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13.若关于$ x $的方程$ 4(a - x) - 4(x + 1) = 60 $的解是$ x = -1 $，则$ a $的值为
14
。答案
13.14
解析
【分析】
本题是已知含参数的一元一次方程的解，求参数值的题型。解题核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们只需将已知的解x=-1代入原方程，原方程就会转化为仅含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的值，代入时要注意符号处理，避免出错。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$4(a - x) - 4(x + 1) = 60$的解
∴将$x=-1$代入原方程，可得：
$4[a - (-1)] - 4×(-1 + 1) = 60$
化简得：$4(a + 1) - 4×0 = 60$
即：$4(a + 1) = 60$
两边同时除以4，得：$a + 1 = 15$
移项计算得：$a = 15 - 1 = 14$
【答案】
14
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元一次方程解的含义的理解，以及解一元一次方程的能力，代入参数时注意负号的运算，掌握基础运算规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
本题是已知含参数的一元一次方程的解，求参数值的题型。解题核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们只需将已知的解x=-1代入原方程，原方程就会转化为仅含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的值，代入时要注意符号处理，避免出错。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$4(a - x) - 4(x + 1) = 60$的解
∴将$x=-1$代入原方程，可得：
$4[a - (-1)] - 4×(-1 + 1) = 60$
化简得：$4(a + 1) - 4×0 = 60$
即：$4(a + 1) = 60$
两边同时除以4，得：$a + 1 = 15$
移项计算得：$a = 15 - 1 = 14$
【答案】
14
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元一次方程解的含义的理解，以及解一元一次方程的能力，代入参数时注意负号的运算，掌握基础运算规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
14.已知$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,则关于$x$的方程$(a+b)x^2 + 3cd(x - 1) - 2x = 0$的解为$x=$
3
.答案
14.3
解析
【分析】
解题时先利用相反数和倒数的性质得到a+b与cd的值，将其代入原方程后可消去二次项，得到一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项的步骤求解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1。
将a+b=0，cd=1代入原方程，得：
$0× x^2 + 3×1×(x-1) - 2x = 0$
化简得：$3(x-1)-2x=0$
去括号，得：$3x - 3 - 2x = 0$
合并同类项，得：$x - 3 = 0$
解得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础常考题，将数的基本性质与解方程结合，关键在于先根据相反数和倒数的性质简化方程，再按解一元一次方程的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先利用相反数和倒数的性质得到a+b与cd的值，将其代入原方程后可消去二次项，得到一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项的步骤求解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1。
将a+b=0，cd=1代入原方程，得：
$0× x^2 + 3×1×(x-1) - 2x = 0$
化简得：$3(x-1)-2x=0$
去括号，得：$3x - 3 - 2x = 0$
合并同类项，得：$x - 3 = 0$
解得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础常考题，将数的基本性质与解方程结合，关键在于先根据相反数和倒数的性质简化方程，再按解一元一次方程的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.8
