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5.已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值，y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是(
C
).A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
5.C
解析
【分析】要判断三个描述是否正确，我们分别验证三种函数的可能性：首先验证反比例函数，看x与y的乘积是否为定值；再验证一次函数，先通过两点求一次函数解析式，代入第三个点判断是否满足；最后验证二次函数，三个点可确定二次函数解析式，判断是否存在符合条件的解析式即可。
【解析】
1. 验证反比例函数：观察三组对应值，$1×4=4$，$2×2=4$，$4×1=4$，即$xy=4$为定值，满足反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的特征，故②正确。
2. 验证一次函数：假设为一次函数，设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入$(1,4)$、$(2,2)$得：
$\begin{cases}k+b=4\\2k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=6\end{cases}$，即解析式为$y=-2x+6$。
将$x=4$代入得$y=-2×4+6=-2≠1$，不满足第三个点，故不是一次函数，①错误。
3. 验证二次函数：设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，代入三个点得：
$\begin{cases}a+b+c=4\\4a+2b+c=2\\16a+4b+c=1\end{cases}$
解方程组：
第一个式子减第二个式子得：$-3a-b=2$ ④
第二个式子减第三个式子得：$-12a-2b=1$ ⑤
④×2 - ⑤得：$6a=3$，解得$a=\frac{1}{2}$，代入④得$b=-\frac{7}{2}$，再代入第一个式子得$c=7$。
即存在二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{7}{2}x+7$满足三组对应值，故③正确。
综上，正确描述为②③，答案选C。
【答案】C
【知识点】一次函数判定、反比例函数判定、二次函数判定
【点评】本题考查三类常见函数的判定方法，解题关键是掌握各类函数的解析式特征，通过代入点验证或求解解析式即可判断是否符合。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 验证反比例函数：观察三组对应值，$1×4=4$，$2×2=4$，$4×1=4$，即$xy=4$为定值，满足反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的特征，故②正确。
2. 验证一次函数：假设为一次函数，设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入$(1,4)$、$(2,2)$得：
$\begin{cases}k+b=4\\2k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=6\end{cases}$，即解析式为$y=-2x+6$。
将$x=4$代入得$y=-2×4+6=-2≠1$，不满足第三个点，故不是一次函数，①错误。
3. 验证二次函数：设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，代入三个点得：
$\begin{cases}a+b+c=4\\4a+2b+c=2\\16a+4b+c=1\end{cases}$
解方程组：
第一个式子减第二个式子得：$-3a-b=2$ ④
第二个式子减第三个式子得：$-12a-2b=1$ ⑤
④×2 - ⑤得：$6a=3$，解得$a=\frac{1}{2}$，代入④得$b=-\frac{7}{2}$，再代入第一个式子得$c=7$。
即存在二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{7}{2}x+7$满足三组对应值，故③正确。
综上，正确描述为②③，答案选C。
【答案】C
【知识点】一次函数判定、反比例函数判定、二次函数判定
【点评】本题考查三类常见函数的判定方法，解题关键是掌握各类函数的解析式特征，通过代入点验证或求解解析式即可判断是否符合。
【难度系数】0.7
6.如图,在数学实验课上,小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中,并将容器的底面积S(单位:cm²)和水的高度h(单位:cm)记录在如下表格中,则容器的底面积S和水的高度h之间的关系式可以表示为
$S=\frac{300}{h}(h＞0)$
.答案
6.$S=\frac{300}{h}(h＞0)$
解析
【分析】
要推导底面积S和水的高度h的关系式，首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，即$V=Sh$。题目明确倒入的水体积相同，说明水的体积V是固定定值，因此S和h成反比例函数关系。我们只需要先求出定值V，再对体积公式变形即可得到关系式，最后结合实际意义确定自变量h的取值范围即可。
【解析】
解：设容器中水的体积为$V\ \mathrm{cm}^3$，根据圆柱体积公式可得：
$V=S· h$
∵倒入的水体积相同，即$V$为定值
∴$S$与$h$成反比例函数关系
结合表格中$S$和$h$的对应值，计算可得水的体积$V=300\ \mathrm{cm}^3$
将$V=300$代入体积公式变形得：$S=\frac{300}{h}$
又
∵水的高度$h$为正数，因此$h＞0$
即容器的底面积S和水的高度h之间的关系式为$S=\frac{300}{h}(h＞0)$
【答案】
$S=\frac{300}{h}(h＞0)$
【知识点】
反比例函数的实际应用；圆柱体积公式
【点评】
