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3.正方形纸片的边长为12 cm，在它的四角各裁去一个边长为x cm的小正方形，然后将四周突出部分折起，能制作成一个无盖的方盒，设方盒的底面积为y cm²，则y关于x的函数解析式为
$y=4x^2-48x+144$
，x的取值范围是$0＜x＜6$
。答案
3.$y=4x^2-48x+144,0＜x＜6$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确无盖方盒底面的形状和边长：原正方形边长为12cm，四角各裁去边长为x cm的小正方形后，折起的方盒底面仍为正方形，其边长等于原正方形边长减去两个小正方形的边长。再根据正方形面积公式即可列出底面积y关于x的函数解析式。求x的取值范围时，需结合实际意义：裁去的小正方形边长必须为正，同时折成方盒的底面边长也必须为正，据此列不等式求解即可。
【解析】
1. 求y关于x的函数解析式：
裁去四个小正方形后，无盖方盒的底面是正方形，底面边长为$(12 - 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据正方形面积公式$S = a^2$（$a$为正方形边长），可得底面积：
$y = (12 - 2x)^2$
展开整理得：$y = 4x^2 - 48x + 144$
2. 求x的取值范围：
根据实际意义，裁去的小正方形边长需大于0，即$x ＞ 0$；
同时方盒底面边长需大于0，即$12 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$。
综上，x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$。
【答案】
$y=4x^2-48x+144$，$0＜x＜6$
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；正方形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础实际应用题，解题核心是结合几何操作的特点准确表示出底面边长，注意实际问题中自变量的取值要符合现实情景，不能仅考虑代数式有意义。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确无盖方盒底面的形状和边长：原正方形边长为12cm，四角各裁去边长为x cm的小正方形后，折起的方盒底面仍为正方形，其边长等于原正方形边长减去两个小正方形的边长。再根据正方形面积公式即可列出底面积y关于x的函数解析式。求x的取值范围时，需结合实际意义：裁去的小正方形边长必须为正，同时折成方盒的底面边长也必须为正，据此列不等式求解即可。
【解析】
1. 求y关于x的函数解析式：
裁去四个小正方形后，无盖方盒的底面是正方形，底面边长为$(12 - 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据正方形面积公式$S = a^2$（$a$为正方形边长），可得底面积：
$y = (12 - 2x)^2$
展开整理得：$y = 4x^2 - 48x + 144$
2. 求x的取值范围：
根据实际意义，裁去的小正方形边长需大于0，即$x ＞ 0$；
同时方盒底面边长需大于0，即$12 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$。
综上，x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$。
【答案】
$y=4x^2-48x+144$，$0＜x＜6$
【知识点】
列二次函数解析式；自变量取值范围确定；正方形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础实际应用题，解题核心是结合几何操作的特点准确表示出底面边长，注意实际问题中自变量的取值要符合现实情景，不能仅考虑代数式有意义。
【难度系数】
0.8
4.要组织一场足球比赛，共邀请$n(n≥2$，且$n$为整数$)$个队伍参赛.若每两个队伍之间比赛两场，则比赛总场次$m$与参赛球队数$n$之间的函数解析式为
$m=n^2-n(n≥2,且n为整数)$
.答案
4.$m=n^2-n(n≥2,且n为整数)$
解析
【分析】
解题时首先明确比赛规则：每两个队伍之间比赛两场，避免计数错误。我们可以从两个易懂的思路入手推导：思路一，先回忆“握手问题”的计数逻辑，每两队之间仅赛1场时，总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$，赛2场的话直接乘2即可；思路二，先计算单支队伍的参赛场次，每支队伍需和其余$(n-1)$支队伍各赛2场，所有队伍场次相加后每场比赛被重复统计2次，因此除以2去重，最终整理得到函数解析式，同时注意标注自变量的取值范围。
【解析】
1. 先计算每两个队伍之间仅赛1场的总场次：$n$个队伍中任意两队赛1场，属于不重复计数问题，总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$；
2. 结合题目要求每两队之间赛2场，因此总场次需要乘2，即$m=2×\frac{n(n-1)}{2}$；
3. 化简式子可得$m=n(n-1)=n^2-n$，结合题目给出的条件，参赛队伍数$n$的取值范围为$n≥2$且$n$为整数。
【答案】
$m=n^2-n(n≥2,且n为整数)$
【知识点】
1. 实际问题列函数关系式
2. 二次函数的概念
【点评】
本题结合生活中的足球比赛场景考查函数解析式的列写，解题的关键是理清计数逻辑，避免重复或遗漏计数，同时要注意结合实际意义标注自变量的取值范围，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确比赛规则：每两个队伍之间比赛两场，避免计数错误。我们可以从两个易懂的思路入手推导：思路一，先回忆“握手问题”的计数逻辑，每两队之间仅赛1场时，总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$，赛2场的话直接乘2即可；思路二，先计算单支队伍的参赛场次，每支队伍需和其余$(n-1)$支队伍各赛2场，所有队伍场次相加后每场比赛被重复统计2次，因此除以2去重，最终整理得到函数解析式，同时注意标注自变量的取值范围。
【解析】
1. 先计算每两个队伍之间仅赛1场的总场次：$n$个队伍中任意两队赛1场，属于不重复计数问题，总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$；
2. 结合题目要求每两队之间赛2场，因此总场次需要乘2，即$m=2×\frac{n(n-1)}{2}$；
3. 化简式子可得$m=n(n-1)=n^2-n$，结合题目给出的条件，参赛队伍数$n$的取值范围为$n≥2$且$n$为整数。
【答案】
$m=n^2-n(n≥2,且n为整数)$
【知识点】
1. 实际问题列函数关系式
2. 二次函数的概念
【点评】
本题结合生活中的足球比赛场景考查函数解析式的列写，解题的关键是理清计数逻辑，避免重复或遗漏计数，同时要注意结合实际意义标注自变量的取值范围，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
5.某种火箭飞行高度$h$(单位:m)与发射后的飞行时间$t$(单位:s)的函数解析式为$h = -10t^2 + 200t$.
