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1.(5分)数学家斐波那契编写的《计算之书》中有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得的钱数与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为$x$,则可列方程为 (
A.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$
B.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x-6}$
C.$\dfrac{10}{x+6}=\dfrac{40}{x}$
D.$\dfrac{10}{x-6}=\dfrac{40}{6}$
A
)A.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$
B.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x-6}$
C.$\dfrac{10}{x+6}=\dfrac{40}{x}$
D.$\dfrac{10}{x-6}=\dfrac{40}{6}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题核心等量关系是两次每人分得的钱数相等，解题思路为分别表示出两次分钱的人均所得金额，再根据二者相等列方程。首先先确定第一次分钱的总金额、人数，算出第一次人均钱数；再确定第二次分钱的总金额、人数（第一次人数加6），算出第二次人均钱数，最后结合等量关系即可得到对应方程。
【解析】
1. 明确等量关系：由题意可知，第一次每人分得的钱数=第二次每人分得的钱数。
2. 表示第一次人均分得的钱数：第一次总钱数为10元，分钱人数为$x$，根据“人均钱数=总钱数÷人数”，可得第一次每人分得$\dfrac{10}{x}$元。
3. 表示第二次人均分得的钱数：第二次总钱数为40元，分钱人数比第一次多6人，即人数为$x+6$，可得第二次每人分得$\dfrac{40}{x+6}$元。
4. 结合等量关系列方程得：$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 实际问题列分式方程
2. 平均分数量关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准“两次人均所得相等”的核心等量关系，只需注意第二次分钱的人数是在第一次人数基础上增加6，避免混淆两次的人数即可正确作答。
【难度系数】
0.85
本题核心等量关系是两次每人分得的钱数相等，解题思路为分别表示出两次分钱的人均所得金额，再根据二者相等列方程。首先先确定第一次分钱的总金额、人数，算出第一次人均钱数；再确定第二次分钱的总金额、人数（第一次人数加6），算出第二次人均钱数，最后结合等量关系即可得到对应方程。
【解析】
1. 明确等量关系：由题意可知，第一次每人分得的钱数=第二次每人分得的钱数。
2. 表示第一次人均分得的钱数：第一次总钱数为10元，分钱人数为$x$，根据“人均钱数=总钱数÷人数”，可得第一次每人分得$\dfrac{10}{x}$元。
3. 表示第二次人均分得的钱数：第二次总钱数为40元，分钱人数比第一次多6人，即人数为$x+6$，可得第二次每人分得$\dfrac{40}{x+6}$元。
4. 结合等量关系列方程得：$\dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 实际问题列分式方程
2. 平均分数量关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准“两次人均所得相等”的核心等量关系，只需注意第二次分钱的人数是在第一次人数基础上增加6，避免混淆两次的人数即可正确作答。
【难度系数】
0.85
2.(5分)某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍,购买足球用了5000元,购买篮球用了4000元,篮球的单价比足球的贵30元.根据题意可列方程$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$,则方程中$x$表示(
A.足球的单价
B.篮球的单价
C.购买足球的数量
D.购买篮球的数量
D
)A.足球的单价
B.篮球的单价
C.购买足球的数量
D.购买篮球的数量
答案
2. D
解析
【分析】
要确定方程中x的含义，需结合总价、单价、数量的关系（总价=单价×数量，即单价=总价÷数量），以及题目给出的等量关系反向推导。首先观察方程两边的分式，分子分别是足球、篮球的总费用，因此两个分式分别对应足球和篮球的单价，再结合“足球数量是篮球的2倍”“篮球单价比足球贵30元”的条件，即可判断x的意义。
【解析】
第一步：明确题干已知量的对应关系：购买足球总费用为5000元，购买篮球总费用为4000元；足球数量=2×篮球数量，篮球单价=足球单价+30元，即足球单价=篮球单价-30元。
第二步：分析方程中分式的意义：
① 若x表示购买篮球的数量，那么篮球的单价为总费用÷数量，即$\frac{4000}{x}$元；
② 由“足球数量是篮球的2倍”可得，足球数量为$2x$，则足球的单价为$\frac{5000}{2x}$元；
③ 代入“足球单价=篮球单价-30元”的等量关系，恰好得到题目给出的方程$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$，假设成立。
因此x表示购买篮球的数量，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的实际意义
2. 销售问题基本等量关系
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对分式方程实际背景的理解能力，解题的关键是熟练掌握总价、单价、数量三者的运算关系，结合题干给出的等量关系即可快速判断未知数的含义。
【难度系数】
0.8
要确定方程中x的含义，需结合总价、单价、数量的关系（总价=单价×数量，即单价=总价÷数量），以及题目给出的等量关系反向推导。首先观察方程两边的分式，分子分别是足球、篮球的总费用，因此两个分式分别对应足球和篮球的单价，再结合“足球数量是篮球的2倍”“篮球单价比足球贵30元”的条件，即可判断x的意义。
【解析】
