11. 比较大小:5 -3.(填“＞”或“＜”)

11. ＞

【分析】
比较两个有理数的大小，首先判断两个数的正负性：5是大于0的正数，-3是小于0的负数。结合有理数大小比较的基本规则：所有正数都大于负数，就可以直接得出两者的大小关系。
【解析】
解：
∵5是正数，-3是负数，
根据有理数大小比较法则：正数大于一切负数，
∴5＞-3。
【答案】
＞
【知识点】
1.有理数大小比较 2.正负数的概念
【点评】
本题是基础题型，主要考查有理数大小比较的基础规则，掌握正数大于负数的结论即可快速得分。
【难度系数】
0.95

12. 利用隧道可把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是。

12. 两点之间线段最短

【分析】
解题时先把实际场景抽象成数学模型：两地可以看作平面内的两个固定点，弯曲的公路是连接这两个点的曲线类路径，改直后的公路就是直接连接这两个点的线段。题目问缩短路程的数学道理，本质就是比较连接两点的不同路径的长度，回忆线段的相关性质即可得出结论。
【解析】
首先将两个地点抽象为两个点，原来弯曲的公路是连接这两点的非线段路径，改直后的公路是连接这两点的线段。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段是最短的，因此把弯曲的公路改直后能缩短路程，对应的数学道理就是两点之间线段最短。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的基本性质
【点评】
本题是几何基础性质在生活中的实际应用类题目，侧重考查对基础几何原理的理解和结合实际场景分析的能力，只要掌握线段的核心性质就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

13.《孙子算经》中有一道题，原文是:今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问车有几何？译文为:今有若干人乘车，每4人共乘一车，则剩余1辆车无人乘坐；若每3人共乘一车，则剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则可列方程为。

13. 4(x-1)=3x+9

【分析】
解这道题的核心是找到题目中不变的量作为列方程的等量关系，本题中乘车的总人数是固定不变的。我们已经设共有x辆车，接下来只需要分别用含x的式子表示出两种乘车方案下的总人数，再让两个式子相等就能列出方程。首先计算第一种乘车方案的总人数：每4人乘一车，剩1辆空车，说明实际用来载人的车是(x-1)辆，总人数就是4乘载人的车辆数；再计算第二种乘车方案的总人数：每3人乘一车，剩下9人走路，总人数就是坐车的人数加走路的9人；最后根据总人数相等列等式即可。
【解析】
解：本题的等量关系为：两种乘车方式下的总人数相等。
1. 若每4人共乘一车，剩余1辆空车，实际载人的车辆数为$(x-1)$辆，
则总人数可表示为：$4(x-1)$；
2. 若每3人共乘一车，剩余9人步行，
则总人数可表示为：$3x + 9$；
因为总人数固定不变，因此可列方程：$4(x-1)=3x+9$。
【答案】
$4(x-1)=3x+9$
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 等量关系选取
【点评】
本题以古代经典数学问题为载体，考查列一元一次方程的能力，解题的关键是抓住总人数不变这一隐含等量关系，属于方程应用的基础题型，熟练掌握此类题型能为后续解决复杂实际问题打好基础。
【难度系数】
0.85

14. 在 0～40 ℃范围内，当温度每上升1 ℃时，某种金属丝约伸长0.002 mm；反之，当温度每下降1 ℃时，金属丝约缩短0.002 mm. 把20 ℃的这种金属丝先加热到30 ℃，再使它冷却降温到10 ℃. 最后的长度比原长度约伸长 mm.

14. -0.02

【分析】
解题时可分两个阶段分析金属丝的长度变化：首先计算从20℃加热到30℃时的伸长量，再计算从30℃冷却到10℃时的缩短量，将两个阶段的长度变化相加即可得到最终长度相对原长度的伸长量。其中伸长可记为正，缩短记为负，若最终结果为负，说明实际长度比原长度短，对应伸长量为负数。
【解析】
1. 计算加热阶段的长度变化：
从20℃加热到30℃，温度上升量为$30-20=10$（℃）
已知每上升1℃伸长0.002mm，因此该阶段伸长量为$10×0.002=0.02$（mm）
2. 计算冷却阶段的长度变化：
从30℃冷却到10℃，温度下降量为$30-10=20$（℃）
已知每下降1℃缩短0.002mm，因此该阶段缩短量为$20×0.002=0.04$（mm），即长度变化为$-0.04$mm
3. 计算总伸长量：
总伸长量 = 加热阶段伸长量 + 冷却阶段长度变化，即$0.02+(-0.04)=-0.02$（mm）
【答案】
-0.02
【知识点】
正负数的实际应用、有理数混合运算
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的意义和基础有理数运算，解题核心是分阶段梳理温度变化规律，明确伸长、缩短对应的数量关系，计算时注意符号规则即可顺利作答。
【难度系数】
0.8

