8. 一天傍晚,小方和家人去小区遛狗,小方观察发现,她站直身体时,牵绳的手离地面高度为$AB=1.3\ \mathrm{m}$,小狗的高$CD=0.3\ \mathrm{m}$,小狗与小方的距离$AC=2.4\ \mathrm{m}$(绳子一直是直的).
(1) 求此时牵狗绳$BD$的长.
(2) 小方将手上的小球扔至$3\ \mathrm{m}$远的点$M$处,若她站着不动,牵狗绳最长放至$4\ \mathrm{m}$,则小狗能否将小球捡回来?请说明理由(假设小狗碰到球就能将球捡回来).

解:(1) 如图 1,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点$E$,则 $AE=CD=0.3\ \mathrm{m},DE=AC=2.4\ \mathrm{m}$,所以$BE=AB-AE=1\ \mathrm{m}$,所以 $BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=2.6\ \mathrm{m}$. 所以此时牵狗绳 $BD$ 的长为 $2.6\ \mathrm{m}$.
(2) 如图 2,过点 $M$ 作 $MN ⊥ AM$,交 $ED$的延长线于点 $N$,连接 $BN$. 由(1)得 $BE=1$.因为 $NE=AM=3\ \mathrm{m}$, 所以 $BN=\sqrt{BE^2+NE^2}=\sqrt{10}\ \mathrm{m}$. 因为 $\sqrt{10}＜4$, 所以小狗能将小球捡回来.

9. 对于正数 $a,b,c,d$ , 如果 $a+b=c+d$ , 试比较 $\sqrt{a^{2}+c^{2}}+\sqrt{b^{2}+d^{2}}$ 与 $\sqrt{2(a+b)^{2}}$ 的大小.

解:如图,在正方形 $ABCD$ 中,$BF=\sqrt{a^2+c^2},DF=\sqrt{b^2+d^2},BD=\sqrt{2(a+b)^2}$.根据三角形两边之和大于第三边,得$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2}＞\sqrt{2(a+b)^2}$. 当点 $F$ 在 $BD$ 上时, 即 $b=d,a=c$ 时,$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2}=\sqrt{2(a+b)^2}$. 综上所述,$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2}≥\sqrt{2(a+b)^2}$.

10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$D$为斜边$BC$的中点，$DE⊥ DF$，求证：$EF^2=BE^2+CF^2$.

证明:如图,延长 $ED$ 至点 $G$,使$DG=DE$,连接 $EF,FG,CG$. 在 $△ EDF$ 和$△ GDF$ 中,$\begin{cases} DF=DF, \\ ∠ EDF=∠ GDF, \\ DE=DG, \end{cases}$所以 $△ EDF ≌ △ GDF(\mathrm{SAS})$,所以 $EF=GF$. 因为 $D$ 为斜边$BC$ 的中点, 所以 $BD=DC$. 在 $△ BDE$ 和$△ CDG$ 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ BDE=∠ CDG, \\ DE=DG, \end{cases}$所以 $△ BDE ≌ △ CDG(\mathrm{SAS})$. 所以 $BE=CG,∠ B=∠ BCG$.所以 $AB // CG$, 所以 $∠ GCA=180°-∠ A=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ FCG$ 中, 由勾股定理, 得 $GF^2=CG^2+CF^2=BE^2+CF^2$. 所以 $EF^2=BE^2+CF^2$.

11. 图1是边长分别为$a,b$的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为$c$的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和. 利用这个方法可以验证勾股定理. 请根据上述信息，回答下列问题：
（1）图2所示的割补过程为：割①补，割补⑥，割③补.（填序号）
（2）如图3，在$△ ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$AB=10$，$AC=17$，$BC=21$，设$BD=x$，求$x$的值及$△ ABC$的面积.

(1) ④ ⑤ ②
(2) 解: 因为 $AD$ 是边 $BC$ 上的高, 所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$. 因为 $AB=10,AC=17$,$BC=21,BD=x$, 所以 $CD=21-x$, 可知$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$, 所以 $10^2-x^2=17^2-(21-x)^2$, 解得 $x=6$, 所以 $BD=6$, 所以$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=8$, 所以 $△ ABC$ 的面积为$\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2} × 21 × 8=84$.