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1. 甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 （
A.售2件时甲、乙两家售价一样
B.买1件时买乙家的合算
C.买3件时买甲家的合算
D.买乙家的1件售价约为3元
D
）A.售2件时甲、乙两家售价一样
B.买1件时买乙家的合算
C.买3件时买甲家的合算
D.买乙家的1件售价约为3元
答案
1.D
解析
【分析】首先明确图像横纵坐标的含义：x表示销售量（件），y表示售价（元），两条直线分别对应甲、乙商店的售价与销量的函数关系。解题思路如下：1. 交点处x、y相同，说明对应销量下两家售价相同，可判断A选项；2. 分别取x=1、x=3，对比同一x下甲乙的y值大小，y越小越合算，判断B、C选项；3. 可通过求乙的函数解析式，计算x=1时乙的售价，判断D选项。
【解析】首先推导甲乙的函数解析式：
1. 甲的函数图象过$(0,2)$和$(2,4)$，设解析式为$y_甲 = k_1x + b_1$，代入得$b_1=2$，$2k_1 + 2 = 4$，解得$k_1=1$，因此$y_甲 = x + 2$。
2. 乙的函数图象过$(0.5,0)$和$(2,4)$，设解析式为$y_乙 = k_2x + b_2$，代入得方程组$\begin{cases}0.5k_2 + b_2 = 0 \\ 2k_2 + b_2 = 4 \end{cases}$，两式相减得$1.5k_2 = 4$，解得$k_2=\frac{8}{3}$，代入得$b_2=-\frac{4}{3}$，因此$y_乙=\frac{8}{3}x - \frac{4}{3}$。
逐一判断选项：
A. 当$x=2$时，$y_甲=2+2=4$，$y_乙=\frac{8}{3}×2 - \frac{4}{3}=4$，两家售价相同，A正确，不符合题意；
B. 当$x=1$时，$y_甲=1+2=3$，$y_乙=\frac{8}{3}×1 - \frac{4}{3}=\frac{4}{3}\approx1.33＜3$，买乙家更合算，B正确，不符合题意；
C. 当$x=3$时，$y_甲=3+2=5$，$y_乙=\frac{8}{3}×3 - \frac{4}{3}=\frac{20}{3}\approx6.67＞5$，买甲家更合算，C正确，不符合题意；
D. 买乙家1件的售价约为1.33元，不是3元，D错误，符合题意。
【答案】D
【知识点】一次函数的图象、一次函数的应用
【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数图象横纵坐标的意义，可结合交点和不同自变量对应的函数值判断方案优劣，也可直接观察图象比较同一x下y的大小，提高解题效率。
【难度系数】0.7
【解析】首先推导甲乙的函数解析式：
1. 甲的函数图象过$(0,2)$和$(2,4)$，设解析式为$y_甲 = k_1x + b_1$，代入得$b_1=2$，$2k_1 + 2 = 4$，解得$k_1=1$，因此$y_甲 = x + 2$。
2. 乙的函数图象过$(0.5,0)$和$(2,4)$，设解析式为$y_乙 = k_2x + b_2$，代入得方程组$\begin{cases}0.5k_2 + b_2 = 0 \\ 2k_2 + b_2 = 4 \end{cases}$，两式相减得$1.5k_2 = 4$，解得$k_2=\frac{8}{3}$，代入得$b_2=-\frac{4}{3}$，因此$y_乙=\frac{8}{3}x - \frac{4}{3}$。
逐一判断选项：
A. 当$x=2$时，$y_甲=2+2=4$，$y_乙=\frac{8}{3}×2 - \frac{4}{3}=4$，两家售价相同，A正确，不符合题意；
B. 当$x=1$时，$y_甲=1+2=3$，$y_乙=\frac{8}{3}×1 - \frac{4}{3}=\frac{4}{3}\approx1.33＜3$，买乙家更合算，B正确，不符合题意；
C. 当$x=3$时，$y_甲=3+2=5$，$y_乙=\frac{8}{3}×3 - \frac{4}{3}=\frac{20}{3}\approx6.67＞5$，买甲家更合算，C正确，不符合题意；
D. 买乙家1件的售价约为1.33元，不是3元，D错误，符合题意。
【答案】D
【知识点】一次函数的图象、一次函数的应用
【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数图象横纵坐标的意义，可结合交点和不同自变量对应的函数值判断方案优劣，也可直接观察图象比较同一x下y的大小，提高解题效率。
【难度系数】0.7
2.某移动通信公司提供了A,B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是 （
A.若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B.若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜
C.若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D.若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟
D
）A.若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B.若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜
C.若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D.若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟
答案
2.D
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先需要分别求出A、B两种方案通信费用y与通话时间x的函数解析式，再结合各选项的条件代入计算、比较大小即可。具体步骤：1. 先根据图像拐点和交点坐标，求出A、B的分段一次函数；2. 逐一代入各选项的条件验证，找出错误选项。