第一步：明确题干已知量的对应关系：购买足球总费用为5000元，购买篮球总费用为4000元；足球数量=2×篮球数量，篮球单价=足球单价+30元，即足球单价=篮球单价-30元。
第二步：分析方程中分式的意义：
① 若x表示购买篮球的数量，那么篮球的单价为总费用÷数量，即$\frac{4000}{x}$元；
② 由“足球数量是篮球的2倍”可得，足球数量为$2x$，则足球的单价为$\frac{5000}{2x}$元；
③ 代入“足球单价=篮球单价-30元”的等量关系，恰好得到题目给出的方程$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$，假设成立。
因此x表示购买篮球的数量，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的实际意义
2. 销售问题基本等量关系
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对分式方程实际背景的理解能力，解题的关键是熟练掌握总价、单价、数量三者的运算关系，结合题干给出的等量关系即可快速判断未知数的含义。
【难度系数】
0.8
3. (5分) 古代数学问题《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少买一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，设6210文能购买x株椽，则符合题意的方程是 (
A.$3(x-1)=\dfrac{6210}{x-1}$
B.$3(x-1)=6210$
C.$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$
D.$\dfrac{6210}{x-1}=3x$
C
)A.$3(x-1)=\dfrac{6210}{x-1}$
B.$3(x-1)=6210$
C.$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$
D.$\dfrac{6210}{x-1}=3x$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的设元：设6210文能购买x株椽，接下来围绕核心等量关系逐步推导。第一步先表示单株椽的售价：根据“总价÷数量=单价”，总售价6210文可买x株，因此单株椽的价格为$\frac{6210}{x}$文；第二步表示少买一株椽后的总运费：少买1株时购买数量为$(x-1)$株，每株运费3文，总运费为$3(x-1)$文；第三步结合题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，将两个表达式联立即可得到对应方程。
【解析】
已知设6210文能购买x株椽：
1. 求单株椽的售价：总售价为6210文，共购买x株，由“单价=总价÷数量”可得，单株椽的价格为$\dfrac{6210}{x}$文；
2. 求少买1株后的总运费：少买1株后实际购买的椽数量为$(x-1)$株，每株运费3文，因此总运费为$3(x-1)$文；
3. 结合题中等量关系“少买一株后剩下的椽的运费=一株椽的价钱”，可列方程：$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为载体，考查从实际情景中提取等量关系列方程的能力，解题核心是准确理解文言大意，找准两个相等的量对应的代数表达式。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的设元：设6210文能购买x株椽，接下来围绕核心等量关系逐步推导。第一步先表示单株椽的售价：根据“总价÷数量=单价”，总售价6210文可买x株，因此单株椽的价格为$\frac{6210}{x}$文；第二步表示少买一株椽后的总运费：少买1株时购买数量为$(x-1)$株，每株运费3文，总运费为$3(x-1)$文；第三步结合题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，将两个表达式联立即可得到对应方程。
【解析】
已知设6210文能购买x株椽：
1. 求单株椽的售价：总售价为6210文，共购买x株，由“单价=总价÷数量”可得，单株椽的价格为$\dfrac{6210}{x}$文；
2. 求少买1株后的总运费：少买1株后实际购买的椽数量为$(x-1)$株，每株运费3文，因此总运费为$3(x-1)$文；
3. 结合题中等量关系“少买一株后剩下的椽的运费=一株椽的价钱”，可列方程：$3(x-1)=\dfrac{6210}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为载体，考查从实际情景中提取等量关系列方程的能力，解题核心是准确理解文言大意，找准两个相等的量对应的代数表达式。
【难度系数】
0.7
4.(5分)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用的时间相等，则江水的流速为
8
km/h.答案
4. 8
解析
【分析】
本题是行程类分式方程应用题，解题思路如下：第一步，明确流水行船的速度关系：顺流实际航速=静水航速+江水流速，逆流实际航速=静水航速-江水流速；第二步，找等量关系：题目明确给出顺流航行120km的时间=逆流航行80km的时间，而行程问题中时间=路程÷速度；第三步，设江水流速为未知数，根据等量关系列分式方程，求解后记得检验根是否满足分母不为0，且符合实际意义。
【解析】
解：设江水的流速为$x$ km/h。
则货轮顺流航速为$(40+x)$ km/h，逆流航速为$(40-x)$ km/h。
根据“顺流航行120km所用时间与逆流航行80km所用时间相等”，列方程得：
$\frac{120}{40+x} = \frac{80}{40-x}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-x) = 80(40+x)$
两边同时除以40化简得：
$3(40-x) = 2(40+x)$
展开括号：
$120 - 3x = 80 + 2x$
移项合并同类项：
$5x = 40$
解得：$x=8$
检验：当$x=8$时，$40+x=48≠0$，$40-x=32≠0$，且水流速度为正数符合实际意义，因此$x=8$是原方程的解。
【答案】
8
【知识点】
1.分式方程的应用
2.流水行船行程问题
3.分式方程验根
