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1. $[2025$ 宜宾中考$]$一组数据 $4,5,5,6,a$ 的平均数为 6,则 $a$ 的值是（
A.7
B.8
C.9
D.10
D
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
根据题意,得$\frac{4+5+5+6+a}{5}=6$,解得$a=10$.
解析
【分析】
这道题已知一组数据的平均数，求其中的未知参数a，首先要回忆算术平均数的定义：一组数据的算术平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。首先确定这组数据一共有5个，已知平均数为6，那么所有数据的总和就等于平均数乘数据个数，也就是6×5=30，再把已知的4个数据相加，用总和减去已知4个数据的和，就能算出a的值，也可以直接代入平均数公式列一元一次方程求解，思路清晰直接。
【解析】
解：根据算术平均数的计算公式，这组数据的平均数为所有数据之和除以数据的总个数，已知数据共5个，平均数为6，因此可列方程：
$\frac{4+5+5+6+a}{5}=6$
先计算分子中已知数的和：$4+5+5+6=20$，方程化简为：
$\frac{20+a}{5}=6$
两边同时乘以5得：$20+a=30$
移项解得：$a=10$
【答案】
D
【知识点】
算术平均数，一元一次方程求解
【点评】
本题属于统计模块的基础题，直接考查算术平均数的基本公式应用，没有设置复杂的变形和陷阱，只要牢记平均数的计算规则，准确数清数据总个数，代入数值即可快速得到结果，是中考统计部分的常见送分题型。
【难度系数】
0.9
这道题已知一组数据的平均数，求其中的未知参数a，首先要回忆算术平均数的定义：一组数据的算术平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。首先确定这组数据一共有5个，已知平均数为6，那么所有数据的总和就等于平均数乘数据个数，也就是6×5=30，再把已知的4个数据相加，用总和减去已知4个数据的和，就能算出a的值，也可以直接代入平均数公式列一元一次方程求解，思路清晰直接。
【解析】
解：根据算术平均数的计算公式，这组数据的平均数为所有数据之和除以数据的总个数，已知数据共5个，平均数为6，因此可列方程：
$\frac{4+5+5+6+a}{5}=6$
先计算分子中已知数的和：$4+5+5+6=20$，方程化简为：
$\frac{20+a}{5}=6$
两边同时乘以5得：$20+a=30$
移项解得：$a=10$
【答案】
D
【知识点】
算术平均数，一元一次方程求解
【点评】
本题属于统计模块的基础题，直接考查算术平均数的基本公式应用，没有设置复杂的变形和陷阱，只要牢记平均数的计算规则，准确数清数据总个数，代入数值即可快速得到结果，是中考统计部分的常见送分题型。
【难度系数】
0.9
2. 易错题 已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是3，则另一组数据$5x_{1}-3,5x_{2}-3,5x_{3}-3,$$5x_{4}-3,5x_{5}-3$的平均数是
12
。答案
根据题意,得$\frac{1}{5}(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=3$,
$\therefore x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=15. \therefore 5x_1-3+5x_2-3+5x_3-3+5x_4-3+5x_5-3=5(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-3×5=5×15-15=60. \therefore \frac{1}{5}(5x_1-3+5x_2-3+5x_3-3+5x_4-3+5x_5-3)=\frac{1}{5}×60=12.$
$\therefore x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=15. \therefore 5x_1-3+5x_2-3+5x_3-3+5x_4-3+5x_5-3=5(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-3×5=5×15-15=60. \therefore \frac{1}{5}(5x_1-3+5x_2-3+5x_3-3+5x_4-3+5x_5-3)=\frac{1}{5}×60=12.$
解析
【分析】
我们可以从算术平均数的定义出发梳理思路：首先已知原5个数据的平均数，第一步先求出原数据的总和；接下来把变换后的新数据的总和通过提取公因式做变形，代入已经算出的原数据总和，最后除以数据的总个数5，就能得到新数据的平均数。也可以直接利用平均数的线性性质快速计算：如果一组数据的每个元素都做y=ax+b的线性变换，新数据的平均数就等于原数据平均数乘a再加b，能大幅简化计算。