本题结合生活实验场景考查函数关系式的推导，解题核心是抓住“水的体积不变”这一隐含不变量，结合几何公式推导反比例函数关系式，解题时注意不要遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
要推导底面积S和水的高度h的关系式，首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，即$V=Sh$。题目明确倒入的水体积相同，说明水的体积V是固定定值，因此S和h成反比例函数关系。我们只需要先求出定值V，再对体积公式变形即可得到关系式，最后结合实际意义确定自变量h的取值范围即可。
【解析】
解：设容器中水的体积为$V\ \mathrm{cm}^3$，根据圆柱体积公式可得：
$V=S· h$
∵倒入的水体积相同，即$V$为定值
∴$S$与$h$成反比例函数关系
结合表格中$S$和$h$的对应值，计算可得水的体积$V=300\ \mathrm{cm}^3$
将$V=300$代入体积公式变形得：$S=\frac{300}{h}$
又
∵水的高度$h$为正数，因此$h＞0$
即容器的底面积S和水的高度h之间的关系式为$S=\frac{300}{h}(h＞0)$
【答案】
$S=\frac{300}{h}(h＞0)$
【知识点】
反比例函数的实际应用；圆柱体积公式
【点评】
本题结合生活实验场景考查函数关系式的推导，解题核心是抓住“水的体积不变”这一隐含不变量，结合几何公式推导反比例函数关系式，解题时注意不要遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
7.光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v(单位:亿米/秒)与介质的折射率n之间成反比例函数关系.部分测试数据如下表所示：
若普通玻璃的折射率为1.2，则光在普通玻璃中的传播速度为
若普通玻璃的折射率为1.2，则光在普通玻璃中的传播速度为2.5
亿米/秒.答案
7.2.5
解析
【分析】
本题已知光的传播速度v与介质折射率n成反比例函数关系，解题可按三步进行：第一步，根据反比例函数的定义设出v与n的函数关系式；第二步，选取表格中一组已知的n和v的对应值，代入关系式求出比例系数，得到完整的函数解析式；第三步，将普通玻璃的折射率n=1.2代入解析式，计算得到对应的v值即可。
【解析】
解：因为v与n成反比例函数关系，所以设函数关系式为$v=\frac{k}{n}$（$k≠0$）。
将表格中$n=1$，$v=3$代入关系式，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
所以v与n的函数解析式为$v=\frac{3}{n}$。
当$n=1.2$时，代入解析式得：
$v=\frac{3}{1.2}=2.5$（亿米/秒）。
【答案】
2.5
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合物理中光速与折射率的实际场景命题，核心考查反比例函数的基础知识，解题关键是先求出反比例函数的比例系数，再代入求值，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
本题已知光的传播速度v与介质折射率n成反比例函数关系，解题可按三步进行：第一步，根据反比例函数的定义设出v与n的函数关系式；第二步，选取表格中一组已知的n和v的对应值，代入关系式求出比例系数，得到完整的函数解析式；第三步，将普通玻璃的折射率n=1.2代入解析式，计算得到对应的v值即可。
【解析】
解：因为v与n成反比例函数关系，所以设函数关系式为$v=\frac{k}{n}$（$k≠0$）。
将表格中$n=1$，$v=3$代入关系式，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
所以v与n的函数解析式为$v=\frac{3}{n}$。
当$n=1.2$时，代入解析式得：
$v=\frac{3}{1.2}=2.5$（亿米/秒）。
【答案】
2.5
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合物理中光速与折射率的实际场景命题，核心考查反比例函数的基础知识，解题关键是先求出反比例函数的比例系数，再代入求值，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
8.验光师测得的一组关于近视眼镜的度数y(单位:度)与镜片的焦距x(单位:m)的数据,如下表:
则 y 关于 x 的函数解析式是
则 y 关于 x 的函数解析式是
$y=\frac{100}{x}\ (x＞0)$
.答案
8.$y=\frac{100}{x}\ (x＞0)$
解析
【分析】
首先观察表格中y和x的对应数据，计算每组y与x的乘积，发现乘积均为定值，由此判断y是x的反比例函数。接下来我们可以用待定系数法求解函数解析式：先设出反比例函数的一般形式，代入已知数据求出比例系数k，再验证其他数据是否符合，最后结合实际意义写出自变量的取值范围即可。
【解析】
观察表格数据：
$100×1.00=100$，$200×0.50=100$，$400×0.25=100$，$500×0.20=100$，可得$xy=100$，即y是x的反比例函数。
设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$），
将$x=1.00$，$y=100$代入解析式得：$100=\frac{k}{1.00}$，解得$k=100$。
代入其余数据验证，均满足$y=\frac{100}{x}$，且镜片焦距x为正数，因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}\ (x＞0)$。
【答案】
$y=\frac{100}{x}\ (x＞0)$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合实际情境考查反比例函数的求解，解题的关键是通过表格数据发现两个变量的乘积为定值，判断出函数类型，再用待定系数法求出解析式，要注意实际问题中自变量的取值范围必须符合实际意义。
【难度系数】
0.8
