21.「2025河南平顶山期末，★☆」(10分)
(1)数学课上,为了证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,老师画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你写出证明过程.
已知:在$□ ABCD$中,对角线$BD ⊥ AC$,垂足为$O$.
求证:$□ ABCD$是菱形.
(2)如图2,在$□ ABCD$中,对角线$AC$和$BD$相交于点$O$,
$AD=5,AC=8,BD=6$.
①求证:$□ ABCD$是菱形.
②延长$BC$至点$E$,连接$OE$交$CD$于点$F$,若$∠ E = \frac{1}{2}∠ ACD$,求$\frac{OF}{EF}$的值.

21.解析 (1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AO=CO,AB=DC$, ………………(1分)
$\because BD ⊥ AC,\therefore ∠ AOB=∠ COB=90°$,
在 $△ AOB$ 和 $△ COB$ 中, $\begin{cases}AO=CO,\\∠ AOB=∠ COB,\\BO=BO,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COB(\mathrm{SAS})$, ………………(2分)
$\therefore AB=CB,\therefore □ ABCD$ 是菱形. ………………(3分)
(2)①证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore DO=BO=\frac{1}{2}BD=3,AO=CO=\frac{1}{2}AC=4$,…………(4分)
$\because AO^2+OD^2=4^2+3^2=25=AD^2$,
$\therefore △ AOD$ 是直角三角形,且 $∠ AOD=90°$,
$\therefore AC ⊥ BD,\therefore □ ABCD$ 是菱形. ………………(6分)
②$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore ∠ ACB=∠ ACD$,
$\because ∠ E=\frac{1}{2}∠ ACD,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\because ∠ ACB=∠ E+∠ COE,\therefore ∠ E=∠ COE$,
$\therefore OC=CE=\frac{1}{2}AC=4$, ………………(8分)
如图,过点 $O$ 作 $OG // CD$ 交 $BC$ 于点 $G$,

$\therefore \frac{BG}{GC}=\frac{BO}{OD}=1,\therefore CG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}$,
$\therefore \frac{OF}{EF}=\frac{GC}{CE}=\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{5}{8}$. ………………(10分)