1. 先化简$( \dfrac{x}{x-2} - 1 ) ÷ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$，再从$-2$，$2$，$4$中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值。

1. 解:原式 = $\dfrac{x-x+2}{x-2} · \dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{2}{x-2} · \dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{2}{x+2} ·$
∵当$x=2$或$-2$时,原分式无意义,
∴$x=4$. 当$x=4$时,原式$=\dfrac{2}{4+2}=\dfrac{1}{3}$.

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先计算括号内的运算，将1转化为分母为$x-2$的分式，按照同分母分式减法法则计算；第二步将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分，得到最简结果；第三步根据分式有意义（分母不为0）的要求，排除会使分母为0的取值，选合适的$x$代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
计算括号内的减法：$\dfrac{x}{x-2} - 1 = \dfrac{x-(x-2)}{x-2} = \dfrac{2}{x-2}$
将除法转换为乘法，同时因式分解分子分母：
原式$=\dfrac{2}{x-2} ÷ \dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \dfrac{2}{x-2} · \dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}$
约分后得最简式：$\dfrac{2}{x+2}$
再确定可选的$x$值：要使原分式有意义，需满足所有分母不为0，即$x-2≠0$且$x^2-4≠0$，解得$x≠2$且$x≠-2$，因此只能选$x=4$。
代入$x=4$计算：原式$=\dfrac{2}{4+2}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{2}{x+2}$，当$x=4$时，值为$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式化简求值；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算和分式有意义的判定，易错点是忽略分母不能为0的要求，误选$x=2$或$x=-2$代入计算，解题时要先确认代入的数值能使原式所有部分都有意义，再代入最简式计算。
【难度系数】
0.6

2. 解方程：$\frac{1}{x+3} - \frac{2}{3-x} = \frac{12}{x^2 -9}$

2. 解:由于最简公分母为$(x+3)(x-3)$,于是将方程两边同乘$(x+3)(x-3)$,得 $x-3+2(x+3)=12$,解得 $x=3$. 经检验,$x=3$ 不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.

【分析】
这是一道分式方程求解问题，解题思路可分为三步：第一步先确定最简公分母，先对分母因式分解，$x^2-9$利用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，同时将$3-x$变形为$-(x-3)$，即可得到最简公分母为$(x+3)(x-3)$；第二步去分母，将方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，注意去分母时要处理好符号，不要漏乘常数项；第三步求解整式方程后，必须代入最简公分母检验，若最简公分母为0，则所求根是增根，原方程无解，若不为0则是原方程的根。
【解析】
首先对分母因式分解可得：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$3-x=-(x-3)$，因此原方程的最简公分母为$(x+3)(x-3)$。
将方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$，消去分母得：
$x-3 + 2(x+3) = 12$
展开括号：$x-3 + 2x +6 =12$
合并同类项：$3x +3 =12$
移项计算：$3x=9$，解得$x=3$。
检验：将$x=3$代入最简公分母$(x+3)(x-3)$，得$(3+3)(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，不是原方程的解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
分式方程求解，平方差公式，增根的检验
【点评】
本题是分式方程的基础常考题，易错点有两个：一是去分母时处理$\frac{2}{3-x}$项的符号容易出错，二是求解整式方程后容易忘记检验增根，解题时要注意这两个细节。
【难度系数】
0.6

3.(遂宁中考)若分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$

3. B

【分析】
要解决这道题，首先按分式方程的求解步骤，先去分母转化为整式方程求出含参数m的解，再结合两个限制条件列不等式：一是方程的解为正数，即解大于0；二是分式方程的分母不能为0，即解不能使x-1=0（否则为增根，不满足分式方程的要求），最后综合两个不等式的结果就能得到m的取值范围。
【解析】
解：原分式方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），去分母得：
$2 = (x-1) - m$
移项整理，求解$x$：
$x-1 = 2 + m$
$x = m + 3$
∵ 方程的解为正数
∴ $x ＞ 0$，即$m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
又
∵ 分母$x-1≠0$，即$x≠1$
∴ $m + 3 ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ -2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型易错题，解题的关键是不要忽略分式方程分母不为0的隐含条件，避免因漏算增根对应的参数限制而选错答案。
【难度系数】
0.6

4.(牡丹江中考)若分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数$m$的值为.

4. -1

【分析】
解决本题首先要将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下：①先统一分母，找到最简公分母为$x-1$，去分母时注意符号变化；②解出用含$m$的式子表示的$x$；③结合“解为正整数”“分式分母不为0（避免增根）”“$m$为整数”三个限制条件，筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
原方程可变形为：$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开右边并整理：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$(-2-m)x=-3$
即$(m+2)x=3$
解得：$x=\frac{3}{m+2}$
∵ 方程的解为正整数，且$x≠1$（否则为增根），$m$为整数
∴ $m+2$是3的正约数，且$\frac{3}{m+2}≠1$
3的正约数为1、3：
① 当$m+2=1$时，$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，是正整数且$3≠1$，符合要求；
② 当$m+2=3$时，$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，是增根，舍去。
综上，整数$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程的解法
2.分式方程的增根
3.整数解求值
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，解题核心是先将分式方程转化为整式方程得到解的表达式，再结合解的限制条件筛选参数，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的要求，漏掉增根的检验，导致多算错误结果。
【难度系数】
0.6

5.若分式方程$\frac{2x - a}{x - 1} - 4 = \frac{-2x + a}{x + 1}$的解为整数，求整数$a$的值.

