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1. (2024·连云港期末) 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,BD,CE 是高. 求证:
(1)$△ ABD ≌ △ ACE$;
(2)$BE=CD$.
(1)$△ ABD ≌ △ ACE$;
(2)$BE=CD$.
答案
(1)
∵BD,CE 是△ABC 的两条高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} ∠A=∠A, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(AAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE.
∵AB=AC,
∴AB-AE=AC-AD,
∴BE=CD.
∵BD,CE 是△ABC 的两条高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} ∠A=∠A, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(AAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE.
∵AB=AC,
∴AB-AE=AC-AD,
∴BE=CD.
2. 如图,已知 $BE ⊥ AC, CF ⊥ AB, BM = AC$, $CN = AB$. 求证: $AM ⊥ AN$.
答案
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠B+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,
∴∠B=∠C.
又 BM=CA,AB=NC,
∴△ABM≌△NCA(SAS),
∴∠BAM=∠N.
∵∠N+∠NAF=90°,
∴∠BAM+∠NAF=90°,即∠MAN=90°,
∴AM⊥AN.
3. 中考新考法 猜想探究 （2025·扬州宝应期中）如图，已知 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$，点 $E$ 在 $AB$ 上，$CE$ 交$AD$ 于点 $F$，$△ ABD ≌ △ CFD$。
(1)若 $BC=12$，$AD=8$，求 $BD$ 的长；
(2)试判断 $AB$ 和 $CF$ 的数量关系和位置关系，并说明理由。
(1)若 $BC=12$，$AD=8$，求 $BD$ 的长；
(2)试判断 $AB$ 和 $CF$ 的数量关系和位置关系，并说明理由。
答案
(1)
∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF,AD=DC.
∵BC=12,AD=8,
∴CD=AD=8,
∴BD=BC-CD=12-8=4.
(2)AB=CF,且AB⊥CF.理由如下：
∵△ABD≌△CFD,
∴AB=CF,∠BAD=∠FCD.
∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEF=∠CDF=90°,
∴AB⊥CF,
∴AB=CF,且AB⊥CF.
∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF,AD=DC.
∵BC=12,AD=8,
∴CD=AD=8,
∴BD=BC-CD=12-8=4.
(2)AB=CF,且AB⊥CF.理由如下：
∵△ABD≌△CFD,
∴AB=CF,∠BAD=∠FCD.
∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEF=∠CDF=90°,
∴AB⊥CF,
∴AB=CF,且AB⊥CF.
4. 倍长中线模型 （1）如图（1），在$△ ABC$中，若$AB=10,AC=6$，则边$BC$上的中线$AD$的取值范围是
（2）如图(2)，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上的中点，$DE⊥ DF$于点$D$，$DE$交$AB$于点$E$，$DF$交$AC$于点$F$，连接$EF$，求证：$BE+CF＞EF$.
精题详解
2＜AD＜8
；（2）如图(2)，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上的中点，$DE⊥ DF$于点$D$，$DE$交$AB$于点$E$，$DF$交$AC$于点$F$，连接$EF$，求证：$BE+CF＞EF$.
精题详解
答案
(1)2＜AD＜8
(2)如图，延长FD至点G，使DG=DF，连接BG,EG.
∵点D是BC的中点，
∴DB=DC.
∵∠BDG=∠CDF,DG=DF,
∴△BDG≌△CDF(SAS),
∴BG=CF.
∵ED⊥FD,
∴∠EDF=∠EDG=90°.
又ED=ED,FD=GD,
∴△EDF≌△EDG(SAS),
∴EF=EG.
∵在△BEG中,BE+BG＞EG,
→在三角形中,任意两边之和大于第三边
∴BE+CF＞EF.
