8. 如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,0),点B在第一象限内,且$AB=4$,$OB=3$.
(1) 试判断$△ AOB$的形状,并说明理由.
(2) $P$ 是线段 $OA$ 上一点,且 $PB-PA=$1,求点 $P$ 的坐标.
(3) 如图 2,$C,D$ 分别为线段 $OB,BA$ 上的动点,且 $OC=BD$,求 $AC+OD$ 的最小值.

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8. 解:(1)$△ AOB$是直角三角形. 理由如下:
因为点$A(5,0)$,所以$OA=5$. 所以$AB^2+OB^2=OA^2$,所以$△ AOB$是以$OA$为斜边的直角三角形.
(2)过点$B$作$BE⊥ OA$于点$E$. 设$PA=x$,则$PB=x+1$. 因为$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OB· AB=\dfrac{1}{2}OA· BE$,所以$BE=\dfrac{OB· AB}{OA}=\dfrac{12}{5}$. 所以$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\dfrac{9}{5}$,所以$PE=|OA-OE-PA|=\left|\dfrac{16}{5}-x\right|$. 在$\mathrm{Rt}△ BEP$中,由勾股定理,得$PB^2=PE^2+BE^2$,即$(x+1)^2=(\dfrac{16}{5}-x)^2+(\dfrac{12}{5})^2$,解得$x=\dfrac{25}{14}$. 所以$OP=OA-PA=\dfrac{45}{14}$,所以点$P$的坐标为$(\dfrac{45}{14},0)$.
(3)如图,过点$O$作以$OB$为腰、$∠ BOH=90°$的等腰直角三角形,则$HO=OB$,$∠ HOC=∠ OBD=90°$. 连接$HC$. 在$△ HOC$和$△ OBD$中,$\begin{cases}HO=OB,\\∠ HOC=∠ OBD,\\OC=BD,\end{cases}$所以$△ HOC≌△ OBD$,所以$OD=HC$,所以$AC+OD=AC+HC$. 当$A,C,H$三点共线时,$AC+HC$的值最小,即$AC+OD$取得最小值,为$AH$的长. 分别过点$B,H$作$BE⊥ x$轴于点$E$,$HF⊥ x$轴于点$F$. 由(2),知$BE=\dfrac{12}{5}$,$OE=\dfrac{9}{5}$. 易证$△ OHF≌△ BOE$,所以$OF=BE=\dfrac{12}{5}$,$HF=OE=\dfrac{9}{5}$. 所以$AF=OA+OF=\dfrac{37}{5}$. 在$\mathrm{Rt}△ AHF$中,$AH=\sqrt{AF^2+HF^2}=\sqrt{58}$. 所以$AC+OD$的最小值为$\sqrt{58}$.

9. 在平面直角坐标系中,对于任意三点 A, B,C 的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a 为任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h 为任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”$S=ah$. 已知:如图,点 $A(1,2)$, $B(-3,0)$.
(1) 若点 C 的坐标为 $(2,-1)$,则 A,B,C三点的“水平底”$a=5$,“铅垂高”$h=$3,“矩面积”$S=ah=$.
(2) 点 P 在 x 轴上,若 A,B,P 三点的“矩面积”为 10,则点 P 的坐标为.
(3) 点 $M(m,4m)$,
①若 A,B,M 三点的“矩面积”为 8,直接写出满足题意的 m 的取值范围；
②若 $m＞1$,则 A,B,M 三点的“矩面积”S 的取值范围为.

9. (1) 15
(2) $(-4,0)$或$(2,0)$ 提示:因为A,B,P三点的“矩面积”为10,点P在x轴上,所以A,B,P三点的“铅垂高”$h=|2-0|=2$,所以A,B,P三点的“水平底”$a=\dfrac{S}{h}=\dfrac{10}{2}=5$. 设点$P(p,0)$. 当$p＜-3$时,$1-p=5$,解得$p=-4$,所以点$P(-4,0)$;当$p＞1$时,$p-(-3)=5$,解得$p=2$,所以点$P(2,0)$. 综上所述,点P的坐标为$(-4,0)$或$(2,0)$.
(3) ①解:$0≤ m≤\dfrac{1}{2}$. 提示:因为点$A(1,2)$,$B(-3,0)$,$M(m,4m)$,所以A,B,M三点的“矩面积”最小为$[1-(-3)]×(2-0)=8$,所以$\begin{cases}-3≤ m≤1,\\0≤4m≤2,\end{cases}$解得$0≤ m≤\dfrac{1}{2}$.
②$S＞16$ 提示:因为$m＞1$,所以$4m＞4$,所以“水平底”$a=m-(-3)=m+3＞4$,“铅垂高”$h=4m-0=4m＞4$,所以$S=ah＞4×4=16$,所以$S＞16$.