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18. (10 分) 如图,$\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆,$D$ 是直径 $AB$ 上一点,$∠ ACD$ 的平分线交 $AB$ 于点 $E$,交$\odot O$ 于另一点 $F$,$FA=FE$.
(1) 求证:$CD⊥ AB$.
(2) 过点 $F$ 作 $FM⊥ AB$,垂足为 $M$,若 $OM=OE=1$,求 $AC$ 的长.
(1) 求证:$CD⊥ AB$.
(2) 过点 $F$ 作 $FM⊥ AB$,垂足为 $M$,若 $OM=OE=1$,求 $AC$ 的长.
答案
18. (1) $\because FA=FE$,$\therefore ∠FAE=∠AEF$.$\because ∠FAE$与$∠BCE$都是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角,$\therefore ∠FAE=∠BCE$.$\because ∠AEF=∠CEB$,$\therefore ∠CEB=∠BCE$.$\because CE$平分$∠ACD$,$\therefore ∠ACE=∠DCE$.$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB=90°$.$\therefore ∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°$.$\therefore ∠CDE=90°$.$\therefore CD⊥AB$.
(2) 由(1)知,$∠BEC=∠BCE$,$\therefore BE=BC$.$\because AF=EF$,$FM⊥AB$,$\therefore MA=ME=OM+OE=2$.$\therefore AE=4$.$\therefore OA=OB=AE-OE=3$.$\therefore BC=BE=OB-OE=2$.在$△ABC$中,$AB=6$,$BC=2$,$∠ACB=90°$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
(2) 由(1)知,$∠BEC=∠BCE$,$\therefore BE=BC$.$\because AF=EF$,$FM⊥AB$,$\therefore MA=ME=OM+OE=2$.$\therefore AE=4$.$\therefore OA=OB=AE-OE=3$.$\therefore BC=BE=OB-OE=2$.在$△ABC$中,$AB=6$,$BC=2$,$∠ACB=90°$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明CD⊥AB，只需证明∠CDE=90°即可。首先利用AB是直径得到∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°；再结合已知FA=FE得到等边对等角的角相等关系，利用同弧所对圆周角相等、对顶角相等完成角的等量代换，结合CE是∠ACD的角平分线，将∠ACE替换为∠DCE，即可得到∠DCE+∠CEB=90°，由三角形内角和推出∠CDE=90°，得证垂直。
(2) 已知FM⊥AB且FA=FE，根据等腰三角形三线合一可得M是AE的中点，结合OM=OE=1先算出ME的长度，进而得到AE的长度，求出圆的半径OA，再结合第一问推导的∠BCE=∠BEC得到BC=BE，算出BE的长度即得到BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ FA=FE，
∴ ∠FAE=∠AEF。
∵ ∠FAE和∠BCE都是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角，
∴ ∠FAE=∠BCE，
又
∵ ∠AEF=∠CEB（对顶角相等），
∴ ∠CEB=∠BCE。
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE=∠DCE。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°，
等量代换得：∠DCE+∠CEB=90°，
∴ 在△CDE中，∠CDE=180°-(∠DCE+∠CEB)=90°，
∴ CD⊥AB。
(2) 解：
由(1)得∠BEC=∠BCE，
∴ BE=BC。
∵ FA=FE，FM⊥AB，
根据等腰三角形三线合一，得MA=ME，
已知OM=OE=1，
∴ ME=OM+OE=1+1=2，
∴ AE=2ME=4，
∴ OA=AE - OE=4-1=3，即$\odot O$半径为3，
∴ OB=OA=3，AB=2OA=6，
∴ BE=OB - OE=3-1=2，
∴ BC=BE=2。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $AC$的长为$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合基础题，核心考点围绕圆的基本性质展开，第一问重点考察角的等量代换逻辑，第二问利用等腰三角形三线合一快速求出圆半径，整体解题思路连贯，需要学生熟练掌握圆周角、等腰三角形的相关定理，理清角和线段的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明CD⊥AB，只需证明∠CDE=90°即可。首先利用AB是直径得到∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°；再结合已知FA=FE得到等边对等角的角相等关系，利用同弧所对圆周角相等、对顶角相等完成角的等量代换，结合CE是∠ACD的角平分线，将∠ACE替换为∠DCE，即可得到∠DCE+∠CEB=90°，由三角形内角和推出∠CDE=90°，得证垂直。