【解析】
解：
1. 求原数据的总和
已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是3，根据算术平均数的定义：
$\frac{1}{5}(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=3$
因此原数据总和为：$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=3×5=15$
2. 计算新数据的总和
新数据为$5x_{1}-3,5x_{2}-3,5x_{3}-3,5x_{4}-3,5x_{5}-3$，对其总和做变形：
$\begin{aligned}&(5x_1-3)+(5x_2-3)+(5x_3-3)+(5x_4-3)+(5x_5-3)\\=&5(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) - 3×5\\=&5×15 -15\\=&60\end{aligned}$
3. 计算新数据的平均数
新数据共5个，因此新数据的平均数为：$\frac{1}{5}×60=12$
【答案】
12
【知识点】
算术平均数，平均数的线性性质
【点评】
本题是算术平均数板块的典型易错题，核心考察数据线性变换时平均数的变化规律，很多同学容易出现的失误是只减去1次3，忽略了5个新数据每个都减去了3，记住$\bar{y}=a\bar{x}+b$的规律可以快速验证结果，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
我们可以从算术平均数的定义出发梳理思路：首先已知原5个数据的平均数，第一步先求出原数据的总和；接下来把变换后的新数据的总和通过提取公因式做变形，代入已经算出的原数据总和，最后除以数据的总个数5，就能得到新数据的平均数。也可以直接利用平均数的线性性质快速计算：如果一组数据的每个元素都做y=ax+b的线性变换，新数据的平均数就等于原数据平均数乘a再加b，能大幅简化计算。
【解析】
解：
1. 求原数据的总和
已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是3，根据算术平均数的定义：
$\frac{1}{5}(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=3$
因此原数据总和为：$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=3×5=15$
2. 计算新数据的总和
新数据为$5x_{1}-3,5x_{2}-3,5x_{3}-3,5x_{4}-3,5x_{5}-3$，对其总和做变形：
$\begin{aligned}&(5x_1-3)+(5x_2-3)+(5x_3-3)+(5x_4-3)+(5x_5-3)\\=&5(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) - 3×5\\=&5×15 -15\\=&60\end{aligned}$
3. 计算新数据的平均数
新数据共5个，因此新数据的平均数为：$\frac{1}{5}×60=12$
【答案】
12
【知识点】
算术平均数，平均数的线性性质
【点评】
本题是算术平均数板块的典型易错题，核心考察数据线性变换时平均数的变化规律，很多同学容易出现的失误是只减去1次3，忽略了5个新数据每个都减去了3，记住$\bar{y}=a\bar{x}+b$的规律可以快速验证结果，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 某工厂有 220 名员工,为了解员工的收入情况,财务科抽查了 10 名员工本月的收入(单位:元),结果如下:3 660,3 540,3 510,3 670,3 620,3 580,3 580,3 600,3 620,3 620.
(1) 估计全厂员工的月平均收入是多少.
(2) 估计平均每名员工的年薪是多少.
(3) 估计财务科本月应准备多少元发工资.
(1) 估计全厂员工的月平均收入是多少.
(2) 估计平均每名员工的年薪是多少.
(3) 估计财务科本月应准备多少元发工资.
答案
(1) 估计全厂员工的月平均收入是$\frac{1}{10}×(3\ 510+3\ 540+3\ 580×2+3\ 600+3\ 620×3+3\ 660+3\ 670)=3\ 600$(元).
(2) 估计平均每名员工的年薪是$3\ 600×12=43\ 200$(元).
(3) 由(1),得全厂员工的月平均收入大约是 3 600 元.
$\therefore$估计财务科本月应准备$3\ 600×220=792\ 000$(元)发工资.
(2) 估计平均每名员工的年薪是$3\ 600×12=43\ 200$(元).
(3) 由(1),得全厂员工的月平均收入大约是 3 600 元.
