1. 若$m$是任意实数，则点$A(m,3-m)$一定不在（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1. C

2. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$三个顶点的坐标分别是点$A(-3,0),B(-1,2),C(3,2)$,则到$△ ABC$三个顶点距离相等的点的坐标是（）


A.$(0,-1)$
B.$(0,0)$
C.$(1,-1)$
D.$(1,-2)$

2. D 提示:到$△ ABC$三个顶点距离相等的点在三边的垂直平分线上,作出边$BC,AB$的垂直平分线,交于点$(1,-2)$.

3. 在平面直角坐标系中,小明做走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位长度,第2步向右走2个单位长度,第3步向上走1个单位长度,第4步向右走1个单位长度……以此类推,第$n$步的走法是:当$n$能被3整除时,向上走1个单位长度;当$n$除以3的余数为1时,向右走1个单位长度;当$n$除以3的余数为2时,向右走2个单位长度. 当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是 （）

A.$(66,34)$
B.$(67,33)$
C.$(100,33)$
D.$(99,34)$

3. C 提示:根据题意,得每3步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右走3个单位长度,向上走1个单位长度. 因为$100÷3=33······1$,所以第100步为第34个循环组的第1步,所处位置的横坐标为$33×3+1=100$,纵坐标为$33×1=33$,所以棋子所处位置的坐标是$(100,33)$.

4. 如图,将一块等腰直角三角板按如图所示
放置在平面直角坐标系中,已知直角顶点
$C$ 的坐标为 $(1,2)$, 点 $A(a,b)$ 在第二象
限,则点 $B$ 的坐标为 （）


A.$(3-b,a+1)$
B.$(b-3,a+1)$
C.$(2-a,3-b)$
D.$(2+a,b-3)$

4. A 提示:过点$C$作$x$轴的平行线,再分别过点$A$和点$B$作此直线的垂线,垂足分别为$M,N$. 因为$△ ABC$是等腰直角三角形,所以$CA=BC$,$∠ ACB=90°$. 因为$AM⊥ MN$,$BN⊥ MN$,所以$∠ AMC=∠ CNB=90°$,所以$∠ MAC+∠ MCA=∠ NCB+∠ MCA$,所以$∠ MAC=∠ NCB$. 在$△ AMC$和$△ CNB$中,
$\begin{cases}∠ AMC=∠ CNB,\\∠ MAC=∠ NCB,\\CA=BC,\end{cases}$
所以$△ AMC≌△ CNB(\mathrm{AAS})$,所以$NC=MA$,$NB=MC$. 因为点$C$的坐标为$(1,2)$,点$A$的坐标为$(a,b)$,所以$NC=MA=2-b$,$NB=MC=1-a$,所以点$B$的横坐标为$1+2-b=3-b$,点$B$的纵坐标为$2-(1-a)=a+1$,所以点$B$的坐标为$(3-b,a+1)$.

5. 在平面直角坐标系中,点 $A(10,0),B(0,3)$,以 $AB$ 为边在第一象限作等腰直角三角形 $ABC$,则点 $C$ 的坐标为.

5. $(3,13)$或$(13,10)$或$(\dfrac{13}{2},\dfrac{13}{2})$ 提示:如图,当点$B$为直角顶点时,则$BC_1=BA$,过点$C_1$作$C_1D⊥ y$轴于点$D$,易证$△ AOB≌△ BDC_1$,所以$DC_1=OB=3$,$BD=AO=10$,所以$OD=OB+BD=13$,所以点$C_1(3,13)$;当点$A$为直角顶点时,同理可得点$C_3(13,10)$;当点$C$为直角顶点时,由等腰三角形“三线合一”的性质可知,$C_2$是$AC_1$的中点,由中点坐标公式,得点$C_2(\dfrac{13}{2},\dfrac{13}{2})$. 综上所述,点$C$的坐标为$(3,13)$或$(13,10)$或$(\dfrac{13}{2},\dfrac{13}{2})$.

6. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为$(10,0)$,点 M 的坐标为$(0,8)$,过点 M作$MN// x$轴,点 P 在射线 MN 上. 若$△ MAP$为等腰三角形,则点 P 的坐标为
.

6. $(\dfrac{41}{5},8)$或$(\sqrt{164},8)$或$(20,8)$ 提示:设点$P$的坐标为$(x,8)$,分三种情况:①如图1,$PM=PA$. 因为点$A$的坐标为$(10,0)$,点$M$的坐标为$(0,8)$,所以$PM=x$,$PA=\sqrt{8^2+(10-x)^2}$. 因为$PM=PA$,所以$x=\sqrt{8^2+(10-x)^2}$,解得$x=\dfrac{41}{5}$,所以点$P$的坐标为$(\dfrac{41}{5},8)$. ②如图2,$MP=MA$. 同①可得,$MP=x$,$MA=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}$. 因为$MP=MA$,所以$x=\sqrt{164}$,所以点$P$的坐标为$(\sqrt{164},8)$. ③如图3,$AM=AP$. 同①可得,$AP=\sqrt{8^2+(x-10)^2}$,$MA=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}$. 因为$AM=AP$,所以$\sqrt{8^2+(x-10)^2}=\sqrt{164}$,解得$x_1=20$,$x_2=0$(舍去),所以点$P$的坐标为$(20,8)$. 综上所述,点$P$的坐标为$(\dfrac{41}{5},8)$或$(\sqrt{164},8)$或$(20,8)$.

7. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.
(1) 请在网格中建立一个平面直角坐标系,使得格点三角形$ABC$(顶点是网格线交点的三角形)的顶点$B$,$C$的坐标分别是$(-1,1)$,$(0,3)$.
(2) 在(1)的条件下,$y$轴上是否存在点$P$,使$△ PAC$的面积是$△ ABC$的面积的2倍?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

思维大爆炸

7. 解:(1)如图,建立平面直角坐标系.

(2)$S_{△ ABC}=4×4-\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{1}{2}×2×4-\dfrac{1}{2}×1×2=5$. 易得点$A(-4,5)$. 因为$S_{△ APC}=2S_{△ ABC}=10$,所以$\dfrac{1}{2}CP·|x_A|=10$,即$\dfrac{1}{2}CP×|-4|=10$,解得$CP=5$,因为点$C(0,3)$,所以点$P$的坐标为$(0,8)$或$(0,-2)$.