15. 解方程：
(1)$2x - 3 = 6 - 2(x - 0.5x)$；
(2)$12 - 2(x - 5) = 1 - 5x$；
(3)$2(4x - 3) - 5(2x - 1) = 7$；
(4)$2(x - 2) - (1 - 3x) = x + 3$。
(1)$2x - 3 = 6 - 2(x - 0.5x)$；
(2)$12 - 2(x - 5) = 1 - 5x$；
(3)$2(4x - 3) - 5(2x - 1) = 7$；
(4)$2(x - 2) - (1 - 3x) = x + 3$。
答案
(1)$x=3$
(2)$x=-7$
(3)$x=-4$
(4)$x=2$
(2)$x=-7$
(3)$x=-4$
(4)$x=2$
解析
【分析】
解带括号的一元一次方程遵循通用解题思路：①去括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内每一项，不要漏乘。②移项：将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要变号。③合并同类项，将方程整理为$ax=b$（$a≠0$）的形式。④系数化为1，两边同时除以$a$得到最终解。按照该步骤逐个计算即可。
【解析】
(1) 先化简方程右侧括号内的项：
$2x - 3 = 6 - 2×0.5x$
化简得：$2x - 3 = 6 - x$
移项：$2x + x = 6 + 3$
合并同类项：$3x = 9$
系数化为1：$x = 3$
(2) 去括号：
$12 - 2x + 10 = 1 - 5x$
合并左侧常数项：$22 - 2x = 1 - 5x$
移项：$-2x + 5x = 1 - 22$
合并同类项：$3x = -21$
系数化为1：$x = -7$
(3) 去括号：
$8x - 6 - 10x + 5 = 7$
合并同类项：$-2x - 1 = 7$
移项：$-2x = 7 + 1$
计算得：$-2x = 8$
系数化为1：$x = -4$
(4) 去括号：
$2x - 4 - 1 + 3x = x + 3$
合并同类项：$5x - 5 = x + 3$
移项：$5x - x = 3 + 5$
合并同类项：$4x = 8$
系数化为1：$x = 2$
【答案】
(1)$x=3$
(2)$x=-7$
(3)$x=-4$
(4)$x=2$
【知识点】
去括号法则、解一元一次方程、移项法则
【点评】
本组题目是去括号解一元一次方程的基础训练题，易错点为去括号时的符号处理和漏乘问题，熟练掌握运算规则就能准确求解。
【难度系数】
0.85
解带括号的一元一次方程遵循通用解题思路：①去括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内每一项，不要漏乘。②移项：将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要变号。③合并同类项，将方程整理为$ax=b$（$a≠0$）的形式。④系数化为1，两边同时除以$a$得到最终解。按照该步骤逐个计算即可。
【解析】
(1) 先化简方程右侧括号内的项：
$2x - 3 = 6 - 2×0.5x$
化简得：$2x - 3 = 6 - x$
移项：$2x + x = 6 + 3$
合并同类项：$3x = 9$
系数化为1：$x = 3$
(2) 去括号：
$12 - 2x + 10 = 1 - 5x$
合并左侧常数项：$22 - 2x = 1 - 5x$
移项：$-2x + 5x = 1 - 22$
合并同类项：$3x = -21$
系数化为1：$x = -7$
(3) 去括号：
$8x - 6 - 10x + 5 = 7$
合并同类项：$-2x - 1 = 7$
移项：$-2x = 7 + 1$
计算得：$-2x = 8$
系数化为1：$x = -4$
(4) 去括号：
$2x - 4 - 1 + 3x = x + 3$
合并同类项：$5x - 5 = x + 3$
移项：$5x - x = 3 + 5$
合并同类项：$4x = 8$
系数化为1：$x = 2$
【答案】
(1)$x=3$
(2)$x=-7$
(3)$x=-4$
(4)$x=2$
【知识点】
去括号法则、解一元一次方程、移项法则
【点评】
本组题目是去括号解一元一次方程的基础训练题，易错点为去括号时的符号处理和漏乘问题，熟练掌握运算规则就能准确求解。
【难度系数】
0.85
16.[新定义创新题]对于有理数$a$，$b$定义一种新运算，规定$a☆b=a^2 - ab$.
(1)求$3☆(-4)$的值；
(2)若$(-2)☆(5☆x)=4$，求$x$的值.
(1)求$3☆(-4)$的值；
(2)若$(-2)☆(5☆x)=4$，求$x$的值.
答案
解:(1)根据题中的新定义得,原式$=3^2-3×(-4)=9+12=21$.
(2)将已知等式利用题中的新定义化简,得$(-2)^2-(-2)×(25-5x)=4$,整理得$54-10x=4$,解得$x=5$.
(2)将已知等式利用题中的新定义化简,得$(-2)^2-(-2)×(25-5x)=4$,整理得$54-10x=4$,解得$x=5$.