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，核心是抓住时间相等的等量关系列方程，解题时需注意顺流、逆流速度的正确表达，解完分式方程后不要忘记检验根的合理性，是巩固分式方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题是行程类分式方程应用题，解题思路如下：第一步，明确流水行船的速度关系：顺流实际航速=静水航速+江水流速，逆流实际航速=静水航速-江水流速；第二步，找等量关系：题目明确给出顺流航行120km的时间=逆流航行80km的时间，而行程问题中时间=路程÷速度；第三步，设江水流速为未知数，根据等量关系列分式方程，求解后记得检验根是否满足分母不为0，且符合实际意义。
【解析】
解：设江水的流速为$x$ km/h。
则货轮顺流航速为$(40+x)$ km/h，逆流航速为$(40-x)$ km/h。
根据“顺流航行120km所用时间与逆流航行80km所用时间相等”，列方程得：
$\frac{120}{40+x} = \frac{80}{40-x}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-x) = 80(40+x)$
两边同时除以40化简得：
$3(40-x) = 2(40+x)$
展开括号：
$120 - 3x = 80 + 2x$
移项合并同类项：
$5x = 40$
解得：$x=8$
检验：当$x=8$时，$40+x=48≠0$，$40-x=32≠0$，且水流速度为正数符合实际意义，因此$x=8$是原方程的解。
【答案】
8
【知识点】
1.分式方程的应用
2.流水行船行程问题
3.分式方程验根
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，核心是抓住时间相等的等量关系列方程，解题时需注意顺流、逆流速度的正确表达，解完分式方程后不要忘记检验根的合理性，是巩固分式方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
5.(8分)(扬州中考)为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器.A型机器比B型机器每天多处理40 t垃圾，A型机器处理500 t垃圾所用的天数与B型机器处理300 t垃圾所用的天数相等，则B型机器每天处理多少吨垃圾？
答案
5. 解:设B型机器每天处理x t垃圾,则A型机器每天处理(x+40)t垃圾.根据题意,得$\dfrac{500}{x+40}=\dfrac{300}{x}$,解得x=60.经检验,x=60是所列分式方程的解,且符合题意.答:B型机器每天处理60 t垃圾.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确所求为B型机器的日处理量，先设其为未知数x，结合题干给出的A型与B型日处理量的关系，可表示出A型机器的日处理量；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别表示出A型处理500t垃圾、B型处理300t垃圾的耗时；最后利用两类机器耗时相等的等量关系列分式方程，求解后注意检验解是否符合方程及实际意义即可。
【解析】
解：设B型机器每天处理x t垃圾，则A型机器每天处理$(x+40)$t垃圾。
根据题意，A型机器处理500t垃圾的天数与B型机器处理300t垃圾的天数相等，列方程得：
$\dfrac{500}{x+40}=\dfrac{300}{x}$
交叉相乘得：$500x=300(x+40)$
展开得：$500x=300x+12000$
移项合并同类项得：$200x=12000$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$x(x+40)=60× 100=6000≠ 0$，因此$x=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：B型机器每天处理60 t垃圾。
【答案】
60 t
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是抓住“工作时间相等”的核心等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须做双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.75
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确所求为B型机器的日处理量，先设其为未知数x，结合题干给出的A型与B型日处理量的关系，可表示出A型机器的日处理量；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别表示出A型处理500t垃圾、B型处理300t垃圾的耗时；最后利用两类机器耗时相等的等量关系列分式方程，求解后注意检验解是否符合方程及实际意义即可。
【解析】
解：设B型机器每天处理x t垃圾，则A型机器每天处理$(x+40)$t垃圾。
根据题意，A型机器处理500t垃圾的天数与B型机器处理300t垃圾的天数相等，列方程得：
$\dfrac{500}{x+40}=\dfrac{300}{x}$
交叉相乘得：$500x=300(x+40)$
展开得：$500x=300x+12000$
移项合并同类项得：$200x=12000$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$x(x+40)=60× 100=6000≠ 0$，因此$x=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：B型机器每天处理60 t垃圾。
【答案】
60 t
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是抓住“工作时间相等”的核心等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须做双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.75
6.(10分)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16 000 kW·h.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600 kW·h.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32 kW·h,求一盏A型节能灯每年的用电量.