(2) 已知FM⊥AB且FA=FE，根据等腰三角形三线合一可得M是AE的中点，结合OM=OE=1先算出ME的长度，进而得到AE的长度，求出圆的半径OA，再结合第一问推导的∠BCE=∠BEC得到BC=BE，算出BE的长度即得到BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ FA=FE，
∴ ∠FAE=∠AEF。
∵ ∠FAE和∠BCE都是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角，
∴ ∠FAE=∠BCE，
又
∵ ∠AEF=∠CEB（对顶角相等），
∴ ∠CEB=∠BCE。
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE=∠DCE。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°，
等量代换得：∠DCE+∠CEB=90°，
∴ 在△CDE中，∠CDE=180°-(∠DCE+∠CEB)=90°，
∴ CD⊥AB。
(2) 解：
由(1)得∠BEC=∠BCE，
∴ BE=BC。
∵ FA=FE，FM⊥AB，
根据等腰三角形三线合一，得MA=ME，
已知OM=OE=1，
∴ ME=OM+OE=1+1=2，
∴ AE=2ME=4，
∴ OA=AE - OE=4-1=3，即$\odot O$半径为3，
∴ OB=OA=3，AB=2OA=6，
∴ BE=OB - OE=3-1=2，
∴ BC=BE=2。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $AC$的长为$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合基础题，核心考点围绕圆的基本性质展开，第一问重点考察角的等量代换逻辑，第二问利用等腰三角形三线合一快速求出圆半径，整体解题思路连贯，需要学生熟练掌握圆周角、等腰三角形的相关定理，理清角和线段的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
19. (12 分)如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\odot O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆,连接 $BO$ 并延长,交 $\odot O$ 于点 $E$,连接 $CE$ 并延长,交边 $AD$ 于点 $F$,已知 $AB=AC$.
(1) 求证:$AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 若 $AB=6$,$AD=4$,求 $\odot O$ 的半径.
(1) 求证:$AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 若 $AB=6$,$AD=4$,求 $\odot O$ 的半径.
答案
19. (1) 如图,连接$AO$并延长,交$BC$于点$H$,连接$OC$.$\because AB=AC$,$OB=OC$,$\therefore$ 点$A,O$都在边$BC$的垂直平分线上.$\therefore AO$垂直平分$BC$.$\therefore ∠AHB=90°$.$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$.$\therefore ∠OAD=∠AHB=90°$.$\therefore OA⊥AD$.$\because OA$是$\odot O$的半径,$\therefore AD$是$\odot O$的切线.
(2) $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore BC=AD=4$.由(1),得$AO$垂直平分边$BC$,交边$BC$于点$H$,$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=2$,$∠AHB=90°$.又$\because AB=6$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AHB$中,$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.$\because OA=OB$,$\therefore OH=AH-OA=4\sqrt{2}-OB$.在$\mathrm{Rt}△BHO$中,由勾股定理,得$BH^2+OH^2=OB^2$,即$2^2+(4\sqrt{2}-OB)^2=OB^2$,解得$OB=\frac{9\sqrt{2}}{4}$.$\therefore \odot O$的半径为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需要证明半径OA与AD垂直即可。首先已知AB=AC，OB=OC，根据垂直平分线的判定，点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此AO垂直平分BC，得到∠AHB=90°；再结合平行四边形ABCD中AD//BC的性质，就能推出∠OAD=90°，也就是OA⊥AD，完成切线的证明。第二问求⊙O的半径，首先利用平行四边形对边相等得到BC=AD=4，结合AO垂直平分BC得到BH=2，先在Rt△AHB中用勾股定理算出AH的长度，再设半径OB为r，用r表示出OH的长度，最后在Rt△BHO中通过勾股定理列方程，解出r就得到圆的半径。
【解析】
(1) 连接AO并延长，交BC于点H，连接OC。
∵ AB=AC，OB=OC，
∴ 点A、O都在BC的垂直平分线上，
∴ AO垂直平分BC，即∠AHB=90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAD=∠AHB=90°，即OA⊥AD。
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=4。
由(1)可知AO垂直平分BC，垂足为H，
∴ BH=CH=1/2 BC=2，∠AHB=90°。