首先观察表格中y和x的对应数据，计算每组y与x的乘积，发现乘积均为定值，由此判断y是x的反比例函数。接下来我们可以用待定系数法求解函数解析式：先设出反比例函数的一般形式，代入已知数据求出比例系数k，再验证其他数据是否符合，最后结合实际意义写出自变量的取值范围即可。
【解析】
观察表格数据：
$100×1.00=100$，$200×0.50=100$，$400×0.25=100$，$500×0.20=100$，可得$xy=100$，即y是x的反比例函数。
设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$），
将$x=1.00$，$y=100$代入解析式得：$100=\frac{k}{1.00}$，解得$k=100$。
代入其余数据验证，均满足$y=\frac{100}{x}$，且镜片焦距x为正数，因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}\ (x＞0)$。
【答案】
$y=\frac{100}{x}\ (x＞0)$
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合实际情境考查反比例函数的求解，解题的关键是通过表格数据发现两个变量的乘积为定值，判断出函数类型，再用待定系数法求出解析式，要注意实际问题中自变量的取值范围必须符合实际意义。
【难度系数】
0.8
9.如果a与b成反比例，那么“？”是
5
，比例系数k=800
。答案
9.5,800
解析
【分析】
本题考查反比例的相关计算，解题思路如下：首先回忆反比例的定义：若两个量a、b成反比例，则二者的乘积为定值（即比例系数k），满足关系式ab=k（k为常数，k≠0）。第一步先利用表格中已知的a=4、b=200这组对应值计算出比例系数k；第二步利用反比例乘积不变的性质，当b=160时，用k除以b即可求出对应的a的值，也就是“？”的数值。
【解析】
已知a与b成反比例，根据反比例的定义可得：$ab = k$（$k$为常数，$k\ne0$）
1. 求比例系数$k$：
将$a=4$，$b=200$代入关系式，得$k = a× b = 4×200 = 800$
2. 求“？”代表的$a$值：
当$b=160$时，代入$ab=800$，可得$a = \frac{k}{b} = \frac{800}{160} = 5$
【答案】
5；800
【知识点】
反比例的定义，反比例系数计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例的本质特征：成反比例的两个量乘积恒定。解题时只要牢牢抓住这一特征，代入对应数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例的相关计算，解题思路如下：首先回忆反比例的定义：若两个量a、b成反比例，则二者的乘积为定值（即比例系数k），满足关系式ab=k（k为常数，k≠0）。第一步先利用表格中已知的a=4、b=200这组对应值计算出比例系数k；第二步利用反比例乘积不变的性质，当b=160时，用k除以b即可求出对应的a的值，也就是“？”的数值。
【解析】
已知a与b成反比例，根据反比例的定义可得：$ab = k$（$k$为常数，$k\ne0$）
1. 求比例系数$k$：
将$a=4$，$b=200$代入关系式，得$k = a× b = 4×200 = 800$
2. 求“？”代表的$a$值：
当$b=160$时，代入$ab=800$，可得$a = \frac{k}{b} = \frac{800}{160} = 5$
【答案】
5；800
【知识点】
反比例的定义，反比例系数计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例的本质特征：成反比例的两个量乘积恒定。解题时只要牢牢抓住这一特征，代入对应数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
10.已知x与y的积为定值，下面表格给出了x与y的一些值，则空格中所表示的数是
-9
，y是x的反比例
函数。答案
10.-9,反比例
解析
【分析】
解题时首先抓住题目给出的“x与y的积为定值”这一关键条件，该条件符合反比例函数的核心特征。我们可以先利用已知的x=3、y=6这组对应值计算出xy的定值，再将x=-2代入关系式求出对应的y值，最后根据反比例函数的定义判断函数类型即可。
【解析】
设x与y的积为定值k，即xy=k（k≠0）。
将x=3，y=6代入关系式，可得k=3×6=18，因此x与y的关系式为xy=18，即$y=\frac{18}{x}$。
当x=-2时，代入关系式得$y=\frac{18}{-2}=-9$。
由于x和y的乘积为固定非零常数，符合反比例函数的定义，因此y是x的反比例函数。
【答案】
-9，反比例
【知识点】
反比例函数定义，反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是理解“积为定值”的含义，计算时注意符号即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目给出的“x与y的积为定值”这一关键条件，该条件符合反比例函数的核心特征。我们可以先利用已知的x=3、y=6这组对应值计算出xy的定值，再将x=-2代入关系式求出对应的y值，最后根据反比例函数的定义判断函数类型即可。
【解析】
设x与y的积为定值k，即xy=k（k≠0）。
将x=3，y=6代入关系式，可得k=3×6=18，因此x与y的关系式为xy=18，即$y=\frac{18}{x}$。
当x=-2时，代入关系式得$y=\frac{18}{-2}=-9$。
由于x和y的乘积为固定非零常数，符合反比例函数的定义，因此y是x的反比例函数。
【答案】
-9，反比例
【知识点】
反比例函数定义，反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是理解“积为定值”的含义，计算时注意符号即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.某运输公司计划运输一批货物，用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，a与t之间的关系如下表所示：
细心的小明发现:每天运输的吨数a(单位:t)与运输的天数t(单位:天)成反比例.