15. 满足$|a+5| + |a-2| = 11$的所有整数$a$的积为。

15. -28

【分析】
要解含有两个绝对值的方程，核心是去掉绝对值符号，我们采用零点分段法分类讨论：先找到使每个绝对值内代数式值为0的a的值（即零点：-5和2），这两个点将数轴分为三个区间，在每个区间内可确定绝对值内式子的正负，从而去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程求解，最后筛选出符合区间条件的整数a，计算所有符合条件的整数的积即可。
【解析】
第一步：确定绝对值的零点
令a+5=0，解得a=-5；令a-2=0，解得a=2，两个零点将数轴分为三个区间：a＜-5、-5≤a≤2、a＞2，分三类讨论：
1. 当a＜-5时，a+5＜0，a-2＜0，去绝对值得：
-(a+5)-(a-2)=11
去括号：-a-5 -a +2 = 11
合并同类项：-2a -3 = 11
移项计算：-2a=14，解得a=-7
-7＜-5，符合区间要求，是整数解。
2. 当-5≤a≤2时，a+5≥0，a-2≤0，去绝对值得：
(a+5)-(a-2)=11
化简左边：a+5 -a +2=7，即7=11，等式不成立，该区间无满足条件的解。
3. 当a＞2时，a+5＞0，a-2＞0，去绝对值得：
(a+5)+(a-2)=11
去括号：a+5+a-2=11
合并同类项：2a +3=11
移项计算：2a=8，解得a=4
4＞2，符合区间要求，是整数解。
综上，满足方程的整数a为-7和4，它们的积为：(-7)×4=-28。
【答案】
-28
【知识点】
绝对值的性质，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查含绝对值方程的求解方法，解题的关键是通过零点分段法合理分类，去掉绝对值符号转化为常规方程求解，注意求出解后要验证是否符合对应区间的取值范围。
【难度系数】
0.6

16. 当a取任何有理数时，$(2k-4)a+2027$的值总是2027，则k的值为

16. 2

【分析】
要解决这道题，首先理解题意：无论a取任意有理数，代数式的值恒为2027，说明代数式的值和a的取值没有关系。我们知道，当含字母a的项的系数为0时，不管a取什么值，这一项的计算结果都是0，此时整个代数式的值就不会随a变化。所以只需要令含a项的系数等于0，解出k即可。
【解析】
解：由题意得，代数式的值与a的取值无关，因此含a的项的系数为0，列方程：
$2k - 4 = 0$
移项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
代数式值与字母无关的条件、解一元一次方程
【点评】
本题是代数基础题型，解题核心是掌握“若代数式的值与某个字母无关，则该字母的系数为0”的规律，熟练运用一元一次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

三、解答题(共8小题,共102分)
17. (12分)计算:
(1) $18 - 6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})$;
(2) $2^3 - 36 × (\dfrac{7}{18} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6})$;
(3) $(5a^2 + 2a) - 4(2 + 2a^2)$.

17. (1) 17；(2) -9；(3) $-3a^2+2a-8$

【分析】
本题考查基础运算，各小题解题思路如下：
(1) 属于有理数混合运算，遵循“先乘除、后加减，同级运算从左到右”的规则，先依次计算除法、乘法，最后计算减法即可，计算时注意符号的判断。
(2) 属于含括号的有理数混合运算，先算乘方，观察到括号外的整数和括号内分数的分母是倍数关系，用乘法分配律计算更简便，可避免通分的繁琐，注意去括号时的符号变化。
(3) 属于整式的加减运算，先去括号（括号前是负因数时，括号内每一项都要变号），再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 按照有理数运算顺序计算：
$\begin{aligned}18 - 6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})&=18 - (-3)×(-\dfrac{1}{3})\\&=18 - 1\\&=17\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}2^3 - 36 × (\dfrac{7}{18} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6})&=8 - (36×\dfrac{7}{18} - 36×\dfrac{3}{4} + 36×\dfrac{5}{6})\\&=8 - (14 - 27 + 30)\\&=8 - 17\\&=-9\end{aligned}$
(3) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}(5a^2 + 2a) - 4(2 + 2a^2)&=5a^2 + 2a - 8 - 8a^2\\&=(5a^2 - 8a^2) + 2a - 8\\&=-3a^2 + 2a - 8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) $\boxed{-9}$；(3) $\boxed{-3a^2+2a-8}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，整式加减运算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察运算规则的熟练掌握，符号判断是高频易错点，日常练习中要养成规范书写步骤、逐次检查符号的习惯，提升运算准确率。
【难度系数】
0.85

