登录
一元一次方程
相关概念
方程:含有的等式
方程的解:一般地,使方程的未知数的值,叫作方程的解
解方程:求方程的解的
一元一次方程:只含有未知数(元),且含有未知数的式子都是,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程
等式的性质
性质1:如果$a=b$,那么
性质2:如果$a=b$,那么
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
解一元一次方程的步骤:→→→→
列方程解应用题
一般步骤:审—找—设—列—解—检—答
常见类型
销售中的盈亏问题、比赛积分问题、行程问题
工程问题、方案选择问题、配套问题
相关概念
方程:含有的等式
方程的解:一般地,使方程的未知数的值,叫作方程的解
解方程:求方程的解的
一元一次方程:只含有未知数(元),且含有未知数的式子都是,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程
等式的性质
性质1:如果$a=b$,那么
性质2:如果$a=b$,那么
如果$a=b,c≠0$,那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
解一元一次方程的步骤:→→→→
列方程解应用题
一般步骤:审—找—设—列—解—检—答
常见类型
销售中的盈亏问题、比赛积分问题、行程问题
工程问题、方案选择问题、配套问题
答案
解：
各空白处依次填写：
未知数
左右两边相等
过程
一个
整式
$a\pm c = b\pm c$
$ac=bc$
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
各空白处依次填写：
未知数
左右两边相等
过程
一个
整式
$a\pm c = b\pm c$
$ac=bc$
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
解析
【分析】
本题考查一元一次方程章节的基础识记类知识点，解题时只需结合课本中给出的对应定义、性质、操作步骤逐一匹配填空即可：首先回忆方程、方程的解、解方程、一元一次方程的基础定义，对应填写前五个空；再回忆等式的两条性质内容，填写性质对应的空；最后回忆解一元一次方程的标准步骤，按顺序填写剩余空即可。
【解析】
结合课本相关定义与结论，各空白处填写内容如下：
1. 方程的定义：含有未知数的等式，故第一个空填“未知数”；
2. 方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，故第二个空填“左右两边相等”；
3. 解方程的定义：求方程的解的过程叫做解方程，故第三个空填“过程”；
4. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数为1的方程，故第四、第五个空依次填“一个”“整式”；
5. 等式的性质1：如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$；
6. 等式的性质2：如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b,c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$；
7. 解一元一次方程的步骤按顺序为：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
【答案】
未知数；左右两边相等；过程；一个；整式；$a\pm c = b\pm c$；$ac=bc$；去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1
【知识点】
方程的相关概念；等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础梳理题，考察的均为核心基础识记内容，是后续进行一元一次方程计算、应用类题目的前提，需要熟练掌握这些基础概念与操作步骤。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程章节的基础识记类知识点，解题时只需结合课本中给出的对应定义、性质、操作步骤逐一匹配填空即可：首先回忆方程、方程的解、解方程、一元一次方程的基础定义，对应填写前五个空；再回忆等式的两条性质内容，填写性质对应的空；最后回忆解一元一次方程的标准步骤，按顺序填写剩余空即可。
【解析】
结合课本相关定义与结论，各空白处填写内容如下：
1. 方程的定义：含有未知数的等式，故第一个空填“未知数”；
2. 方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，故第二个空填“左右两边相等”；
3. 解方程的定义：求方程的解的过程叫做解方程，故第三个空填“过程”；
4. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数为1的方程，故第四、第五个空依次填“一个”“整式”；
5. 等式的性质1：如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$；
6. 等式的性质2：如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b,c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$；
7. 解一元一次方程的步骤按顺序为：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
【答案】
未知数；左右两边相等；过程；一个；整式；$a\pm c = b\pm c$；$ac=bc$；去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1
【知识点】
方程的相关概念；等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础梳理题，考察的均为核心基础识记内容，是后续进行一元一次方程计算、应用类题目的前提，需要熟练掌握这些基础概念与操作步骤。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程中是一元一次方程的是().