答案
6. 解:设一盏B型节能灯每年的用电量为x kW·h,则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)kW·h.根据题意,得$\dfrac{16000}{2x-32}=\dfrac{9600}{x}$,解得x=96.经检验,x=96是所列方程的解,且符合题意.
∴2x-32=160.答:一盏A型节能灯每年的用电量为160 kW·h.
∴2x-32=160.答:一盏A型节能灯每年的用电量为160 kW·h.
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心等量关系：购进的A型节能灯数量与B型节能灯数量相同，而单类灯的总数量=该类灯年总用电量÷单盏灯年用电量。我们可先设一盏B型节能灯每年用电量为x kW·h，根据题目给出的A、B单盏用电量的数量关系，表示出A型灯的单盏年用电量，再结合数量相等的关系列分式方程求解，注意分式方程解完需要检验合理性，最后代入表达式算出A型灯的用电量即可。
【解析】
解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x kW·h，则一盏A型节能灯每年的用电量为$(2x-32)$kW·h。
根据两种节能灯数量相等，列方程得：
$\dfrac{16000}{2x-32}=\dfrac{9600}{x}$
交叉相乘得：$16000x=9600(2x-32)$
化简得：$16000x=19200x-307200$
移项合并同类项得：$3200x=307200$
解得$x=96$。
经检验，$x=96$是所列分式方程的解，且符合实际意义。
则一盏A型节能灯每年的用电量为$2x-32=2×96-32=160$（kW·h）。
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160 kW·h。
【答案】
160 kW·h
【知识点】
分式方程的应用，列方程解应用题，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题核心是找准“两种节能灯数量相等”的等量关系，求解分式方程后要注意双重检验，既要验证解是否为方程的根，也要验证解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目核心等量关系：购进的A型节能灯数量与B型节能灯数量相同，而单类灯的总数量=该类灯年总用电量÷单盏灯年用电量。我们可先设一盏B型节能灯每年用电量为x kW·h，根据题目给出的A、B单盏用电量的数量关系，表示出A型灯的单盏年用电量，再结合数量相等的关系列分式方程求解，注意分式方程解完需要检验合理性，最后代入表达式算出A型灯的用电量即可。
【解析】
解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x kW·h，则一盏A型节能灯每年的用电量为$(2x-32)$kW·h。
根据两种节能灯数量相等，列方程得：
$\dfrac{16000}{2x-32}=\dfrac{9600}{x}$
交叉相乘得：$16000x=9600(2x-32)$
化简得：$16000x=19200x-307200$
移项合并同类项得：$3200x=307200$
解得$x=96$。
经检验，$x=96$是所列分式方程的解，且符合实际意义。
则一盏A型节能灯每年的用电量为$2x-32=2×96-32=160$（kW·h）。
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160 kW·h。
【答案】
160 kW·h
【知识点】
分式方程的应用，列方程解应用题，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题核心是找准“两种节能灯数量相等”的等量关系，求解分式方程后要注意双重检验，既要验证解是否为方程的根，也要验证解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