【解析】
首先求两种方案的函数解析式：
①A方案：
当$0≤ x≤ 120$时，$y_A=30$；
当$x＞120$时，设$y_A=kx+b$，代入$(120,30)$、$(170,50)$：
$\begin{cases}30=120k+b\\50=170k+b\end{cases}$，解得$k=0.4$，$b=-18$，即$y_A=0.4x-18$。
②B方案：
当$0≤ x≤ 200$时，$y_B=50$；
当$x＞200$时，设$y_B=mx+n$，代入$(200,50)$、$(250,70)$：
$\begin{cases}50=200m+n\\70=250m+n\end{cases}$，解得$m=0.4$，$n=-30$，即$y_B=0.4x-30$。
逐个验证选项：
A. 通话时间少于120分钟时，$y_A=30$，$y_B=50$，$50-30=20$元，A方案比B方案便宜20元，A正确；
B. 通话时间超过200分钟时，$y_A-y_B=(0.4x-18)-(0.4x-30)=12＞0$，即B方案比A方案便宜12元，B正确；
C. 通信费用为60元时：
对A方案：$60=0.4x-18$，解得$x=195$分钟；
对B方案：$60=0.4x-30$，解得$x=225$分钟；
$225＞195$，B方案通话时间更长，C正确；
D. 两种方案费用相差10元，分情况讨论：
• $120＜x≤ 170$时，$y_B-y_A=50-(0.4x-18)=10$，解得$x=145$分钟；
• $170＜x≤ 200$时，$y_A-y_B=(0.4x-18)-50=10$，解得$x=195$分钟；
• $x＞200$时，$y_A-y_B=12$，不可能相差10元；
因此相差10元时通话时间是145分钟或195分钟，不是185分钟，D错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，方案决策
【点评】
本题考查一次函数在方案选择问题中的应用，解题关键是先根据图像求出分段函数解析式，再分情况讨论计算，需注意不要漏掉分段区间的讨论。
【难度系数】
0.65
要判断各选项的正误，首先需要分别求出A、B两种方案通信费用y与通话时间x的函数解析式，再结合各选项的条件代入计算、比较大小即可。具体步骤：1. 先根据图像拐点和交点坐标，求出A、B的分段一次函数；2. 逐一代入各选项的条件验证，找出错误选项。
【解析】
首先求两种方案的函数解析式：
①A方案：
当$0≤ x≤ 120$时，$y_A=30$；
当$x＞120$时，设$y_A=kx+b$，代入$(120,30)$、$(170,50)$：
$\begin{cases}30=120k+b\\50=170k+b\end{cases}$，解得$k=0.4$，$b=-18$，即$y_A=0.4x-18$。
②B方案：
当$0≤ x≤ 200$时，$y_B=50$；
当$x＞200$时，设$y_B=mx+n$，代入$(200,50)$、$(250,70)$：
$\begin{cases}50=200m+n\\70=250m+n\end{cases}$，解得$m=0.4$，$n=-30$，即$y_B=0.4x-30$。
逐个验证选项：
A. 通话时间少于120分钟时，$y_A=30$，$y_B=50$，$50-30=20$元，A方案比B方案便宜20元，A正确；
B. 通话时间超过200分钟时，$y_A-y_B=(0.4x-18)-(0.4x-30)=12＞0$，即B方案比A方案便宜12元，B正确；
C. 通信费用为60元时：
对A方案：$60=0.4x-18$，解得$x=195$分钟；
对B方案：$60=0.4x-30$，解得$x=225$分钟；
$225＞195$，B方案通话时间更长，C正确；
D. 两种方案费用相差10元，分情况讨论：
• $120＜x≤ 170$时，$y_B-y_A=50-(0.4x-18)=10$，解得$x=145$分钟；
• $170＜x≤ 200$时，$y_A-y_B=(0.4x-18)-50=10$，解得$x=195$分钟；
• $x＞200$时，$y_A-y_B=12$，不可能相差10元；
因此相差10元时通话时间是145分钟或195分钟，不是185分钟，D错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，方案决策
【点评】
本题考查一次函数在方案选择问题中的应用，解题关键是先根据图像求出分段函数解析式，再分情况讨论计算，需注意不要漏掉分段区间的讨论。
【难度系数】
0.65
3. 某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.
方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为$x$次,选择方式一的总费用为$y_1$(元),选择方式二的总费用为$y_2$(元).
(1)请分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式;
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数$x$在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?
方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.
方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为$x$次,选择方式一的总费用为$y_1$(元),选择方式二的总费用为$y_2$(元).
(1)请分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式;
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数$x$在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?
答案
3. (1)解:$y_1=30x+200$,$y_2=40x$.