在Rt△AHB中，AB=6，BH=2，由勾股定理得：
AH=√(AB² - BH²)=√(6² - 2²)=4√2。
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
∴ OH=AH - OA=4√2 - r。
在Rt△BHO中，由勾股定理得：
BH² + OH² = OB²，
代入数值：2² + (4√2 - r)² = r²，
展开化简得：36 = 8√2 r，
解得r=9√2/4。
即⊙O的半径为9√2/4。
【答案】
【知识点】
切线的判定，勾股定理，平行四边形性质
【点评】
本题是圆与平行四边形的综合基础题，第一问的核心是利用等腰三角形和圆心的性质得到AO垂直BC，结合平行关系推导切线判定所需的垂直条件；第二问采用设未知数列勾股方程的方法求解半径，是圆相关计算的经典思路，整体侧重考察几何基础性质的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需要证明半径OA与AD垂直即可。首先已知AB=AC，OB=OC，根据垂直平分线的判定，点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此AO垂直平分BC，得到∠AHB=90°；再结合平行四边形ABCD中AD//BC的性质，就能推出∠OAD=90°，也就是OA⊥AD，完成切线的证明。第二问求⊙O的半径，首先利用平行四边形对边相等得到BC=AD=4，结合AO垂直平分BC得到BH=2，先在Rt△AHB中用勾股定理算出AH的长度，再设半径OB为r，用r表示出OH的长度，最后在Rt△BHO中通过勾股定理列方程，解出r就得到圆的半径。
【解析】
(1) 连接AO并延长，交BC于点H，连接OC。
∵ AB=AC，OB=OC，
∴ 点A、O都在BC的垂直平分线上，
∴ AO垂直平分BC，即∠AHB=90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAD=∠AHB=90°，即OA⊥AD。
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=4。
由(1)可知AO垂直平分BC，垂足为H，
∴ BH=CH=1/2 BC=2，∠AHB=90°。
在Rt△AHB中，AB=6，BH=2，由勾股定理得：
AH=√(AB² - BH²)=√(6² - 2²)=4√2。
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
∴ OH=AH - OA=4√2 - r。
在Rt△BHO中，由勾股定理得：
BH² + OH² = OB²，
代入数值：2² + (4√2 - r)² = r²，
展开化简得：36 = 8√2 r，
解得r=9√2/4。
即⊙O的半径为9√2/4。
【答案】
【知识点】
切线的判定，勾股定理，平行四边形性质
【点评】
本题是圆与平行四边形的综合基础题，第一问的核心是利用等腰三角形和圆心的性质得到AO垂直BC，结合平行关系推导切线判定所需的垂直条件；第二问采用设未知数列勾股方程的方法求解半径，是圆相关计算的经典思路，整体侧重考察几何基础性质的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.6
20. (12 分) 如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $A C$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $D$ 为 $\overgroup{B C}$ 的中点, 过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$,交 $A C$ 的延长线于点 $E$, 延长 $E D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$, 连接 $D A$.
(1) 若 $A B=90 \mathrm{~cm}$, 求圆心 $O$ 到 $E F$ 的距离.
(2) 若 $D A=D F=6 \sqrt{3}$, 求涂色部分的面积.
(1) 若 $A B=90 \mathrm{~cm}$, 求圆心 $O$ 到 $E F$ 的距离.
(2) 若 $D A=D F=6 \sqrt{3}$, 求涂色部分的面积.
答案
20. (1) 如图,连接$OD$.$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$.$\therefore ∠CAD=∠BAD$.$\because OA=OD$,$\therefore ∠BAD=∠ADO$.
解析
【分析】
第(1)问要求圆心O到EF的距离，首先明确点到直线的距离是对应垂线段的长度，先连接OD，利用D是弧BC中点的条件，得到等弧对应的圆周角相等，推出∠CAD=∠BAD，结合OA=OD的等腰三角形性质，得到内错角相等∠BAD=∠ADO，进而证明OD//AE。已知DE⊥AC即AE⊥EF，可推得OD⊥EF，又因为D在EF上，因此OD就是O到EF的垂线段，OD是⊙O的半径，由AB的长度直接即可得到所求距离。
第(2)问已知DA=DF=6√3，先利用等边对等角得到∠F=∠DAF，结合OD⊥EF的直角条件，通过圆心角是同弧圆周角的2倍的性质，算出∠F=30°、∠DOF=60°，在Rt△ODF中求出半径OD=6。再将不规则的涂色部分拆分为规则的扇形ODB和△AOD两部分，分别计算面积后求和即可得到涂色部分总面积。
【解析】
(1) 连接OD：
∵ D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ ∠CAD = ∠BAD。
∵ OA=OD，
∴ ∠BAD = ∠ADO，
∴ ∠CAD = ∠ADO，可得OD//AE。
又
∵ DE⊥AC，即AE⊥EF，
∴ OD⊥EF，
∵ 点D在EF上，因此OD就是圆心O到EF的垂线段，即所求距离。
∵ AB是⊙O的直径，AB=90cm，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=45\mathrm{cm}$，