$\therefore$估计财务科本月应准备$3\ 600×220=792\ 000$(元)发工资.
解析
【分析】
这道题的核心解题逻辑是用样本特征估计总体特征，思考步骤如下：
1. 第一问要估算全厂月平均收入，没有全厂所有员工的收入数据，所以先计算抽查的10名员工的月收入算术平均数，用这个样本平均数代表全厂员工的月平均收入，计算时可以先合并重复出现的收入项，简化求和运算降低出错概率。
2. 第二问求人均年薪，一年共12个月，直接用第一问得到的月平均收入乘12即可得到结果。
3. 第三问求本月需准备的总工资，用估算出的全厂人均月收入乘以全厂总员工数220，就能得到总工资的估算值。
【解析】
(1) 计算10名抽查员工的月平均收入，以此估计全厂月平均收入：
先合并重复数据求和：
总收入和 = 3510 + 3540 + 3580×2 + 3600 + 3620×3 + 3660 + 3670 = 36000元
样本月平均收入 = $\frac{1}{10}×36000 = 3600$元
因此估计全厂员工的月平均收入是3600元。
(2) 一年包含12个月，用月平均收入乘12得到人均年薪：
人均年薪 = $3600×12 = 43200$元
即估计平均每名员工的年薪是43200元。
(3) 全厂共220名员工，用人均月收入乘总人数得到本月需准备的总工资：
总工资 = $3600×220 = 792000$元
即估计财务科本月应准备792000元发工资。
【答案】
(1) 3600元；(2) 43200元；(3) 792000元
【知识点】
算术平均数计算，样本估计总体，平均数实际应用
【点评】
本题是统计模块的基础实际应用题，考察统计中用样本特征推断总体的核心思想，解题逻辑清晰，运算难度低，计算时优先合并重复数据可以大幅降低运算量，帮助学生直观理解平均数在生产生活场景中的实用价值。
【难度系数】
0.9
这道题的核心解题逻辑是用样本特征估计总体特征，思考步骤如下：
1. 第一问要估算全厂月平均收入，没有全厂所有员工的收入数据，所以先计算抽查的10名员工的月收入算术平均数，用这个样本平均数代表全厂员工的月平均收入，计算时可以先合并重复出现的收入项，简化求和运算降低出错概率。
2. 第二问求人均年薪，一年共12个月，直接用第一问得到的月平均收入乘12即可得到结果。
3. 第三问求本月需准备的总工资，用估算出的全厂人均月收入乘以全厂总员工数220，就能得到总工资的估算值。
【解析】
(1) 计算10名抽查员工的月平均收入，以此估计全厂月平均收入：
先合并重复数据求和：
总收入和 = 3510 + 3540 + 3580×2 + 3600 + 3620×3 + 3660 + 3670 = 36000元
样本月平均收入 = $\frac{1}{10}×36000 = 3600$元
因此估计全厂员工的月平均收入是3600元。
(2) 一年包含12个月，用月平均收入乘12得到人均年薪：
人均年薪 = $3600×12 = 43200$元
即估计平均每名员工的年薪是43200元。
(3) 全厂共220名员工，用人均月收入乘总人数得到本月需准备的总工资：
总工资 = $3600×220 = 792000$元
即估计财务科本月应准备792000元发工资。
【答案】
(1) 3600元；(2) 43200元；(3) 792000元
【知识点】
算术平均数计算，样本估计总体，平均数实际应用
【点评】
本题是统计模块的基础实际应用题，考察统计中用样本特征推断总体的核心思想，解题逻辑清晰，运算难度低，计算时优先合并重复数据可以大幅降低运算量，帮助学生直观理解平均数在生产生活场景中的实用价值。
【难度系数】
0.9
4. 设 $a,b,c$ 的平均数为 $M$,$a$ 和 $b$ 的平均数为 $N$,$N$ 和 $c$ 的平均数为 $P$. 若 $M＞P$,则 （
A.$a+b＞2c$
B.$a+b＜2c$
C.$a+b＞c$
D.$a+b＜c$
A
）A.$a+b＞2c$
B.$a+b＜2c$
C.$a+b＞c$
D.$a+b＜c$
答案
$\because a,b,c$ 的平均数为 $M$,$a$ 和 $b$ 的平均数为 $N$,$N$和 $c$ 的平均数为 $P$,$\therefore \frac{a+b+c}{3}=M$,$\frac{a+b}{2}=N$,$\frac{N+c}{2}=P$.$\because M＞P$,$\therefore \frac{a+b+c}{3}＞\frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}$. 整理,得$a+b＞2c$.
