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如图3-1,计算图形的面积,有几种不同的方法?请计算结果.
用不同方法得到的结果应该相等,由此发现了什么?
用不同方法得到的结果应该相等,由此发现了什么?
答案
解：
有2种不同的计算方法：
方法1：将图形看作长为$x+3$、宽为3的完整大长方形，
面积为：$3(x+3)$。
方法2：将图形拆分为两个独立的小长方形，分别计算面积后求和，
总面积为：$3x + 3×3 = 3x + 9$。
两种方法得到的结果相等，即$3(x+3)=3x+9$，由此发现：一个数与两个数的和相乘，可以把这个数分别和括号内的两个数相乘，再把所得的积相加，这就是乘法分配律，对应整式去括号的运算规则：括号前的系数要乘括号内的每一项，去掉括号后括号内各项的符号不发生改变。
有2种不同的计算方法：
方法1：将图形看作长为$x+3$、宽为3的完整大长方形，
面积为：$3(x+3)$。
方法2：将图形拆分为两个独立的小长方形，分别计算面积后求和，
总面积为：$3x + 3×3 = 3x + 9$。
两种方法得到的结果相等，即$3(x+3)=3x+9$，由此发现：一个数与两个数的和相乘，可以把这个数分别和括号内的两个数相乘，再把所得的积相加，这就是乘法分配律，对应整式去括号的运算规则：括号前的系数要乘括号内的每一项，去掉括号后括号内各项的符号不发生改变。
例1 写出与$2a - 1$的和为$7a^2 - 4a + 1$的多项式。
答案
解：
根据题意，所求多项式为：
$\begin{aligned}&(7a^2 - 4a + 1) - (2a - 1)\\=&7a^2 -4a +1 -2a +1\\=&7a^2 -6a +2\end{aligned}$
答：所求多项式为$7a^2 -6a +2$。
根据题意，所求多项式为：
$\begin{aligned}&(7a^2 - 4a + 1) - (2a - 1)\\=&7a^2 -4a +1 -2a +1\\=&7a^2 -6a +2\end{aligned}$
答：所求多项式为$7a^2 -6a +2$。
例2 已知一个四边形的周长是48，第一条边的边长为a，第二条边的边长比第一条边的边长的2倍长3，第三条边的边长等于第一条边的边长与第二条边的边长的和.用代数式表示第四条边的边长.
答案
解：
第二条边的边长为：$2a+3$
第三条边的边长为：$a+(2a+3)=3a+3$
第四条边的边长为：
$\begin{aligned}&48 - a - (2a + 3) - (3a + 3)\\=&48 - a - 2a - 3 - 3a - 3\\=&42 - 6a\end{aligned}$
答：第四条边的边长为$42-6a$。
第二条边的边长为：$2a+3$
第三条边的边长为：$a+(2a+3)=3a+3$
第四条边的边长为：
$\begin{aligned}&48 - a - (2a + 3) - (3a + 3)\\=&48 - a - 2a - 3 - 3a - 3\\=&42 - 6a\end{aligned}$
答：第四条边的边长为$42-6a$。
(1)$1 - m$的相反数为；(2)$1 - (1 - a) =$；
答案
解：
(1) $1-m$的相反数为$-(1-m)=m-1$；
(2) $1-(1-a)=1-1+a=a$。
(1) $1-m$的相反数为$-(1-m)=m-1$；
(2) $1-(1-a)=1-1+a=a$。
(3) $a^2 - a - 1 = a^2 - (\quad);$
(4) $a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2(\quad).$
(4) $a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2(\quad).$
答案
解：
(3) 根据添括号法则：括号前为负号时，括入括号的各项符号均改变，可得
$a^2 - a - 1 = a^2 - (a + 1)$
括号内应填$\boldsymbol{a+1}$。
(4) 对等式右侧除$a^2$外的项提取公因式$-2$，可得
$a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2(a - 1)$
括号内应填$\boldsymbol{a-1}$。
(3) 根据添括号法则：括号前为负号时，括入括号的各项符号均改变，可得
$a^2 - a - 1 = a^2 - (a + 1)$
括号内应填$\boldsymbol{a+1}$。
(4) 对等式右侧除$a^2$外的项提取公因式$-2$，可得
$a^2 - 2a + 2 = a^2 - 2(a - 1)$
括号内应填$\boldsymbol{a-1}$。
2. 计算：
(1) $3a + (-6a + 2) - (3 - 2a)$；
(2) $5a^2 b - 3ab^2 - 2(2a^2 b - ab^2)$。
(1) $3a + (-6a + 2) - (3 - 2a)$；
(2) $5a^2 b - 3ab^2 - 2(2a^2 b - ab^2)$。
答案
解：
(1) 原式$=3a -6a +2 -3 +2a$
$=(3-6+2)a + (2-3)$
$=-a -1$
(2) 原式$=5a^2b -3ab^2 -4a^2b +2ab^2$
$=(5-4)a^2b + (-3+2)ab^2$
$=a^2b - ab^2$
(1) 原式$=3a -6a +2 -3 +2a$
$=(3-6+2)a + (2-3)$
$=-a -1$
(2) 原式$=5a^2b -3ab^2 -4a^2b +2ab^2$
$=(5-4)a^2b + (-3+2)ab^2$
$=a^2b - ab^2$
3. 已知$M=3x^2 - 2xy + y^2$，$N=2x^2 + xy - 3y^2$，求$M-N$的值，其中$x=-2$，$y=-1$。
答案
解：
$M - N = (3x^2 - 2xy + y^2) - (2x^2 + xy - 3y^2)$
$= 3x^2 - 2xy + y^2 - 2x^2 - xy + 3y^2$
$= x^2 - 3xy + 4y^2$
当$x=-2$，$y=-1$时，
原式$= (-2)^2 - 3×(-2)×(-1) + 4×(-1)^2$
$= 4 - 6 + 4$
$= 2$
$M - N = (3x^2 - 2xy + y^2) - (2x^2 + xy - 3y^2)$
$= 3x^2 - 2xy + y^2 - 2x^2 - xy + 3y^2$
$= x^2 - 3xy + 4y^2$
当$x=-2$，$y=-1$时，
原式$= (-2)^2 - 3×(-2)×(-1) + 4×(-1)^2$
$= 4 - 6 + 4$
$= 2$