A.$2x - 1 = 3y$
B.$7x + 5 = 6(x - 1)$
C.$x^2 + \frac{1}{2}(x - 1) = 1$
D.$\frac{1}{x} - 2 = x$
A.$2x - 1 = 3y$
B.$7x + 5 = 6(x - 1)$
C.$x^2 + \frac{1}{2}(x - 1) = 1$
D.$\frac{1}{x} - 2 = x$
答案
B
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③方程两边都是整式（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件排查，不符合任意一个就排除，全部符合的即为正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
选项A：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项B：先化简方程：$7x + 5 = 6(x - 1)$，去括号得$7x + 5 = 6x - 6$，整理得$x + 11 = 0$，只含有未知数x，x的次数是1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项C：方程中出现$x^2$项，未知数的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项D：方程中$\frac{1}{x}$是分式（分母含未知数），不是整式，不符合“等号两边都是整式”的要求，不是一元一次方程。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的判定；整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记一元一次方程的三个判定标准，逐项排查即可，易错点是忽略整式要求误选D，或没注意未知数次数误选C。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③方程两边都是整式（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件排查，不符合任意一个就排除，全部符合的即为正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
选项A：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项B：先化简方程：$7x + 5 = 6(x - 1)$，去括号得$7x + 5 = 6x - 6$，整理得$x + 11 = 0$，只含有未知数x，x的次数是1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项C：方程中出现$x^2$项，未知数的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
选项D：方程中$\frac{1}{x}$是分式（分母含未知数），不是整式，不符合“等号两边都是整式”的要求，不是一元一次方程。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的判定；整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记一元一次方程的三个判定标准，逐项排查即可，易错点是忽略整式要求误选D，或没注意未知数次数误选C。
【难度系数】
0.8
2. 根据等式的性质,下列变形正确的是().
A.如果$a=b$,那么$a+3=b-3$
B.如果$ac=bc$,那么$a=b$
C.如果$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,那么$a=b$
D.如果$a|c+1|=b|c+1|$,那么$a=b$
A.如果$a=b$,那么$a+3=b-3$
B.如果$ac=bc$,那么$a=b$
C.如果$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,那么$a=b$
D.如果$a|c+1|=b|c+1|$,那么$a=b$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题时首先要明确等式的两条基本性质，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0。解题思路是逐个分析每个选项，结合等式性质和特殊值（比如0）的情况判断变形是否正确，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
首先回忆等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
对各选项逐一分析：
A选项：若$a=b$，左边加3，右边减3，不符合等式性质1，变形错误；
B选项：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a、b$是否相等，等式都成立，因此不能直接推出$a=b$，变形错误；
C选项：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，根据分式有意义的条件可知$c≠0$，等式两边同时乘$c$，可得$a=b$，符合等式性质2，变形正确；
D选项：若$a|c+1|=b|c+1|$，当$|c+1|=0$即$c=-1$时，无论$a、b$是否相等，等式都成立，因此不能直接推出$a=b$，变形错误。
综上，变形正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；绝对值的非负性；分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型题，易错点在于忽略等式两边同时除以的数不能为0的前提条件，解题时要注意先判断所除的数是否可能为0，避免错选。
【难度系数】
0.7
这道题考查等式性质的应用，解题时首先要明确等式的两条基本性质，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0。解题思路是逐个分析每个选项，结合等式性质和特殊值（比如0）的情况判断变形是否正确，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
首先回忆等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
对各选项逐一分析：
A选项：若$a=b$，左边加3，右边减3，不符合等式性质1，变形错误；
B选项：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a、b$是否相等，等式都成立，因此不能直接推出$a=b$，变形错误；
C选项：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，根据分式有意义的条件可知$c≠0$，等式两边同时乘$c$，可得$a=b$，符合等式性质2，变形正确；
D选项：若$a|c+1|=b|c+1|$，当$|c+1|=0$即$c=-1$时，无论$a、b$是否相等，等式都成立，因此不能直接推出$a=b$，变形错误。
综上，变形正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；绝对值的非负性；分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型题，易错点在于忽略等式两边同时除以的数不能为0的前提条件，解题时要注意先判断所除的数是否可能为0，避免错选。
【难度系数】
0.7
3.(2026怒江)解方程$\frac{1}{2}-\frac{x+1}{3}=1$时，去分母正确的是().