解析
【分析】
这道题的核心是消去M、N、P三个中间变量，把已知条件转化为仅含a、b、c的不等关系推导即可。第一步，先根据算术平均数的定义，分别写出M、N、P对应的代数式；第二步，将三个代数式代入题目给出的M＞P的不等关系中，得到只包含a、b、c的不等式；第三步，利用不等式的基本性质消去分母、合并同类项，就能直接得到a+b和c的大小关系，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：
1. 根据算术平均数定义写出各变量表达式：
由a,b,c的平均数为M，得 $M=\frac{a+b+c}{3}$；
由a和b的平均数为N，得 $N=\frac{a+b}{2}$；
由N和c的平均数为P，代入N的表达式得 $P=\frac{N+c}{2}=\frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}$。
2. 将上述表达式代入条件$M＞P$，得到不等式：
$\frac{a+b+c}{3} ＞ \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2}$
3. 不等式两边同乘12（3和2的最小公倍数，12＞0，不等号方向不变）消去分母：
$4(a+b+c) ＞ 3(a+b + 2c)$
展开并整理同类项：
$4a+4b+4c ＞ 3a+3b+6c$
最终化简得：
$a+b ＞ 2c$
因此选项A符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
算术平均数，不等式的性质
【点评】
本题是算术平均数和不等式变形结合的基础综合题，解题关键是通过代换消去M、N、P三个中间变量，转化为仅含a、b、c的不等式，由于去分母时两边乘的均为正数，不需要调整不等号方向，计算门槛低，不易出错。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是消去M、N、P三个中间变量，把已知条件转化为仅含a、b、c的不等关系推导即可。第一步，先根据算术平均数的定义，分别写出M、N、P对应的代数式；第二步，将三个代数式代入题目给出的M＞P的不等关系中，得到只包含a、b、c的不等式；第三步，利用不等式的基本性质消去分母、合并同类项，就能直接得到a+b和c的大小关系，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：
1. 根据算术平均数定义写出各变量表达式：
由a,b,c的平均数为M，得 $M=\frac{a+b+c}{3}$；
由a和b的平均数为N，得 $N=\frac{a+b}{2}$；
由N和c的平均数为P，代入N的表达式得 $P=\frac{N+c}{2}=\frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}$。
2. 将上述表达式代入条件$M＞P$，得到不等式：
$\frac{a+b+c}{3} ＞ \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2}$
3. 不等式两边同乘12（3和2的最小公倍数，12＞0，不等号方向不变）消去分母：
$4(a+b+c) ＞ 3(a+b + 2c)$
展开并整理同类项：
$4a+4b+4c ＞ 3a+3b+6c$
最终化简得：
$a+b ＞ 2c$
因此选项A符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
算术平均数，不等式的性质
【点评】
本题是算术平均数和不等式变形结合的基础综合题，解题关键是通过代换消去M、N、P三个中间变量，转化为仅含a、b、c的不等式，由于去分母时两边乘的均为正数，不需要调整不等号方向，计算门槛低，不易出错。
【难度系数】
0.8
5. 新考向 新定义题 在某中学的期中考试中，九年级(1)班的数学平均成绩为84.75分，该班小明的数学成绩为92分，把92分与84.75分的差叫作小明数学成绩的离均差，即小明数学成绩的离均差为$+7.25$分.
(1) 该班小丽的数学成绩为82分，求小丽数学成绩的离均差.