5. 解:由于最简公分母为$(x+1)(x-1)$,于是将方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$(2x-a)(x+1)-4(x+1)(x-1)=(x-1)(-2x+a)$. 整理,得 $2ax=4$,解得 $x=\dfrac{2}{a}$.
∵$x$ 为整数,且 $x≠±1$,
∴$x=±2$.
∴$a=±1$.

【分析】
解决本题首先要遵循分式方程的求解逻辑：先去分母转化为整式方程，再用含参数a的式子表示出方程的解；接下来结合两个限制条件筛选a的取值：一是解为整数，二是解不能使原方程的分母为0（否则为增根，原方程无意义），最终得到符合要求的整数a。
【解析】
解：原方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$去分母，得：
$(2x-a)(x+1)-4(x+1)(x-1)=(x-1)(-2x+a)$
展开等式左右两边并整理：
$-2x^2+(2-a)x -a +4 = -2x^2+(2+a)x -a$
消去同类项、移项合并得：$2ax=4$
解得：$x=\dfrac{2}{a}$
∵方程的解为整数，且原方程分母不能为0，即$x≠±1$
∴$\dfrac{2}{a}$为整数，且$\dfrac{2}{a}≠1$，$\dfrac{2}{a}≠-1$
结合a为整数，可知a为2的整数因数，可能取值为$\pm1、\pm2$
其中a=2时x=1，a=-2时x=-1，均为增根，舍去；
仅当a=±1时，x=±2，符合所有条件。
【答案】
$a=\pm1$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，整数解求值
【点评】
本题属于分式方程的典型易错题，解题的关键是不要遗漏分式方程的增根检验，需同时满足解为整数、解使原方程有意义两个条件，才能得到正确的参数值。
【难度系数】
0.6

6.若关于$x$的方程$\frac{mx - 3}{x + 1} = -2$无解，则$m$的值为（）

A.$-1$
B.$-1$或$-2$
C.$-3$
D.$-2$或$-3$

6. D

【分析】
分式方程无解分为两种情况：①去分母后得到的整式方程本身没有解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分别对两种情况讨论求解即可。
【解析】
首先将原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x+1$（$x≠ -1$），得：
$mx - 3 = -2(x + 1)$
整理整式方程：
$mx - 3 = -2x - 2$
移项合并同类项得：
$(m + 2)x = 1$
分两种情况讨论原方程无解的条件：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0，常数项不为0时，整式方程无解。
即$m + 2 = 0$，解得$m = -2$，此时方程变为$0· x = 1$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合条件。
2. 整式方程有解，但解为原分式方程的增根：原分式方程的增根为使分母为0的$x$值，即$x = -1$。
将$x = -1$代入整式方程$(m + 2)x = 1$，得：
$-(m + 2) = 1$
解得$m = -3$，此时整式方程的解为增根，原分式方程无解，符合条件。
综上，$m$的值为$-2$或$-3$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程无解类问题的典型考题，解题核心是明确分式方程无解的两种情形，注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6

7. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-2} + \frac{mx}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{x+1}$无解，求$m$的值.

7. 解:由于最简公分母为$(x+1)(x-2)$,于是将方程两边同乘$(x+1)(x-2)$,得 $2(x+1)+mx=3(x-2)$,整理,得$(1-m)x=8$. 分两种情况讨论:①当$1-m=0$时,$(1-m)x=8$ 无解,
∴$m=1$;②当$x+1=0$或$x-2=0$时,原方程也无解,此时 $x=-1$ 或 $2$. 当 $x=-1$ 时,$(1-m)×(-1)=8$,解得 $m=9$;当 $x=2$ 时,$(1-m)×2=8$,解得 $m=-3$. 综上所述,$m=1$ 或 $9$ 或 $-3$.

【分析】
分式方程无解包含两种核心情形：一是去分母后转化得到的整式方程本身不存在解；二是整式方程有解，但该解会让原分式方程的分母为0（即增根），导致原分式无意义。解题时先将分式方程转化为整式方程，再针对两种情形分别分类讨论，即可求出对应的m值。
【解析】
解：原分式方程的最简公分母为$\boldsymbol{(x+1)(x-2)}$，
将方程两边同时乘$(x+1)(x-2)$去分母，得：
$2(x+1)+mx=3(x-2)$，
整理整式方程，得：$\boldsymbol{(1-m)x=8}$。
分两种情况讨论：
① 当整式方程$(1-m)x=8$无解时：
此时一次项系数为0，即$1-m=0$，解得$m=1$；
② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原方程无解：
增根满足最简公分母为0，即$(x+1)(x-2)=0$，解得$x=-1$或$x=2$。
将$x=-1$代入$(1-m)x=8$，得：$(1-m)×(-1)=8$，解得$m=9$；
将$x=2$代入$(1-m)x=8$，得：$(1-m)×2=8$，解得$m=-3$。
综上所述，m的值为1、9或-3。
【答案】
$m=1$或$9$或$-3$
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；解一元一次方程
【点评】
本题考查分式方程无解的相关应用，解题关键是明确分式方程无解的两类情况，分类讨论时要做到不重不漏，尤其注意不要遗漏整式方程本身无解的特殊情形。
【难度系数】
0.6