20. (12分)如图，$∠ COD=20°$，$∠ COD=\dfrac{1}{3}∠ COB$，OB平分$∠ AOC$.
(1) 求$∠ AOD$的度数；
(2) 若射线OE在$∠ AOB$的内部，$∠ DOE=4∠ AOE$，试说明OB是$∠ DOE$的平分线.

20. 解:(1) $\because ∠COD=20°$，$∠COD=\dfrac{1}{3}∠COB$，$\therefore ∠COB=3∠COD=3×20°=60°$.$\because OB$平分$∠AOC$，$\therefore ∠AOC=2∠COB=2×60°=120°$，$\therefore ∠AOD=∠AOC-∠COD=120°-20°=100°$. (2) 如图 $\because ∠DOE=4∠AOE$，$∠AOD=∠DOE+∠AOE=4∠AOE+∠AOE=5∠AOE=100°$，$\therefore ∠AOE=\dfrac{1}{5}∠AOD=\dfrac{1}{5}×100°=20°$，$\therefore ∠DOE=4∠AOE=4×20°=80°$.$\because ∠COD=20°$，$∠COB=60°$，$\therefore ∠BOD=∠COB-∠COD=60°-20°=40°=\dfrac{1}{2}×80°$，$\therefore ∠BOD=\dfrac{1}{2}∠DOE$，$\therefore OB$是$∠DOE$的平分线.

【分析】
(1) 求∠AOD的度数可按三步推导：首先利用∠COD和∠COB的倍数关系，计算出∠COB的大小；再结合OB平分∠AOC的条件，求出∠AOC的度数；最后根据角的和差关系，用∠AOC减去∠COD的度数，即可得到∠AOD的度数。
(2) 要说明OB是∠DOE的平分线，只需证明∠BOD等于∠DOE的一半即可。首先根据∠DOE与∠AOE的倍数关系，结合(1)中求出的∠AOD的度数，算出∠AOE和∠DOE的度数；再计算出∠BOD的度数，验证∠BOD是否为∠DOE的一半，即可得出结论。
【解析】
(1) $\because ∠COD=20°$，$∠COD=\dfrac{1}{3}∠COB$，
$\therefore ∠COB=3∠COD=3× 20°=60°$，
$\because OB$平分$∠AOC$，
$\therefore ∠AOC=2∠COB=2× 60°=120°$，
$\therefore ∠AOD=∠AOC-∠COD=120°-20°=100°$。
(2) $\because ∠DOE=4∠AOE$，$∠AOD=∠DOE+∠AOE$，
$\therefore ∠AOD=4∠AOE+∠AOE=5∠AOE=100°$，
$\therefore ∠AOE=\dfrac{1}{5}∠AOD=\dfrac{1}{5}× 100°=20°$，
$\therefore ∠DOE=4∠AOE=4× 20°=80°$，
$\because ∠COD=20°$，$∠COB=60°$，
$\therefore ∠BOD=∠COB-∠COD=60°-20°=40°=\dfrac{1}{2}× 80°$，
即$∠BOD=\dfrac{1}{2}∠DOE$，
$\therefore OB$是$∠DOE$的平分线。
【答案】
(1) $∠ AOD=100°$；
(2) 如图，OB是$∠ DOE$的平分线。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，角度运算
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，结合了角平分线的性质与判定、角的和差关系等知识，解题核心是理清图形中各角的数量关系，按逻辑逐步推导，能够有效锻炼学生的几何读图能力和推理能力。
【难度系数】
0.8

21. (12分)如图(1),点B,C在线段AD上.
(1) 图中共有条线段；
(2) 比较线段的长短:若AB=CD,则ACBD;(填:“＞”“＜”或“=”)

(3) 如图(2),点B,C在线段AD上,点M是AB的中点,点N是CD的中点.
① 若$AD=20$,$BC=12$,求$MN$的长度；
② 若$AD=a$,$BC=b$,求$MN$的长度(用含有$a$,$b$的代数式表示).

21. 解:(1) 6. (2) =. (3) ① $\because AD=20,BC=12$，$\therefore AB+CD=AD-BC=20-12=8$. $\because$ 点M是AB的中点,点N是CD的中点,$\therefore BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$.$\because BC=12$，$\therefore MN=BC+BM+CN=BC+\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=BC+\dfrac{1}{2}(AB+CD)=12+\dfrac{1}{2}×8=12+4=16$. ② $\because AD=a,BC=b$，$\therefore AB+CD=AD-BC=a-b$. 由①可得$MN=BC+\dfrac{1}{2}(AB+CD)$，$\therefore MN=b+\dfrac{1}{2}(a-b)=\dfrac{1}{2}(a+b)$.

【分析】
（1）数线段时按端点顺序计数可避免重复遗漏：以A为左端点的线段有AB、AC、AD共3条，以B为左端点的线段有BC、BD共2条，以C为左端点的线段有CD共1条，相加即可得总条数。
（2）利用线段和差关系，AC=AB+BC，BD=CD+BC，已知AB=CD，两边同时加相等的线段BC，即可判断AC和BD的大小关系。
（3）解题核心是利用线段中点的性质，将MN拆分为BM+BC+CN，把BM和CN转化为AB、CD的一半，先求出AB+CD的和（AB+CD=AD-BC），再整体代入计算MN的长度，数值计算和代数式推导的思路完全一致。
【解析】
(1) 按顺序计数线段：$3+2+1=6$，故答案为6。
(2) $\because AC=AB+BC$，$BD=CD+BC$，且$AB=CD$，$\therefore AC=BD$，故答案为=。
(3) ① $\because AD=20,BC=12$，$\therefore AB+CD=AD-BC=20-12=8$。
$\because$ 点M是AB的中点，点N是CD的中点，$\therefore BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$。
$\therefore MN=BC+BM+CN=BC+\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=BC+\dfrac{1}{2}(AB+CD)=12+\dfrac{1}{2}×8=16$。
② $\because AD=a,BC=b$，$\therefore AB+CD=AD-BC=a-b$。
由①可得$MN=BC+\dfrac{1}{2}(AB+CD)$，
$\therefore MN=b+\dfrac{1}{2}(a-b)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{=}$；(3) ① $\boldsymbol{16}$；② $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}(a+b)}$
【知识点】
线段的计数；线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的常规题型，侧重对基础概念和转化思想的考查，解题的关键是掌握线段中点的性质，学会将未知线段拆分为已知线段的和差形式，第三问从具体数值到代数式的推导，能锻炼逻辑推导和代数表达能力。
【难度系数】
0.8