解析
【分析】
本题考查新定义运算的应用及一元一次方程的求解。(1)问属于直接套用新定义公式的基础问题，解题时只需将新运算中的a替换为3，b替换为-4，按照有理数运算规则计算即可；(2)问是嵌套型新定义运算，需遵循“先算内层括号，再算外层”的顺序，先计算5☆x的值，再将结果代入外层的(-2)☆运算中，把原式转化为关于x的一元一次方程，最后按照解方程的步骤求解即可，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据新定义$a☆b=a^2 - ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
原式$=3^2 - 3×(-4) = 9 + 12 = 21$
(2) 先计算内层的$5☆x$：
根据新定义，$5☆x = 5^2 - 5x = 25 - 5x$
再将$5☆x=25-5x$代入$(-2)☆(5☆x)$，此时外层运算中$a=-2$，$b=25-5x$，结合题意可列方程：
$(-2)^2 - (-2)×(25-5x) = 4$
去括号得：$4 + 50 - 10x = 4$
整理得：$54 - 10x = 4$
移项、合并同类项得：$-10x = -50$
系数化为1得：$x = 5$
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{x=5}$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程；整式化简
【点评】
本题是新定义类常规题型，核心是准确理解新运算的规则，嵌套运算需注意运算顺序，计算时要格外关注符号问题，避免去括号时符号出错。
【难度系数】
0.7
本题考查新定义运算的应用及一元一次方程的求解。(1)问属于直接套用新定义公式的基础问题，解题时只需将新运算中的a替换为3，b替换为-4，按照有理数运算规则计算即可；(2)问是嵌套型新定义运算，需遵循“先算内层括号，再算外层”的顺序，先计算5☆x的值，再将结果代入外层的(-2)☆运算中，把原式转化为关于x的一元一次方程，最后按照解方程的步骤求解即可，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据新定义$a☆b=a^2 - ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
原式$=3^2 - 3×(-4) = 9 + 12 = 21$
(2) 先计算内层的$5☆x$：
根据新定义，$5☆x = 5^2 - 5x = 25 - 5x$
再将$5☆x=25-5x$代入$(-2)☆(5☆x)$，此时外层运算中$a=-2$，$b=25-5x$，结合题意可列方程：
$(-2)^2 - (-2)×(25-5x) = 4$
去括号得：$4 + 50 - 10x = 4$
整理得：$54 - 10x = 4$
移项、合并同类项得：$-10x = -50$
系数化为1得：$x = 5$
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{x=5}$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程；整式化简
【点评】
本题是新定义类常规题型，核心是准确理解新运算的规则，嵌套运算需注意运算顺序，计算时要格外关注符号问题，避免去括号时符号出错。
【难度系数】
0.7
17.阅读材料并回答问题：
$|x|$的含义是数轴上表示数$x$的点与原点的距离，即$|x|=|x-0|$，$|x-1|$表示在数轴上数$x$与数1对应的点之间的距离.例如$|x-1|=2$的解就是在数轴上到表示1的点的距离为2的点表示的数，故$x=-1$或$x=3$.
(1)若$|x|=2$，则$x$的值是
(2)解下列方程：
①$|x-3|=2$；
②$|x-1|+|x-3|=8$.
$|x|$的含义是数轴上表示数$x$的点与原点的距离，即$|x|=|x-0|$，$|x-1|$表示在数轴上数$x$与数1对应的点之间的距离.例如$|x-1|=2$的解就是在数轴上到表示1的点的距离为2的点表示的数，故$x=-1$或$x=3$.
(1)若$|x|=2$，则$x$的值是
±2
；(2)解下列方程：
①$|x-3|=2$；
②$|x-1|+|x-3|=8$.
答案
(1)$±2$
(2)解:①因为$|x-3|=2$的解就是在数轴上到表示3的点的距离为2的点表示的数,所以$x=5$或$x=1$.
②因为$|x-1|+|x-3|=8$,所以数轴上表示$x$的点到表示1的点与表示3的点的距离和为8,易知$x＞3$或$x＜1$,当$x＞3$时,$|x-1|+|x-3|=x-1+x-3=8$,解得$x=6$;当$x＜1$时,$|x-1|+|x-3|=1-x+3-x=8$,解得$x=-2$.综上所述,原方程的解为$x=6$或$x=-2$.
