9. (10分) 培养批判性思维 在解分式方程$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$时，小明的解法如下：
解:方程两边乘$(x-3)$，
得 $2-x=-1-2$. ①
移项，得$-x=-1-2-2$， ②
解得 $x=5$. ③
(1)小明在第步出现了错误(填序号)，错误的原因是.
(2)小明的解题步骤完整吗？如果不完整，说明他还缺少哪一步.
(3)请你写出正确的计算过程.

9. 解:(1)① 常数项漏乘最简公分母 (2)不完整，没有验根.(3)方程两边乘$(x-3)$,得 $2-x=-1-2(x-3)$,解得 $x=3$.检验:当 $x=3$ 时,$x-3=0$,
∴$x=3$ 不是原分式方程的解.
∴原方程无解.

【分析】
本题围绕分式方程的求解及易错点展开，解题思路如下：1. 回忆分式方程去分母的规则：方程两边每一项都要乘最简公分母，对照小明的解题步骤，可发现第①步去分母时，右侧的常数项-2未乘最简公分母(x-3)，因此该步出错；2. 回忆分式方程的完整求解步骤：去分母、解整式方程、验根，由于去分母会扩大未知数的取值范围，可能产生增根，因此验根是必不可少的步骤，小明解出x的值后未检验，步骤不完整；3. 正确求解时严格按照去分母、解整式方程、验根的步骤计算，若检验时最简公分母为0，说明所得根是增根，原分式方程无解。
【解析】
(1) 小明去分母时，仅给等号右侧的分式项乘了(x-3)，常数项-2没有乘最简公分母，因此第①步出现错误，错误原因为常数项漏乘最简公分母。
(2) 小明的解题步骤不完整，分式方程去分母后得到的整式方程的根可能使原分式分母为0，属于增根，因此解完必须验根，小明缺少验根这一步。
(3) 正确计算过程：
方程两边乘最简公分母$(x-3)$，得 $2-x=-1-2(x-3)$
去括号得$2-x=-1-2x+6$，移项合并同类项得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，因此$x=3$是增根，不是原分式方程的解，原方程无解。
【答案】
(1)① 常数项漏乘最简公分母 (2)不完整，没有验根.(3)方程两边乘$(x-3)$,得 $2-x=-1-2(x-3)$,解得 $x=3$.检验:当 $x=3$ 时,$x-3=0$,
∴$x=3$ 不是原分式方程的解.
∴原方程无解.
【知识点】
分式方程的解法，去分母法则，分式方程验根
【点评】
本题聚焦分式方程求解的高频易错点，针对性考察学生对去分母规则、验根必要性的掌握情况，可帮助学生纠正解分式方程时漏乘、忘验根的常见错误，强化解题的规范性。
【难度系数】
0.7

10.(12分)如图，点A,B在数轴上，它们表示的数分别为$-2$，$\frac{x}{x+2}$。

(1)若点A,B到原点的距离相等，求x的值；
(2)若点C在数轴上表示的数为$\frac{1}{2x+4}$，且点A,B到点C的距离相等，求x的值。

10. 解:(1)由题意,得$\frac{x}{x+2}=2$,解得 $x=-4$.检验:当$x=-4$ 时,$x+2≠0$.
∴原分式方程的解是 $x=-4$.
∴$x=-4$.(2)
∵点 A,B 到点 C 的距离相等,
∴$AC=BC$.
∴$\frac{1}{2x+4}-(-2)=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2x+4}$,解得 $x=-5$.检验:当 $x=-5$ 时,$2(x+2)≠0$.
∴原分式方程的解是 $x=-5$.
∴$x=-5$.

【分析】
(1) 数轴上到原点距离相等且分别在原点两侧的两个点表示的数互为相反数，已知点A表示的数为-2，点B在原点右侧为正数，因此点B表示的数为2，据此列出分式方程求解，最后检验分母不为0即可。
(2) 数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，若点A、B到点C的距离相等，则$AC=BC$，根据这个等量关系列分式方程，求解后检验分母不为0得到x的值。
【解析】
(1) 由题意得，点B表示的数是-2的相反数，即：
$\frac{x}{x+2}=2$
去分母得：$x=2(x+2)$
解得：$x=-4$
检验：当$x=-4$时，$x+2=-2≠0$，故原分式方程的解为$x=-4$。
(2) 由$AC=BC$可得：
$\frac{1}{2x+4}-(-2)=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2x+4}$
去分母，两边同乘$2(x+2)$得：$1+4(x+2)=2x-1$
展开整理得：$2x=-10$
解得：$x=-5$
检验：当$x=-5$时，$2(x+2)=-6≠0$，故原分式方程的解为$x=-5$。
【答案】
(1) $x=-4$；(2) $x=-5$
【知识点】
数轴的应用，分式方程的解法，相反数的性质
【点评】
本题结合数轴知识考查分式方程的实际应用，解题关键是根据点的位置关系准确列出方程，同时要注意分式方程求解后必须检验分母是否为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7

11.(14分)已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-2} + $$$
(1)若方程的增根为$x=2$，求$m$的值；
(2)若方程有增根，求$m$的值；
(3)若方程无解，求$m$的值.
(注:分式方程的增根就是使最简公分母为0的未知数的值)

11. 解:方程两边乘$(x+1)(x-2)$,得 $2(x+1)+mx=3(x-2)$,
∴$(1-m)x=8$.(1)当原分式方程的增根为$x=2$时,$(1-m)×2=8$,
∴$m=-3$.(2)若原分式方程有增根,则 $x-2=0$ 或 $x+1=0$,
∴$x=2$ 或 $x=-1$.当 $x=2$ 时,由(1)得 $m=-3$;当 $x=-1$ 时,$(1-m)×(-1)=8$,
∴$m=9$.综上所述,当 $m$ 的值为 $-3$ 或 9时,原分式方程有增根.(3)当原分式方程无解时,分两种情况讨论:①当 $1-m=0$ 时,$(1-m)x=8$ 无解,
∴$m=1$;②当原分式方程有增根时,由(2)得当 $m=-3$ 或 $m=9$ 时,方程无解.综上所述,当 $m$ 的值为 1或 $-3$ 或 9 时,原分式方程无解.