A.$3-2(x+1)=6$
B.$3-2(x-1)=1$
C.$2-3(x+1)=6$
D.$3-2(x+1)=3$
A.$3-2(x+1)=6$
B.$3-2(x-1)=1$
C.$2-3(x+1)=6$
D.$3-2(x+1)=3$
答案
A
解析
【分析】
本题考查解一元一次方程中的去分母步骤，解题思路如下：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，本题分母是2和3，最小公倍数为6；第二步根据等式的性质，等式两边每一项都要乘以这个最小公倍数，注意不能漏乘没有分母的常数项，若分子是多项式，需要把分子作为整体加上括号避免符号错误；第三步整理计算后对比选项即可得到答案。
【解析】
方程$\frac{1}{2}-\frac{x+1}{3}=1$的两个分母为2和3，最小公倍数是6。
根据等式的性质，等式两边同时乘以6，每一项都参与运算：
$\frac{1}{2}×6 - \frac{x+1}{3}×6 = 1×6$
计算每一项的结果：
第一项：$\frac{1}{2}×6=3$
第二项：$\frac{x+1}{3}×6=2(x+1)$，注意前面有负号，所以是$-2(x+1)$
右边：$1×6=6$
整理后得到：$3-2(x+1)=6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 解一元一次方程（去分母）
2. 等式的性质
【点评】
本题是去分母的基础考查题，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，或者忘记给多项式分子加括号导致符号错误，掌握去分母的规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查解一元一次方程中的去分母步骤，解题思路如下：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，本题分母是2和3，最小公倍数为6；第二步根据等式的性质，等式两边每一项都要乘以这个最小公倍数，注意不能漏乘没有分母的常数项，若分子是多项式，需要把分子作为整体加上括号避免符号错误；第三步整理计算后对比选项即可得到答案。
【解析】
方程$\frac{1}{2}-\frac{x+1}{3}=1$的两个分母为2和3，最小公倍数是6。
根据等式的性质，等式两边同时乘以6，每一项都参与运算：
$\frac{1}{2}×6 - \frac{x+1}{3}×6 = 1×6$
计算每一项的结果：
第一项：$\frac{1}{2}×6=3$
第二项：$\frac{x+1}{3}×6=2(x+1)$，注意前面有负号，所以是$-2(x+1)$
右边：$1×6=6$
整理后得到：$3-2(x+1)=6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 解一元一次方程（去分母）
2. 等式的性质
【点评】
本题是去分母的基础考查题，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，或者忘记给多项式分子加括号导致符号错误，掌握去分母的规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
4. 下列方程变形中，正确的是().
A.方程 $3x + 4 = 4x - 5$，移项，得 $3x - 4x = 5 - 4$
B.方程 $-\dfrac{3}{2}x = 4$，系数化为1，得 $x = 4×(-\dfrac{3}{2})$
C.方程 $3 - 2(x + 1) = 5$，去括号，得 $3 - 2x - 2 = 5$
D.方程 $\dfrac{x - 1}{2} - 1 = \dfrac{3x + 1}{3}$，去分母，得 $3(x - 1) - 1 = 2(3x + 1)$
A.方程 $3x + 4 = 4x - 5$，移项，得 $3x - 4x = 5 - 4$
B.方程 $-\dfrac{3}{2}x = 4$，系数化为1，得 $x = 4×(-\dfrac{3}{2})$
C.方程 $3 - 2(x + 1) = 5$，去括号，得 $3 - 2x - 2 = 5$
D.方程 $\dfrac{x - 1}{2} - 1 = \dfrac{3x + 1}{3}$，去分母，得 $3(x - 1) - 1 = 2(3x + 1)$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查一元一次方程的基本变形规则，解题时需逐个选项对应移项、系数化为1、去括号、去分母的操作要求判断对错：①移项要注意只有移动的项才变号，未移动的项符号不变；②系数化为1时，要给方程两边同时乘未知数系数的倒数；③去括号要遵循乘法分配律，同时注意符号；④去分母时要给方程所有项都乘各分母的最小公倍数，不能漏乘常数项。按照这些规则逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$3x + 4 = 4x - 5$移项时，$4x$移到左边变$-4x$，$+4$移到右边变$-4$，$-5$未移动符号不变，正确移项应为$3x - 4x = -5 - 4$，本选项错误。
