$(50-m)$千克，根据利润要求列不等式：
$\begin{aligned}5.5m + 5(50-m) &≥ 268 \\5.5m +250 -5m &≥268 \\0.5m &≥ 18 \\m &≥36\end{aligned}$
(3) 已售出苹果重量：$200-60=140$（千克），已售苹果利润：$140×5.5=770$（元）。
设剩余苹果打$n$折销售，此时每千克苹果售价为$7×0.1n=0.7n$元，根据总利润要求列不等式：
$\begin{aligned}770 + 60×(0.7n -1.5) &≥ 1016 \\770 +42n -90 &≥1016 \\42n &≥ 336 \\n &≥8\end{aligned}$
【答案】
(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克.
(2)每天卖出的苹果至少是36千克.
(3)最低可以打8折.
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题是贴合生活的销售类实际应用题，综合考查了方程和不等式的实际运用，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，计算难度较低，需要注意打折的换算规则，避免因概念混淆出错，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