(2)由 $y_1＜y_2$,得 $30x+200＜40x$,
解得 $x＞20$. 所以当 $x＞20$ 时,选择方式一比方式二省钱.
(2)由 $y_1＜y_2$,得 $30x+200＜40x$,
解得 $x＞20$. 所以当 $x＞20$ 时,选择方式一比方式二省钱.
解析
【分析】
(1) 列函数表达式需先明确两种收费方式的费用构成：方式一包含固定办卡费200元，以及每次游泳30元的可变费用，总费用=固定费用+单次费用×游泳次数；方式二无固定费用，总费用=单次费用×游泳次数，代入对应数值即可写出函数式。
(2) 方式一比方式二省钱等价于方式一的总费用小于方式二的总费用，将(1)所得的两个函数式代入该不等关系，解一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 方式一的总费用由办卡费和每次游泳的费用组成，因此：
$y_1=30x+200$（$x$为正整数）
方式二无办卡费，每次游泳付费40元，因此：
$y_2=40x$（$x$为正整数）
(2) 要使方式一比方式二省钱，需满足$y_1＜y_2$，代入表达式得：
$30x+200＜40x$
移项得：$200＜40x-30x$
合并同类项得：$200＜10x$
系数化为1得：$x＞20$
即当游泳次数大于20次时，方式一更省钱。
【答案】
(1) $y_1=30x+200$，$y_2=40x$；
(2) 当$x＞20$时，选择方式一比方式二省钱。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；方案决策问题
【点评】
本题结合生活消费场景命题，属于基础应用题，解题核心是理清不同收费方案的费用构成，将实际问题转化为函数与不等式问题求解，能够有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
(1) 列函数表达式需先明确两种收费方式的费用构成：方式一包含固定办卡费200元，以及每次游泳30元的可变费用，总费用=固定费用+单次费用×游泳次数；方式二无固定费用，总费用=单次费用×游泳次数，代入对应数值即可写出函数式。
(2) 方式一比方式二省钱等价于方式一的总费用小于方式二的总费用，将(1)所得的两个函数式代入该不等关系，解一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 方式一的总费用由办卡费和每次游泳的费用组成，因此：
$y_1=30x+200$（$x$为正整数）
方式二无办卡费，每次游泳付费40元，因此：
$y_2=40x$（$x$为正整数）
(2) 要使方式一比方式二省钱，需满足$y_1＜y_2$，代入表达式得：
$30x+200＜40x$
移项得：$200＜40x-30x$
合并同类项得：$200＜10x$
系数化为1得：$x＞20$
即当游泳次数大于20次时，方式一更省钱。
【答案】
(1) $y_1=30x+200$，$y_2=40x$；
(2) 当$x＞20$时，选择方式一比方式二省钱。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；方案决策问题
【点评】
本题结合生活消费场景命题，属于基础应用题，解题核心是理清不同收费方案的费用构成，将实际问题转化为函数与不等式问题求解，能够有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
4.(广州市中考)因活动需要购买某种水果,数学活动小组的同学通过市场调查得知:在甲商店购买该水果的费用$y_1$(元)与该水果的质量$x$(千克)之间的关系如图所示;在乙商店购买该水果的费用$y_2$(元)与该水果的质量$x$(千克)之间的函数解析式为$y_2=10x(x≥0)$.
(1)求$y_1$与$x$之间的函数解析式;
(2)现计划用600元购买该水果,选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些?
(1)求$y_1$与$x$之间的函数解析式;
(2)现计划用600元购买该水果,选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些?
答案
4. (1)解:$y_1$ 与 $x$ 之间的函数解析式为
$y_1=\begin{cases}15x(0≤ x≤ 5),\\9x+30(x＞5);\end{cases}$
(2)在甲商店购买:$9x+30=600$,解得 $x=63\dfrac{1}{3}$,$\therefore$在甲商店 600 元可以购买$63\dfrac{1}{3}$千克水果;在乙商店购买:$10x=600$,解得 $x=60$,$\therefore$在乙商店 600元可以购买 60 千克,$\because 63\dfrac{1}{3}＞60$,$\therefore$在甲商店购买更多一些.
$y_1=\begin{cases}15x(0≤ x≤ 5),\\9x+30(x＞5);\end{cases}$
(2)在甲商店购买:$9x+30=600$,解得 $x=63\dfrac{1}{3}$,$\therefore$在甲商店 600 元可以购买$63\dfrac{1}{3}$千克水果;在乙商店购买:$10x=600$,解得 $x=60$,$\therefore$在乙商店 600元可以购买 60 千克,$\because 63\dfrac{1}{3}＞60$,$\therefore$在甲商店购买更多一些.