(2) 已知该班第一组8名同学数学成绩的离均差(单位:分)如下:$+10.25$，$-8.75$，$+31.25$，$+15.25$，$-3.75$，$-12.75$，$-10.75$，$-32.75$.
① 求这组同学数学成绩的最高分和最低分.
② 求这组同学的数学平均成绩.
③ 若这组中数学成绩最低的同学达到及格的72分，则这组同学的数学平均成绩能否达到或超过该班级的数学平均成绩？超过或低于该班级的数学平均成绩多少分？
(1) 该班小丽的数学成绩为82分，求小丽数学成绩的离均差.
(2) 已知该班第一组8名同学数学成绩的离均差(单位:分)如下:$+10.25$，$-8.75$，$+31.25$，$+15.25$，$-3.75$，$-12.75$，$-10.75$，$-32.75$.
① 求这组同学数学成绩的最高分和最低分.
② 求这组同学的数学平均成绩.
③ 若这组中数学成绩最低的同学达到及格的72分，则这组同学的数学平均成绩能否达到或超过该班级的数学平均成绩？超过或低于该班级的数学平均成绩多少分？
答案
(1) 小丽数学成绩的离均差为$82-84.75=-2.75$(分).
(2) ① 这组同学数学成绩的最高分为$84.75+31.25=116$(分),最低分为$84.75-32.75=52$(分). ② $\because 10.25-8.75+31.25+15.25-3.75-12.75-10.75-32.75=-12$(分),$\therefore -12÷8+84.75=83.25$(分). $\therefore$ 这组同学的数学平均成绩是 83.25 分. ③ 能.该组最低分是 52 分,若达到 72 分,则增加 20 分. $\because 20÷8=2.5$(分),$83.25+2.5=85.75$(分),$85.75-84.75=1$(分),$\therefore$ 这组同学的数学平均成绩超过该班级的数学平均成绩 1 分.
(2) ① 这组同学数学成绩的最高分为$84.75+31.25=116$(分),最低分为$84.75-32.75=52$(分). ② $\because 10.25-8.75+31.25+15.25-3.75-12.75-10.75-32.75=-12$(分),$\therefore -12÷8+84.75=83.25$(分). $\therefore$ 这组同学的数学平均成绩是 83.25 分. ③ 能.该组最低分是 52 分,若达到 72 分,则增加 20 分. $\because 20÷8=2.5$(分),$83.25+2.5=85.75$(分),$85.75-84.75=1$(分),$\therefore$ 这组同学的数学平均成绩超过该班级的数学平均成绩 1 分.
解析
【分析】
解题的核心是先读懂题目给出的“离均差”新定义：某同学的离均差 = 该同学的个人成绩 - 班级整体平均成绩（本题班级平均为84.75分）。
1. 第(1)问直接代入定义，用小丽的成绩减去班级平均成绩即可得到她的离均差。
2. 第(2)问①：根据离均差的定义变形可得，个人成绩 = 班级平均成绩 + 对应离均差，因此取给出的离均差里的最大值加班级平均得到最高分，取离均差里的最小值加班级平均得到最低分。
3. 第(2)问②：不需要逐个计算8名同学的成绩再求平均，先把所有离均差相加，得到8名同学的总成绩和“8倍班级平均成绩”的总差值，用这个总差值除以人数8，得到该组平均成绩和班级平均的差值，再加上班级平均84.75就能快速算出该组平均成绩。
4. 第(2)问③：先算出最低分从原52分提升到72分的总增量，总增量除以人数得到平均成绩的增量，在原组平均成绩基础上加上增量得到新的平均成绩，再和班级平均对比即可得到结果。
【解析】
(1) 根据离均差的定义计算：
小丽的离均差 = 82 - 84.75 = -2.75（分）
(2) ① 由个人成绩=班级平均成绩+离均差可得：
最高分 = 84.75 + 31.25 = 116（分）
最低分 = 84.75 - 32.75 = 52（分）
