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1.用公式法解方程$x^2 - 3x - 4 = 0$，对应$a$,$b$,$c$的值分别是（
A.1,3,4
B.0,−3,−4
C.1,3,−4
D.1,−3,−4
D
）.A.1,3,4
B.0,−3,−4
C.1,3,−4
D.1,−3,−4
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，确定系数时要保留项前面的符号。本题中给出的方程已经是一般形式，直接和一般形式逐一对应即可得到$a,b,c$的取值。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，且$a≠0$）。
将给定方程$x^2 - 3x - 4 = 0$与一般形式对照：
1. 二次项为$x^2$，因此二次项系数$a=1$；
2. 一次项为$-3x$，因此一次项系数$b=-3$；
3. 常数项为$-4$，因此$c=-4$。
综上，$a,b,c$的值分别为1、-3、-4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式中各项系数的确定，解题的易错点是容易忽略项前面的负号，只要熟练掌握一元二次方程的一般形式，注意符号问题即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，确定系数时要保留项前面的符号。本题中给出的方程已经是一般形式，直接和一般形式逐一对应即可得到$a,b,c$的取值。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，且$a≠0$）。
将给定方程$x^2 - 3x - 4 = 0$与一般形式对照：
1. 二次项为$x^2$，因此二次项系数$a=1$；
2. 一次项为$-3x$，因此一次项系数$b=-3$；
3. 常数项为$-4$，因此$c=-4$。
综上，$a,b,c$的值分别为1、-3、-4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式中各项系数的确定，解题的易错点是容易忽略项前面的负号，只要熟练掌握一元二次方程的一般形式，注意符号问题即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - c = 0$能用公式法求解的前提是（
A.$c=1$
B.$c≥1$
C.$c≥-1$
D.$c≤-1$
C
）.A.$c=1$
B.$c≥1$
C.$c≥-1$
D.$c≤-1$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程能用公式法求解的核心前提：方程有实数根，也就是判别式Δ≥0。第一步先确定给定方程中各项的系数，第二步代入判别式公式列出关于c的不等式，第三步解不等式就能得到c的取值范围，对应选出正确选项即可，解题时要注意不要混淆常数项的符号。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$能用公式法求解的前提是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
对于方程$x^2 - 2x - c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-c) = 4 + 4c$
令$\Delta≥0$，即$4+4c≥0$，
解不等式：两边同时减4得$4c≥-4$，
两边同时除以4得$c≥-1$。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判别式；公式法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考点题，考查公式法解一元二次方程的前提条件，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，再通过解不等式得到参数的取值范围，计算时要注意常数项的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一元二次方程能用公式法求解的核心前提：方程有实数根，也就是判别式Δ≥0。第一步先确定给定方程中各项的系数，第二步代入判别式公式列出关于c的不等式，第三步解不等式就能得到c的取值范围，对应选出正确选项即可，解题时要注意不要混淆常数项的符号。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$能用公式法求解的前提是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
对于方程$x^2 - 2x - c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-c) = 4 + 4c$
令$\Delta≥0$，即$4+4c≥0$，
解不等式：两边同时减4得$4c≥-4$，
两边同时除以4得$c≥-1$。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程判别式；公式法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考点题，考查公式法解一元二次方程的前提条件，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，再通过解不等式得到参数的取值范围，计算时要注意常数项的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
3.用公式法解关于$x$的一元二次方程得$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$，则该一元二次方程可能是（
A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$
C
）。A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$
答案
3.C
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。解题时只需将题目给出的求根表达式与标准求根公式逐项对应，分别确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，即可还原出原一元二次方程，再与选项比对得到答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的求根式$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$与标准求根公式逐项对比：
1. 分母$2a=2×4$，可得$a=4$；
2. 分子的一次项部分$-b=-6$，可得$b=6$；
3. 根号内的常数项乘积$4ac=4×4×1$，代入$a=4$，可得$c=1$。
因此原一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是对一元二次方程求根公式的逆向应用考查，核心是熟练掌握求根公式的结构特征，明确公式中各部分对应方程的各项系数，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。解题时只需将题目给出的求根表达式与标准求根公式逐项对应，分别确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，即可还原出原一元二次方程，再与选项比对得到答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的求根式$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2 -4×4×1}}{2×4}$与标准求根公式逐项对比：