(1)发射后$t=12$时,求火箭飞行高度$h$的值；
(2)发射后$t$等于多少秒时,火箭飞行高度为$750\ \mathrm{m}$？
(3)发射后几秒火箭落回地面？
(1)发射后$t=12$时,求火箭飞行高度$h$的值；
(2)发射后$t$等于多少秒时,火箭飞行高度为$750\ \mathrm{m}$？
(3)发射后几秒火箭落回地面？
答案
5.【解】(1)$\because h=-10t^2+200t$，
$\therefore$当 $t=12$ 时,$h=-10×12^2+200×12=960$.
$\therefore$发射后 $t=12$ 时,火箭飞行高度 $h$ 的值为 960.
(2)当 $h=750$ 时,$750=-10t^2+200t$，
即 $t^2-20t+75=0$. 解得 $t=5$ 或 $t=15$.
$\therefore$发射后 $t=5$ 或 $t=15$ 时,火箭飞行高度为 750 m.
(3)令 $-10t^2+200t=0$,解得 $t=0$ 或 $t=20$.
$\therefore$发射后 20 s 火箭落回地面.
$\therefore$当 $t=12$ 时,$h=-10×12^2+200×12=960$.
$\therefore$发射后 $t=12$ 时,火箭飞行高度 $h$ 的值为 960.
(2)当 $h=750$ 时,$750=-10t^2+200t$，
即 $t^2-20t+75=0$. 解得 $t=5$ 或 $t=15$.
$\therefore$发射后 $t=5$ 或 $t=15$ 时,火箭飞行高度为 750 m.
(3)令 $-10t^2+200t=0$,解得 $t=0$ 或 $t=20$.
$\therefore$发射后 20 s 火箭落回地面.
解析
【分析】
本题围绕二次函数的实际应用展开，解题思路清晰：(1)第一问属于已知自变量t求函数值h的问题，直接将t=12代入给定的函数解析式计算即可得到结果；(2)第二问是已知函数值h求自变量t，将h=750代入解析式得到关于t的一元二次方程，求解后验证解符合时间的实际意义即可；(3)第三问火箭落回地面时高度h=0，将h=0代入解析式列方程，舍去发射初始时刻t=0的解，剩下的解就是落回地面的时间。
【解析】
(1) 已知函数解析式为$h = -10t^2 + 200t$，将$t=12$代入解析式：
$h=-10×12^2 + 200×12 = -1440 + 2400 = 960$
(2) 当飞行高度为750m时，即$h=750$，代入解析式得：
$750 = -10t^2 + 200t$
整理得$t^2 - 20t + 75 = 0$，因式分解为$(t-5)(t-15)=0$，解得$t=5$或$t=15$，两个解均符合实际意义。
(3) 火箭落回地面时$h=0$，代入解析式得：
$-10t^2 + 200t = 0$
提取公因式得$-10t(t-20)=0$，解得$t=0$或$t=20$，$t=0$为发射初始时刻，舍去，故取$t=20$。
【答案】
(1) $960\ \mathrm{m}$；
(2) $5\ \mathrm{s}$或$15\ \mathrm{s}$；
(3) $20\ \mathrm{s}$
【知识点】
二次函数求值，解一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数结合生活场景的基础题型，核心是明确函数中自变量和函数值对应的实际含义，根据题意列算式或方程求解即可，解题时需注意校验解的实际意义，舍去不符合场景的无效解。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数的实际应用展开，解题思路清晰：(1)第一问属于已知自变量t求函数值h的问题，直接将t=12代入给定的函数解析式计算即可得到结果；(2)第二问是已知函数值h求自变量t，将h=750代入解析式得到关于t的一元二次方程，求解后验证解符合时间的实际意义即可；(3)第三问火箭落回地面时高度h=0，将h=0代入解析式列方程，舍去发射初始时刻t=0的解，剩下的解就是落回地面的时间。
【解析】
(1) 已知函数解析式为$h = -10t^2 + 200t$，将$t=12$代入解析式：
$h=-10×12^2 + 200×12 = -1440 + 2400 = 960$
(2) 当飞行高度为750m时，即$h=750$，代入解析式得：
$750 = -10t^2 + 200t$
整理得$t^2 - 20t + 75 = 0$，因式分解为$(t-5)(t-15)=0$，解得$t=5$或$t=15$，两个解均符合实际意义。
(3) 火箭落回地面时$h=0$，代入解析式得：
$-10t^2 + 200t = 0$
提取公因式得$-10t(t-20)=0$，解得$t=0$或$t=20$，$t=0$为发射初始时刻，舍去，故取$t=20$。
【答案】
(1) $960\ \mathrm{m}$；
(2) $5\ \mathrm{s}$或$15\ \mathrm{s}$；
(3) $20\ \mathrm{s}$
【知识点】
二次函数求值，解一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数结合生活场景的基础题型，核心是明确函数中自变量和函数值对应的实际含义，根据题意列算式或方程求解即可，解题时需注意校验解的实际意义，舍去不符合场景的无效解。
【难度系数】
0.8