② 先计算8名同学的离均差总和：
+10.25 - 8.75 + 31.25 + 15.25 - 3.75 - 12.75 - 10.75 - 32.75 = -12（分）
该组平均成绩与班级平均的差值为：-12 ÷ 8 = -1.5（分）
该组平均成绩为：84.75 - 1.5 = 83.25（分）
③ 最低分从52分提升到72分时，总分数增量为72 - 52 = 20（分）
该组平均成绩增量为：20 ÷ 8 = 2.5（分）
提升后的组平均成绩为：83.25 + 2.5 = 85.75（分）
对比班级平均：85.75 - 84.75 = 1（分），可知新的组平均超过班级平均1分。
【答案】
(1) 小丽数学成绩的离均差为-2.75分；(2) ① 最高分为116分，最低分为52分；② 这组同学的数学平均成绩是83.25分；③ 这组同学的数学平均成绩能超过该班级的数学平均成绩，超过该班级的数学平均成绩1分。
【知识点】
新定义运算，有理数加减，平均数计算
【点评】
本题是贴合实际的新定义基础题型，核心是准确理解离均差的定义，无需逐一计算所有同学的成绩即可通过离均差的性质简化平均数的计算，既考察了有理数的四则运算能力，也考察了对平均数概念的灵活运用，解题时注意多个有理数求和的运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先读懂题目给出的“离均差”新定义：某同学的离均差 = 该同学的个人成绩 - 班级整体平均成绩（本题班级平均为84.75分）。
1. 第(1)问直接代入定义，用小丽的成绩减去班级平均成绩即可得到她的离均差。
2. 第(2)问①：根据离均差的定义变形可得，个人成绩 = 班级平均成绩 + 对应离均差，因此取给出的离均差里的最大值加班级平均得到最高分，取离均差里的最小值加班级平均得到最低分。
3. 第(2)问②：不需要逐个计算8名同学的成绩再求平均，先把所有离均差相加，得到8名同学的总成绩和“8倍班级平均成绩”的总差值，用这个总差值除以人数8，得到该组平均成绩和班级平均的差值，再加上班级平均84.75就能快速算出该组平均成绩。
4. 第(2)问③：先算出最低分从原52分提升到72分的总增量，总增量除以人数得到平均成绩的增量，在原组平均成绩基础上加上增量得到新的平均成绩，再和班级平均对比即可得到结果。
【解析】
(1) 根据离均差的定义计算：
小丽的离均差 = 82 - 84.75 = -2.75（分）
(2) ① 由个人成绩=班级平均成绩+离均差可得：
最高分 = 84.75 + 31.25 = 116（分）
最低分 = 84.75 - 32.75 = 52（分）
② 先计算8名同学的离均差总和：
+10.25 - 8.75 + 31.25 + 15.25 - 3.75 - 12.75 - 10.75 - 32.75 = -12（分）
该组平均成绩与班级平均的差值为：-12 ÷ 8 = -1.5（分）
该组平均成绩为：84.75 - 1.5 = 83.25（分）
③ 最低分从52分提升到72分时，总分数增量为72 - 52 = 20（分）
该组平均成绩增量为：20 ÷ 8 = 2.5（分）
提升后的组平均成绩为：83.25 + 2.5 = 85.75（分）
对比班级平均：85.75 - 84.75 = 1（分），可知新的组平均超过班级平均1分。
【答案】
(1) 小丽数学成绩的离均差为-2.75分；(2) ① 最高分为116分，最低分为52分；② 这组同学的数学平均成绩是83.25分；③ 这组同学的数学平均成绩能超过该班级的数学平均成绩，超过该班级的数学平均成绩1分。
【知识点】
新定义运算，有理数加减，平均数计算
【点评】
本题是贴合实际的新定义基础题型，核心是准确理解离均差的定义，无需逐一计算所有同学的成绩即可通过离均差的性质简化平均数的计算，既考察了有理数的四则运算能力，也考察了对平均数概念的灵活运用，解题时注意多个有理数求和的运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