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，分两小问梳理思路：
(1) 观察图像可知$y_1$是分段函数，需分$0≤x≤5$和$x＞5$两段求解：①当$0≤x≤5$时，函数为过原点的正比例函数，设解析式为$y_1=k_1x$，代入点$(5,75)$即可求出系数；②当$x＞5$时，函数为普通一次函数，设解析式为$y_1=k_2x+b$，代入已知点$(5,75)$、$(10,120)$解二元一次方程组，即可求出对应系数，最终合并得到分段函数解析式。
(2) 要比较600元在哪家商店购买的水果更多，只需分别令两个商店的费用函数值为600，求出对应的购买质量$x$，再比较两个$x$的大小即可；注意600元远大于5千克的费用75元，因此甲商店需代入$x＞5$对应的解析式计算。
【解析】
(1) 分两种情况求$y_1$的解析式：
① 当$0≤ x≤5$时，设$y_1 = k_1x$，将点$(5,75)$代入得：
$75=5k_1$，解得$k_1=15$，
因此该段解析式为$y_1=15x$；
② 当$x＞5$时，设$y_1 = k_2x + b$，将点$(5,75)$、$(10,120)$分别代入得方程组：
$\begin{cases}5k_2 + b = 75 \\10k_2 + b = 120\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$5k_2=45$，解得$k_2=9$，
将$k_2=9$代入$5k_2 + b = 75$得：$45 + b =75$，解得$b=30$，
因此该段解析式为$y_1=9x+30$。
综上，$y_1$与$x$的函数解析式为：
$y_1=\begin{cases}15x&(0≤ x≤ 5)\\9x+30&(x＞5)\end{cases}$
(2) 分别计算600元在两家商店可购买的水果质量：
① 在甲商店购买：
因为600元＞75元，因此购买质量超过5千克，代入$y_1=9x+30=600$，
移项得$9x=570$，解得$x=63\frac{1}{3}$（千克）；
② 在乙商店购买：
代入$y_2=10x=600$，解得$x=60$（千克）。
比较得$63\frac{1}{3}＞60$，因此甲商店能购买更多水果。
【答案】
(1)$y_1=\begin{cases}15x(0≤ x≤ 5)\\9x+30(x＞5)\end{cases}$
(2)选甲商店能购买该水果更多一些。
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数；一次函数方案决策
【点评】
本题结合生活购物场景考查一次函数的应用，解题核心是准确根据图像求出分段函数的解析式，计算时要注意分段函数的自变量取值范围，避免代入错误的解析式，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的实际应用，分两小问梳理思路：
(1) 观察图像可知$y_1$是分段函数，需分$0≤x≤5$和$x＞5$两段求解：①当$0≤x≤5$时，函数为过原点的正比例函数，设解析式为$y_1=k_1x$，代入点$(5,75)$即可求出系数；②当$x＞5$时，函数为普通一次函数，设解析式为$y_1=k_2x+b$，代入已知点$(5,75)$、$(10,120)$解二元一次方程组，即可求出对应系数，最终合并得到分段函数解析式。
(2) 要比较600元在哪家商店购买的水果更多，只需分别令两个商店的费用函数值为600，求出对应的购买质量$x$，再比较两个$x$的大小即可；注意600元远大于5千克的费用75元，因此甲商店需代入$x＞5$对应的解析式计算。
【解析】
(1) 分两种情况求$y_1$的解析式：
① 当$0≤ x≤5$时，设$y_1 = k_1x$，将点$(5,75)$代入得：
$75=5k_1$，解得$k_1=15$，
因此该段解析式为$y_1=15x$；
② 当$x＞5$时，设$y_1 = k_2x + b$，将点$(5,75)$、$(10,120)$分别代入得方程组：
$\begin{cases}5k_2 + b = 75 \\10k_2 + b = 120\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$5k_2=45$，解得$k_2=9$，
将$k_2=9$代入$5k_2 + b = 75$得：$45 + b =75$，解得$b=30$，
因此该段解析式为$y_1=9x+30$。
综上，$y_1$与$x$的函数解析式为：
$y_1=\begin{cases}15x&(0≤ x≤ 5)\\9x+30&(x＞5)\end{cases}$
(2) 分别计算600元在两家商店可购买的水果质量：
① 在甲商店购买：
因为600元＞75元，因此购买质量超过5千克，代入$y_1=9x+30=600$，
移项得$9x=570$，解得$x=63\frac{1}{3}$（千克）；
② 在乙商店购买：
代入$y_2=10x=600$，解得$x=60$（千克）。
比较得$63\frac{1}{3}＞60$，因此甲商店能购买更多水果。
【答案】
(1)$y_1=\begin{cases}15x(0≤ x≤ 5)\\9x+30(x＞5)\end{cases}$
(2)选甲商店能购买该水果更多一些。
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数；一次函数方案决策
【点评】
本题结合生活购物场景考查一次函数的应用，解题核心是准确根据图像求出分段函数的解析式，计算时要注意分段函数的自变量取值范围，避免代入错误的解析式，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