18. (10分)解方程：
(1) $x+6=10+4(x+0.5)$；
(2) $\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{6}=2$。

18. (1) $x=-2$；(2) $x=3$

【分析】
这两道题为一元一次方程的求解题目，解一元一次方程的通用步骤为：若方程含分母则先去分母，之后去括号、移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。第(1)题含有小括号，先按去括号法则去掉括号，再依次执行后续步骤；第(2)题含有分数形式的分母，先找到分母的最小公倍数，给方程两边同乘最小公倍数去掉分母，再按步骤计算，计算过程中需格外注意符号变化，避免因符号出错丢分。
【解析】
(1) 解方程 $x+6=10+4(x+0.5)$
第一步：去括号，得 $x+6=10+4x+2$
第二步：合并等号右侧常数项，得 $x+6=4x+12$
第三步：移项，将含$x$的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号，得 $x-4x=12-6$
第四步：合并同类项，得 $-3x=6$
第五步：系数化为1，等号两边同时除以$-3$，得 $x=-2$
(2) 解方程 $\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{6}=2$
第一步：去分母，两个分母3和6的最小公倍数是6，给方程两边同时乘6（常数项2也要乘6），得 $2(2x+1)-(x-1)=12$
第二步：去括号，括号前为负号时括号内各项要变号，得 $4x+2-x+1=12$
第三步：合并同类项，得 $3x+3=12$
第四步：移项，得 $3x=12-3$
第五步：计算得 $3x=9$，系数化为1，等号两边同时除以3，得 $x=3$
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $x=3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 去括号法则
3. 等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础常规题，核心考察解一元一次方程的标准步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、去括号或移项时符号错误，熟练掌握基础步骤和运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

19. (10分)(1) 如图(1),一张地图上有A,B,C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置不清楚了,但知道C地在A地的北偏东$30°$、B地的南偏东$45°$方向,请你画出C地的位置.

(2) 如图,已知平面内的四个点A,B,C,D,利用直尺和圆规完成下列作图.(不写画法,保留画图痕迹)
1) ① 作直线BA.
② 作线段AC.
③ 连接BC并延长BC到E,使得$CE=AB+BC$.
2) A,B,C,D四点分别代表四个居民小区,若A,C两个小区之间的距离为4千米,B,D两个小区之间的距离为5千米,现要在四个小区之间建一个供水站P,要使供水站到A,B,C,D四个小区的距离之和最短,在图中画出供水站P的位置,最短距离为千米.

19. (1) 略.
(2) ① 直线BA即为所求；② 线段AC即为所求；③ 线段CE即为所求；
(2) 线段BD与AC的交点即为满足题意的点P的位置,最短距离9千米.

【分析】
(1) 要确定C地位置，利用双射线交点定位即可：C地同时满足两个方向条件，因此分别过A、B作出对应方向的射线，两条射线的交点就是C地。
(2) 1) ① 直线可向两端无限延伸，连接B、A并向两端延长即可得到直线BA；② 线段有两个端点，直接连接A、C两点即可得到线段AC；③ 要得到CE=AB+BC，先延长BC，再用圆规量取AB+BC的总长度，在BC延长线上从C点开始截取对应长度即可。
2) 要使P到四个点的距离之和最短，依据“两点之间线段最短”，到A、C距离和最小的点在线段AC上，到B、D距离和最小的点在线段BD上，因此两线段的交点就是P点，总最短距离为AC与BD的长度和。
【解析】
(1) ① 在A点建立方向标，作出北偏东30°的射线；② 在B点建立方向标，作出南偏东45°的射线，两条射线的交点即为C地位置。
(2) 1) ① 过B、A两点画直线，向两端无限延伸得到直线BA；② 连接A、C两点得到线段AC；③ 延长BC，用圆规先后量取AB、BC的长度，在BC的延长线上从C点出发顺次截取对应长度，端点记为E，此时CE=AB+BC。
2) 连接AC、BD，两线段的交点即为点P。根据两点之间线段最短，此时PA+PC=AC=4千米，PB+PD=BD=5千米，总最短距离为4+5=9千米。
【答案】
19. (1) 略.
(2) ① 直线BA即为所求；② 线段AC即为所求；③ 线段CE即为所求；
(2) 线段BD与AC的交点即为满足题意的点P的位置,最短距离9千米.
【知识点】
方向角定位，尺规基本作图，两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活实际考查基础几何作图和最短路径原理，既要求掌握规范的作图方法，也要求能灵活运用几何原理解决实际问题，侧重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.75