(2)解:①因为$|x-3|=2$的解就是在数轴上到表示3的点的距离为2的点表示的数,所以$x=5$或$x=1$.
②因为$|x-1|+|x-3|=8$,所以数轴上表示$x$的点到表示1的点与表示3的点的距离和为8,易知$x＞3$或$x＜1$,当$x＞3$时,$|x-1|+|x-3|=x-1+x-3=8$,解得$x=6$;当$x＜1$时,$|x-1|+|x-3|=1-x+3-x=8$,解得$x=-2$.综上所述,原方程的解为$x=6$或$x=-2$.
解析
【分析】
本题借助绝对值的几何意义求解含绝对值的方程，解题思路如下：1. 第一小问，根据|x|的含义是数轴上x到原点的距离，距离为2的点在原点两侧各有一个，即可得到x的值；2. 第二小问①，|x-3|是x到表示3的点的距离，距离为2的点在3的左右两侧各一个，直接计算即可；3. 第二小问②，|x-1|+|x-3|是x到1和x到3的距离之和，先判断x在1和3之间时距离和恒为2，达不到8，因此分x＞3和x＜1两种情况，去掉绝对值符号转化为普通一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 根据|x|的含义是数轴上表示x的点到原点的距离，到原点距离为2的数为2和-2，因此x的值为±2。
(2) ① |x-3|表示数轴上数x与数3对应的点之间的距离，到表示3的点距离为2的点对应的数为$3+2=5$和$3-2=1$，因此方程的解为$x=1$或$x=5$。
② $|x-1|+|x-3|$表示数轴上表示x的点到表示1的点、表示3的点的距离之和，已知1和3之间的距离为2，若x在1和3之间，距离和为2，不符合和为8的条件，因此分两种情况讨论：
当$x＞3$时，$x-1＞0$，$x-3＞0$，去绝对值得：
$x-1+x-3=8$
合并同类项得$2x-4=8$
解得$x=6$，符合$x＞3$的条件；
当$x＜1$时，$x-1＜0$，$x-3＜0$，去绝对值得：
$1-x+3-x=8$
合并同类项得$4-2x=8$
解得$x=-2$，符合$x＜1$的条件。
综上，原方程的解为$x=6$或$x=-2$。
【答案】
(1) $\pm 2$
(2) ① $x=1$或$x=5$；② $x=6$或$x=-2$
【知识点】
绝对值的几何意义，含绝对值方程求解，一元一次方程解法
【点评】
本题将绝对值的几何意义与解方程相结合，渗透数形结合和分类讨论的思想，能帮助学生快速明确解题方向，避免去绝对值时出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
本题借助绝对值的几何意义求解含绝对值的方程，解题思路如下：1. 第一小问，根据|x|的含义是数轴上x到原点的距离，距离为2的点在原点两侧各有一个，即可得到x的值；2. 第二小问①，|x-3|是x到表示3的点的距离，距离为2的点在3的左右两侧各一个，直接计算即可；3. 第二小问②，|x-1|+|x-3|是x到1和x到3的距离之和，先判断x在1和3之间时距离和恒为2，达不到8，因此分x＞3和x＜1两种情况，去掉绝对值符号转化为普通一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 根据|x|的含义是数轴上表示x的点到原点的距离，到原点距离为2的数为2和-2，因此x的值为±2。
(2) ① |x-3|表示数轴上数x与数3对应的点之间的距离，到表示3的点距离为2的点对应的数为$3+2=5$和$3-2=1$，因此方程的解为$x=1$或$x=5$。
② $|x-1|+|x-3|$表示数轴上表示x的点到表示1的点、表示3的点的距离之和，已知1和3之间的距离为2，若x在1和3之间，距离和为2，不符合和为8的条件，因此分两种情况讨论：
当$x＞3$时，$x-1＞0$，$x-3＞0$，去绝对值得：
$x-1+x-3=8$
合并同类项得$2x-4=8$
解得$x=6$，符合$x＞3$的条件；