B选项：方程$-\dfrac{3}{2}x = 4$系数化为1，需两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，得$x = 4×(-\dfrac{2}{3})$，本选项乘的是系数本身而非倒数，错误。
C选项：方程$3 - 2(x + 1) = 5$去括号，根据乘法分配律，$-2$分别乘$x$和$1$，得$3 - 2x - 2 = 5$，本选项变形正确。
D选项：方程$\dfrac{x - 1}{2} - 1 = \dfrac{3x + 1}{3}$去分母，两边同乘最小公倍数6，常数项$-1$也要乘6，正确变形应为$3(x - 1) - 6 = 2(3x + 1)$，本选项漏乘常数项，错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
移项法则，去括号法则，去分母法则
【点评】
本题主要考查解一元一次方程过程中的基础变形规则，易错点为移项符号错误、去括号漏乘或符号错误、去分母漏乘常数项，熟练掌握每一步的操作要求是解题关键，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
这道题考查一元一次方程的基本变形规则，解题时需逐个选项对应移项、系数化为1、去括号、去分母的操作要求判断对错：①移项要注意只有移动的项才变号，未移动的项符号不变；②系数化为1时，要给方程两边同时乘未知数系数的倒数；③去括号要遵循乘法分配律，同时注意符号；④去分母时要给方程所有项都乘各分母的最小公倍数，不能漏乘常数项。按照这些规则逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$3x + 4 = 4x - 5$移项时，$4x$移到左边变$-4x$，$+4$移到右边变$-4$，$-5$未移动符号不变，正确移项应为$3x - 4x = -5 - 4$，本选项错误。
B选项：方程$-\dfrac{3}{2}x = 4$系数化为1，需两边同时乘$-\dfrac{2}{3}$，得$x = 4×(-\dfrac{2}{3})$，本选项乘的是系数本身而非倒数，错误。
C选项：方程$3 - 2(x + 1) = 5$去括号，根据乘法分配律，$-2$分别乘$x$和$1$，得$3 - 2x - 2 = 5$，本选项变形正确。
D选项：方程$\dfrac{x - 1}{2} - 1 = \dfrac{3x + 1}{3}$去分母，两边同乘最小公倍数6，常数项$-1$也要乘6，正确变形应为$3(x - 1) - 6 = 2(3x + 1)$，本选项漏乘常数项，错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
移项法则，去括号法则，去分母法则
【点评】
本题主要考查解一元一次方程过程中的基础变形规则，易错点为移项符号错误、去括号漏乘或符号错误、去分母漏乘常数项，熟练掌握每一步的操作要求是解题关键，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
5.若$x=3$是关于$x$的方程$ax - b = 5$的解，则$6a - 2b - 2$的值为().
A.2
B.8
C.$-3$
D.$-8$
A.2
B.8
C.$-3$
D.$-8$
答案
B
解析
【分析】
首先，看到“x=3是方程的解”，根据方程解的定义，将x=3代入原方程可得到a和b的数量关系；其次观察待求代数式6a-2b-2的结构，发现6a-2b是3a-b的2倍，因此不需要单独求a、b的值，用整体代入法即可计算出结果。
【解析】
解：
∵x=3是关于x的方程$ax - b = 5$的解
∴将x=3代入方程，得：$3a - b = 5$
对待求式变形可得：
$6a - 2b - 2 = 2(3a - b) - 2$
把$3a - b = 5$代入上式：
原式=$2×5 - 2 = 10 - 2 = 8$
【答案】
B
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.整体代入法求值
【点评】
本题考查方程解的应用及代数式求值，解题关键是灵活运用整体代入思想简化运算，无需单独求解a、b的具体值，是代数式求值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先，看到“x=3是方程的解”，根据方程解的定义，将x=3代入原方程可得到a和b的数量关系；其次观察待求代数式6a-2b-2的结构，发现6a-2b是3a-b的2倍，因此不需要单独求a、b的值，用整体代入法即可计算出结果。
【解析】
解：
∵x=3是关于x的方程$ax - b = 5$的解
∴将x=3代入方程，得：$3a - b = 5$
对待求式变形可得：
$6a - 2b - 2 = 2(3a - b) - 2$
把$3a - b = 5$代入上式：
原式=$2×5 - 2 = 10 - 2 = 8$
【答案】
B
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.整体代入法求值
【点评】
本题考查方程解的应用及代数式求值，解题关键是灵活运用整体代入思想简化运算，无需单独求解a、b的具体值，是代数式求值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