【分析】
解决本题首先要将分式方程去分母转化为整式方程，明确增根的定义：增根是使原分式方程最简公分母为0的未知数的值，同时也是去分母后整式方程的根。解题思路如下：(1)已知增根为x=2，直接将x=2代入整式方程即可求解m；(2)先令最简公分母为0，求出所有可能的增根，再分别将增根代入整式方程求出对应的m值；(3)分式方程无解分两类情况讨论：一是去分母得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解均为原分式方程的增根，分情况计算即可，注意不要漏解。
【解析】
首先给原分式方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-2)$，消去分母得：
$2(x+1)+mx=3(x-2)$
整理得：$\boldsymbol{(1-m)x=8}$
(1)已知方程增根为$x=2$，将$x=2$代入整式方程$(1-m)x=8$，得：
$(1-m)×2=8$
解得：$m=-3$
(2)若分式方程有增根，则最简公分母为0，即$(x+1)(x-2)=0$，解得增根为$x=2$或$x=-1$：
①当增根为$x=2$时，由(1)得$m=-3$；
②当增根为$x=-1$时，将$x=-1$代入$(1-m)x=8$，得：
$(1-m)×(-1)=8$
解得：$m=9$
综上，方程有增根时，$m$的值为$-3$或$9$。
(3)分式方程无解分两种情况讨论：
①整式方程$(1-m)x=8$无解：当一次项系数为0，即$1-m=0$时，方程变为$0·x=8$，等式不成立，方程无解，此时$m=1$；
②整式方程有解，但所有解都是原分式方程的增根：由(2)可知，此时$m=-3$或$m=9$。
综上，方程无解时，$m$的值为$1$或$-3$或$9$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{m=-3}$；
(2)$\boldsymbol{m=-3}$或$\boldsymbol{9}$；
(3)$\boldsymbol{m=1}$或$\boldsymbol{-3}$或$\boldsymbol{9}$
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的判定，解一元一次方程
【点评】
本题考查分式方程增根和无解的相关计算，解题核心是掌握增根的两个属性，同时求解无解类问题时要注意区分"整式方程本身无解"和"整式方程的解为增根"两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

12.(5分)(乌兰察布期末)关于$x$的分式方程$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$的解为正数，且关于$y$的不等式组$\begin{cases} y + 9 ≤ 2(y + 2), \\ \frac{2y - a}{3} ＞ 1 \end{cases}$的解集为$y ≥ 5$，则所有满足条件的整数$a$的值之和是________。

12. 13

【分析】
本题需要分别求解分式方程和一元一次不等式组，再结合给出的限制条件确定参数a的取值范围，最终找出符合条件的整数a求和。解题思路如下：第一步先解分式方程，根据“解为正数”且“分母不为0（排除增根）”得到a的第一组限制条件；第二步解不等式组，根据“解集为y≥5”结合不等式组“同大取大”的解集确定原则，得到a的第二组限制条件；第三步综合两组条件筛选出所有整数a，计算它们的和即可。
【解析】
1. 求解分式方程：
原方程为$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$，先将分式统一分母，变形为：
$\frac{3x - a}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 3} = 1$
方程两边同乘$(x-3)$（注意$x≠3$，避免增根），得：
$3x - a - (x + 1) = x - 3$
化简整理：
$3x - a - x -1 = x -3$
移项合并同类项得：$x = a - 2$
根据题意方程的解为正数，故$x＞0$，即$a - 2 ＞ 0$，解得$a＞2$；
同时排除增根：$x≠3$，即$a - 2 ≠ 3$，解得$a≠5$。
2. 求解不等式组：
不等式组为$\begin{cases} y + 9 ≤ 2(y + 2)① \\ \frac{2y - a}{3} ＞ 1② \end{cases}$
解不等式①：
$y +9 ≤ 2y +4$
移项得：$y≥5$
解不等式②：
两边同乘3得：$2y - a ＞3$
移项整理得：$y ＞ \frac{a+3}{2}$
已知不等式组的解集为$y≥5$，根据“同大取大”的解集原则，可得$\frac{a+3}{2} ＜ 5$
解得：$a +3 ＜10$，即$a＜7$
3. 综合条件确定a的范围：
结合以上结果，a的取值范围为$2 ＜ a ＜7$且$a≠5$，满足条件的整数a为3、4、6。
它们的和为：$3 +4 +6 =13$
【答案】
13
【知识点】
分式方程的解、一元一次不等式组的解法、整数解计算
【点评】
本题为分式方程与不等式组的综合题型，解题时需注意两个易错点：一是分式方程求解后必须验证分母不为0，排除增根对应的参数值；二是确定不等式组解集时要准确运用“同大取大”的原则判断参数的边界取值，避免边界判断错误。
【难度系数】
0.6