当$x＜1$时，$x-1＜0$，$x-3＜0$，去绝对值得：
$1-x+3-x=8$
合并同类项得$4-2x=8$
解得$x=-2$，符合$x＜1$的条件。
综上，原方程的解为$x=6$或$x=-2$。
【答案】
(1) $\pm 2$
(2) ① $x=1$或$x=5$；② $x=6$或$x=-2$
【知识点】
绝对值的几何意义，含绝对值方程求解，一元一次方程解法
【点评】
本题将绝对值的几何意义与解方程相结合，渗透数形结合和分类讨论的思想，能帮助学生快速明确解题方向，避免去绝对值时出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
18.规定:若两个一元一次方程所含未知数相同,并且其中一个方程的解是另一个方程解的2倍,则这个方程叫另一个方程的倍解方程.如一元一次方程$x+7=17$的解是$x=10$,$2x=10$的解是$x=5$,10是5的2倍,因此一元一次方程$x+7=17$是$2x=10$的倍解方程.已知关于$x$的一元一次方程$ax-7=5$是$3(x+1)-4=11-x$的倍解方程,求$a$的值.
答案
解:$3(x+1)-4=11-x$,去括号,得$3x+3-4=11-x$,移项、合并同类项,得$4x=12$,系数化为1,得$x=3$.又因为关于$x$的一元一次方程$ax-7=5$是$3(x+1)-4=9+(2-x)$的倍解方程,所以$ax-7=5$的解是$x=6$,所以$6a-7=5$,$6a=12$,解得$a=2$.
解析
【分析】
首先理解“倍解方程”的新定义：两个所含未知数相同的一元一次方程，若其中一个方程的解是另一个方程解的2倍，则前者是后者的倍解方程。解题时先求解不含参数的方程$3(x+1)-4=11-x$，再根据倍解方程的定义，得到含参数方程$ax-7=5$的解是前者解的2倍，最后将该解代入含参数的方程即可求出$a$的值。
【解析】
先解方程$3(x+1)-4=11-x$：
去括号，得$3x+3-4=11-x$，
移项、合并同类项，得$4x=12$，
系数化为1，得$x=3$。
因为关于$x$的一元一次方程$ax-7=5$是$3(x+1)-4=11-x$的倍解方程，所以$ax-7=5$的解是$3×2=6$。
把$x=6$代入$ax-7=5$，得：
$6a-7=5$，
移项得$6a=12$，
解得$a=2$。
【答案】
$a=2$
【知识点】
解一元一次方程，新定义问题，方程的解的应用
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题的核心是准确理解倍解方程的含义，理清两个方程解的倍数关系，计算过程难度较低，注意去括号、移项的符号问题即可避免出错。
【难度系数】
0.7
首先理解“倍解方程”的新定义：两个所含未知数相同的一元一次方程，若其中一个方程的解是另一个方程解的2倍，则前者是后者的倍解方程。解题时先求解不含参数的方程$3(x+1)-4=11-x$，再根据倍解方程的定义，得到含参数方程$ax-7=5$的解是前者解的2倍，最后将该解代入含参数的方程即可求出$a$的值。
【解析】
先解方程$3(x+1)-4=11-x$：
去括号，得$3x+3-4=11-x$，
移项、合并同类项，得$4x=12$，
系数化为1，得$x=3$。
因为关于$x$的一元一次方程$ax-7=5$是$3(x+1)-4=11-x$的倍解方程，所以$ax-7=5$的解是$3×2=6$。
把$x=6$代入$ax-7=5$，得：
$6a-7=5$，
移项得$6a=12$，
解得$a=2$。
【答案】
$a=2$
【知识点】
解一元一次方程，新定义问题，方程的解的应用
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题的核心是准确理解倍解方程的含义，理清两个方程解的倍数关系，计算过程难度较低，注意去括号、移项的符号问题即可避免出错。
【难度系数】
0.7