即圆心O到EF的距离为45cm。
(2) 连接OD：
∵ DA=DF=6√3，
∴ ∠F = ∠DAF。
由(1)知OD⊥EF，
∴ ∠ODF=90°，可得∠F + ∠DOF = 90°。
根据圆周角定理，∠DOF是弧BD对应的圆心角，∠DAF是弧BD对应的圆周角，因此∠DOF = 2∠DAF = 2∠F，
代入得∠F + 2∠F = 90°，解得∠F=30°，∠DOF=60°。
在Rt△ODF中，$\tan F=\frac{OD}{DF}$，即$\tan30°=\frac{OD}{6\sqrt{3}}$，
解得$OD=6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=6$。
计算涂色部分面积：
涂色部分可拆分为扇形ODB和△AOD两部分：
① 扇形ODB的圆心角∠DOB=60°，半径为6：
$S_{扇形ODB}=\frac{60π×6^2}{360}=6π$
② △AOD中，∠AOD=180°-∠DOF=120°，OA=OD=6：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA× OD×\sin120°=\frac{1}{2}×6×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$
因此涂色部分总面积$S_{阴影}=S_{扇形ODB}+S_{△ AOD}=6π+9\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45\mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{6π +9\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理，切线判定，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题型，第一问通过平行线的性质直接推导出OD垂直EF，省去了额外作垂线的复杂步骤，考察对圆的角平分线性质的灵活运用；第二问用割补法把不规则阴影拆分为规则图形计算，是圆中求阴影面积的经典考法，整体难度适中，需要学生熟练掌握圆的基础性质和面积拆分技巧。
【难度系数】
0.55
第(1)问要求圆心O到EF的距离，首先明确点到直线的距离是对应垂线段的长度，先连接OD，利用D是弧BC中点的条件，得到等弧对应的圆周角相等，推出∠CAD=∠BAD，结合OA=OD的等腰三角形性质，得到内错角相等∠BAD=∠ADO，进而证明OD//AE。已知DE⊥AC即AE⊥EF，可推得OD⊥EF，又因为D在EF上，因此OD就是O到EF的垂线段，OD是⊙O的半径，由AB的长度直接即可得到所求距离。
第(2)问已知DA=DF=6√3，先利用等边对等角得到∠F=∠DAF，结合OD⊥EF的直角条件，通过圆心角是同弧圆周角的2倍的性质，算出∠F=30°、∠DOF=60°，在Rt△ODF中求出半径OD=6。再将不规则的涂色部分拆分为规则的扇形ODB和△AOD两部分，分别计算面积后求和即可得到涂色部分总面积。
【解析】
(1) 连接OD：
∵ D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ ∠CAD = ∠BAD。
∵ OA=OD，
∴ ∠BAD = ∠ADO，
∴ ∠CAD = ∠ADO，可得OD//AE。
又
∵ DE⊥AC，即AE⊥EF，
∴ OD⊥EF，
∵ 点D在EF上，因此OD就是圆心O到EF的垂线段，即所求距离。
∵ AB是⊙O的直径，AB=90cm，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=45\mathrm{cm}$，
即圆心O到EF的距离为45cm。
(2) 连接OD：
∵ DA=DF=6√3，
∴ ∠F = ∠DAF。
由(1)知OD⊥EF，
∴ ∠ODF=90°，可得∠F + ∠DOF = 90°。
根据圆周角定理，∠DOF是弧BD对应的圆心角，∠DAF是弧BD对应的圆周角，因此∠DOF = 2∠DAF = 2∠F，
代入得∠F + 2∠F = 90°，解得∠F=30°，∠DOF=60°。
在Rt△ODF中，$\tan F=\frac{OD}{DF}$，即$\tan30°=\frac{OD}{6\sqrt{3}}$，
解得$OD=6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=6$。
计算涂色部分面积：
涂色部分可拆分为扇形ODB和△AOD两部分：
① 扇形ODB的圆心角∠DOB=60°，半径为6：
$S_{扇形ODB}=\frac{60π×6^2}{360}=6π$
② △AOD中，∠AOD=180°-∠DOF=120°，OA=OD=6：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA× OD×\sin120°=\frac{1}{2}×6×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$
因此涂色部分总面积$S_{阴影}=S_{扇形ODB}+S_{△ AOD}=6π+9\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45\mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{6π +9\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理，切线判定，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题型，第一问通过平行线的性质直接推导出OD垂直EF，省去了额外作垂线的复杂步骤，考察对圆的角平分线性质的灵活运用；第二问用割补法把不规则阴影拆分为规则图形计算，是圆中求阴影面积的经典考法，整体难度适中，需要学生熟练掌握圆的基础性质和面积拆分技巧。
【难度系数】
0.55