1. 分母$2a=2×4$，可得$a=4$；
2. 分子的一次项部分$-b=-6$，可得$b=6$；
3. 根号内的常数项乘积$4ac=4×4×1$，代入$a=4$，可得$c=1$。
因此原一元二次方程为$4x^2+6x+1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是对一元二次方程求根公式的逆向应用考查，核心是熟练掌握求根公式的结构特征，明确公式中各部分对应方程的各项系数，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + c = 0$的一个根是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，则$c$的值是（
A.－3
B.－1
C.1
D.3
B
）.A.－3
B.－1
C.1
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知的根代入原方程，即可得到只含有未知数c的等式，再通过二次根式的运算化简等式，就能求出c的值。
【解析】
∵ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是一元二次方程$x^2 - x + c = 0$的根
∴ 将$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入方程得：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} + c = 0$
先计算平方项：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1^2 + 2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
代入原式化简：
$\frac{3+\sqrt{5}}{2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} + c = 0$
$\frac{(3+\sqrt{5}) - (1+\sqrt{5})}{2} + c = 0$
$\frac{3+\sqrt{5} -1 -\sqrt{5}}{2} + c = 0$
$\frac{2}{2} + c = 0$
$1 + c = 0$
解得：$c=-1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，代入根计算时要注意二次根式完全平方展开的规则，计算过程细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知的根代入原方程，即可得到只含有未知数c的等式，再通过二次根式的运算化简等式，就能求出c的值。
【解析】
∵ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是一元二次方程$x^2 - x + c = 0$的根
∴ 将$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入方程得：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} + c = 0$
先计算平方项：
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1^2 + 2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
代入原式化简：
$\frac{3+\sqrt{5}}{2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} + c = 0$
$\frac{(3+\sqrt{5}) - (1+\sqrt{5})}{2} + c = 0$
$\frac{3+\sqrt{5} -1 -\sqrt{5}}{2} + c = 0$
$\frac{2}{2} + c = 0$
$1 + c = 0$
解得：$c=-1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，代入根计算时要注意二次根式完全平方展开的规则，计算过程细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
5.用公式法解方程.
(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$.
(2) $2x^2 + 1 = 3x$.
(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$.
(2) $2x^2 + 1 = 3x$.
答案
5.(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$.
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程是否有实数根：$\Delta≥0$时存在实根，$\Delta＜0$时无实根；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根，解题时要注意移项需变号，不要带错系数的符号。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先整理方程为一般形式：移项得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$，
当取加号时，$x=\frac{3+1}{4}=1$；当取减号时，$x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$，
即$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查公式法的规范应用，只要掌握一般形式的整理、判别式计算和求根公式的代入方法即可轻松解题，注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程是否有实数根：$\Delta≥0$时存在实根，$\Delta＜0$时无实根；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根，解题时要注意移项需变号，不要带错系数的符号。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 先整理方程为一般形式：移项得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$，
当取加号时，$x=\frac{3+1}{4}=1$；当取减号时，$x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$，
即$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查公式法的规范应用，只要掌握一般形式的整理、判别式计算和求根公式的代入方法即可轻松解题，注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.8
6.下列方程最适合用公式法求解的是(
A.$(x-3)^2=2$
B.$x^2 -10x +25=0$
C.$x^2 +2x=0$
D.$2x^2 +3x -1=0$
D
).A.$(x-3)^2=2$
B.$x^2 -10x +25=0$
C.$x^2 +2x=0$
D.$2x^2 +3x -1=0$
答案
6.D
解析
【分析】