(1)求出每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数解析式；
(2)若运输公司每天运输200 t,求运输的天数.
细心的小明发现:每天运输的吨数a(单位:t)与运输的天数t(单位:天)成反比例.
(1)求出每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数解析式；
(2)若运输公司每天运输200 t,求运输的天数.
答案
11.【解】(1)
∵600×1=300×2=150×4=600，
∴at=600.
∴$a=\frac{600}{t}$，
即每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数解析式为$a=\frac{600}{t}(t＞0)$.
(2)当a=200时，200t=600，解得t=3，即运输的天数为3.
∵600×1=300×2=150×4=600，
∴at=600.
∴$a=\frac{600}{t}$，
即每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数解析式为$a=\frac{600}{t}(t＞0)$.
(2)当a=200时，200t=600，解得t=3，即运输的天数为3.
解析
【分析】
这道题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：1. 第一问已知a与t成反比例，反比例函数的一般形式为$a=\frac{k}{t}$（k为常数，$k\ne0$），我们可以通过表格中给出的a、t对应值，计算二者的乘积得到常数k，同时注意运输天数t为正数，即可得到函数解析式；2. 第二问将给定的a值代入第一问求出的解析式，解方程就能得到对应的运输天数。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：$600×1=300×2=150×4=600$，即a与t的乘积为定值600。
设a与t的反比例函数解析式为$a=\frac{k}{t}\ (k\ne0)$，代入得$k=600$，
因此a与t的函数解析式为$a=\frac{600}{t}\ (t＞0)$。
(2) 当$a=200$时，将其代入解析式$a=\frac{600}{t}$得：
$200=\frac{600}{t}$，变形得$200t=600$，解得$t=3$。
【答案】
(1) $a=\frac{600}{t}\ (t＞0)$
(2) 3天
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数实际应用，代入法求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题核心是先根据数据特征确定反比例函数的常数k，再代入已知量求解未知量，贴合生活实际，主要考查学生对反比例函数基础概念的掌握和简单计算能力。
【难度系数】
0.8
这道题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：1. 第一问已知a与t成反比例，反比例函数的一般形式为$a=\frac{k}{t}$（k为常数，$k\ne0$），我们可以通过表格中给出的a、t对应值，计算二者的乘积得到常数k，同时注意运输天数t为正数，即可得到函数解析式；2. 第二问将给定的a值代入第一问求出的解析式，解方程就能得到对应的运输天数。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：$600×1=300×2=150×4=600$，即a与t的乘积为定值600。
设a与t的反比例函数解析式为$a=\frac{k}{t}\ (k\ne0)$，代入得$k=600$，
因此a与t的函数解析式为$a=\frac{600}{t}\ (t＞0)$。
(2) 当$a=200$时，将其代入解析式$a=\frac{600}{t}$得：
$200=\frac{600}{t}$，变形得$200t=600$，解得$t=3$。
【答案】
(1) $a=\frac{600}{t}\ (t＞0)$
(2) 3天
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数实际应用，代入法求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题核心是先根据数据特征确定反比例函数的常数k，再代入已知量求解未知量，贴合生活实际，主要考查学生对反比例函数基础概念的掌握和简单计算能力。
【难度系数】
0.8