解这道题首先要明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适合形如$(x+a)^2=b(b≥0)$的方程；因式分解法适合左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程；配方法更适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法是通用解法，最适合无法用前两种简便方法求解、配方法也较麻烦的方程。接下来逐个分析每个选项的方程特征，匹配最简便的解法，排除用其他方法更合适的选项，就能得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 方程$(x-3)^2=2$符合直接开平方法的形式，直接开平方即可求解，不适合用公式法，排除；
B. 方程$x^2 -10x +25=0$可因式分解为$(x-5)^2=0$，用因式分解法求解最简便，排除；
C. 方程$x^2 +2x=0$可提取公因式分解为$x(x+2)=0$，用因式分解法求解最简便，排除；
D. 方程$2x^2 +3x -1=0$无法直接开平方，也不能进行因式分解，且二次项系数不为1，用配方法需要先化简二次项系数，相对繁琐，因此最适合用公式法求解。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择、公式法适用条件
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，要求学生熟练掌握各类解法的特点，根据方程的特征选择最简便的求解方法，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适合形如$(x+a)^2=b(b≥0)$的方程；因式分解法适合左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程；配方法更适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法是通用解法，最适合无法用前两种简便方法求解、配方法也较麻烦的方程。接下来逐个分析每个选项的方程特征，匹配最简便的解法，排除用其他方法更合适的选项，就能得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 方程$(x-3)^2=2$符合直接开平方法的形式，直接开平方即可求解，不适合用公式法，排除；
B. 方程$x^2 -10x +25=0$可因式分解为$(x-5)^2=0$，用因式分解法求解最简便，排除；
C. 方程$x^2 +2x=0$可提取公因式分解为$x(x+2)=0$，用因式分解法求解最简便，排除；
D. 方程$2x^2 +3x -1=0$无法直接开平方，也不能进行因式分解，且二次项系数不为1，用配方法需要先化简二次项系数，相对繁琐，因此最适合用公式法求解。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择、公式法适用条件
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，要求学生熟练掌握各类解法的特点，根据方程的特征选择最简便的求解方法，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
7.已知$a$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的较小的一个根，则下面对$a$的估值正确的是(
A.$-1.5 ＜ a ＜ -1$
B.$2 ＜ a ＜ 3$
C.$-4 ＜ a ＜ -3$
D.$4 ＜ a ＜ 5$
A
).A.$-1.5 ＜ a ＜ -1$
B.$2 ＜ a ＜ 3$
C.$-4 ＜ a ＜ -3$
D.$4 ＜ a ＜ 5$
答案
7.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出一元二次方程的根的表达式，区分出较小的根，再通过估算无理数的范围，结合不等式的性质推导较小根的取值范围，最后匹配正确选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-3$，常数项为$-5$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-5) =9+20=29$；
2. 由求根公式得方程的根为：$x=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$；
3. 区分大小根：显然$\frac{3+\sqrt{29}}{2}＞\frac{3-\sqrt{29}}{2}$，因此较小根$a=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$；
4. 估算$\sqrt{29}$的范围：因为$25＜29＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$；
5. 推导$a$的范围：对不等式$5＜\sqrt{29}＜6$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-6＜-\sqrt{29}＜-5$；两边再加3，得$-3＜3-\sqrt{29}＜-2$；两边同除以2，得$-1.5＜\frac{3-\sqrt{29}}{2}＜-1$，即$-1.5＜a＜-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式；无理数大小估算；不等式的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先准确求出较小根的表达式，再正确估算无理数的取值范围，注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要求出一元二次方程的根的表达式，区分出较小的根，再通过估算无理数的范围，结合不等式的性质推导较小根的取值范围，最后匹配正确选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-3$，常数项为$-5$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-5) =9+20=29$；
2. 由求根公式得方程的根为：$x=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$；
3. 区分大小根：显然$\frac{3+\sqrt{29}}{2}＞\frac{3-\sqrt{29}}{2}$，因此较小根$a=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$；
4. 估算$\sqrt{29}$的范围：因为$25＜29＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$；
5. 推导$a$的范围：对不等式$5＜\sqrt{29}＜6$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-6＜-\sqrt{29}＜-5$；两边再加3，得$-3＜3-\sqrt{29}＜-2$；两边同除以2，得$-1.5＜\frac{3-\sqrt{29}}{2}＜-1$，即$-1.5＜a＜-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式；无理数大小估算；不等式的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先准确求出较小根的表达式，再正确估算无理数的取值范围，注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
