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1.在数学活动课上，某兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验.如图，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50 g.若OA=20 cm，OB=40 cm，挂3个钩码可使轻质木杆左右平衡.设重物的质量为x g，根据题意列方程得().
A.$20x=40×50×3$
B.$40x=20×50×3$
C.$3×20x=40×50$
D.$3×40x=20×50$
A.$20x=40×50×3$
B.$40x=20×50×3$
C.$3×20x=40×50$
D.$3×40x=20×50$
答案
A
解析
【分析】
本题考查利用杠杆平衡原理列一元一次方程，解题思路如下：首先明确轻质木杆平衡的等量关系：左侧物体质量×左侧力臂长度=右侧物体总质量×右侧力臂长度；其次分别提取题干中左侧、右侧的质量和对应力臂的数值，最后代入等量关系即可列出方程。
【解析】
根据轻质木杆平衡的规律：左边质量×左边力臂 = 右边总质量×右边力臂。
已知左侧重物质量为x g，左侧力臂OA=20 cm；右侧共有3个钩码，每个钩码质量50 g，右侧总质量为(3×50)g，右侧力臂OB=40 cm。
将对应数值代入平衡规律，可列方程：$20x=40×50×3$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡原理、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的平衡实验考查列方程，解题的关键是准确找到平衡时的等量关系，区分清楚两侧对应的质量和力臂数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查利用杠杆平衡原理列一元一次方程，解题思路如下：首先明确轻质木杆平衡的等量关系：左侧物体质量×左侧力臂长度=右侧物体总质量×右侧力臂长度；其次分别提取题干中左侧、右侧的质量和对应力臂的数值，最后代入等量关系即可列出方程。
【解析】
根据轻质木杆平衡的规律：左边质量×左边力臂 = 右边总质量×右边力臂。
已知左侧重物质量为x g，左侧力臂OA=20 cm；右侧共有3个钩码，每个钩码质量50 g，右侧总质量为(3×50)g，右侧力臂OB=40 cm。
将对应数值代入平衡规律，可列方程：$20x=40×50×3$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡原理、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的平衡实验考查列方程，解题的关键是准确找到平衡时的等量关系，区分清楚两侧对应的质量和力臂数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费.12 m³以内的部分每立方米2.5元；超过12 m³的部分，每立方米3.8元.小丽家上个月用水的平均价格是每立方米3.2元，则小丽家上个月用水 m³.
答案
解：
设小丽家上个月用水$x\ \mathrm{m}^3$。
由平均水价3.2元/立方米 ＞ 2.5元/立方米，可知用水量$x＞12$，根据总水费相等列方程：
$12×2.5 + 3.8(x-12) = 3.2x$
展开得：
$30 + 3.8x - 45.6 = 3.2x$
移项得：
$3.8x - 3.2x = 45.6 - 30$
合并同类项：
$0.6x = 15.6$
系数化为1：
$x=26$
答：小丽家上个月用水26 $\mathrm{m}^3$。
设小丽家上个月用水$x\ \mathrm{m}^3$。
由平均水价3.2元/立方米 ＞ 2.5元/立方米，可知用水量$x＞12$，根据总水费相等列方程：
$12×2.5 + 3.8(x-12) = 3.2x$
展开得：
$30 + 3.8x - 45.6 = 3.2x$
移项得：
$3.8x - 3.2x = 45.6 - 30$
合并同类项：
$0.6x = 15.6$
系数化为1：
$x=26$
答：小丽家上个月用水26 $\mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
首先对比平均水价和12立方米以内的水价，平均水价3.2元/立方米高于2.5元/立方米，可判断小丽家上个月用水量超过12立方米。接下来设总用水量为未知数，根据“12立方米以内的水费+超出12立方米部分的水费=平均水价×总用水量”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到总用水量。
【解析】
设小丽家上个月用水$x\ \mathrm{m}^3$。
由平均水价3.2元/立方米 ＞ 2.5元/立方米，可知用水量$x＞12$，根据总水费相等列方程：
$12×2.5 + 3.8(x-12) = 3.2x$
展开得：
$30 + 3.8x - 45.6 = 3.2x$
移项得：
$3.8x - 3.2x = 45.6 - 30$
合并同类项：
$0.6x = 15.6$
系数化为1：
$x=26$
【答案】
26
【知识点】
分段计费问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中水费收取的实际场景命题，解题的关键是先根据平均水价判断用水量是否超过分段临界值，再找准总费用的等量关系列方程求解，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
首先对比平均水价和12立方米以内的水价，平均水价3.2元/立方米高于2.5元/立方米，可判断小丽家上个月用水量超过12立方米。接下来设总用水量为未知数，根据“12立方米以内的水费+超出12立方米部分的水费=平均水价×总用水量”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到总用水量。
【解析】
设小丽家上个月用水$x\ \mathrm{m}^3$。
由平均水价3.2元/立方米 ＞ 2.5元/立方米，可知用水量$x＞12$，根据总水费相等列方程：
$12×2.5 + 3.8(x-12) = 3.2x$
展开得：
$30 + 3.8x - 45.6 = 3.2x$
移项得：
$3.8x - 3.2x = 45.6 - 30$
合并同类项：
$0.6x = 15.6$
系数化为1：
$x=26$
【答案】
26
【知识点】
分段计费问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中水费收取的实际场景命题，解题的关键是先根据平均水价判断用水量是否超过分段临界值，再找准总费用的等量关系列方程求解，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
3.云南省昭通市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20 m³时，按2元/m³计算；月用水量超过20 m³时，其中的20 m³仍按2元/m³计算，超过部分按2.6元/m³计算。设某户家庭月用水量x m³.
(1)用含x的式子表示：当0≤x≤20时，水费为，当x＞20时，水费为；
(2)小华家第二季度用水情况如下表所示，小华家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小华家6月份用水量a的值.
(1)用含x的式子表示：当0≤x≤20时，水费为，当x＞20时，水费为；
(2)小华家第二季度用水情况如下表所示，小华家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小华家6月份用水量a的值.
答案
解：
(1) 当$0≤ x≤ 20$时，水费为$2x$ 元；
当$x＞20$时，水费为$2×20 + 2.6(x-20)=(2.6x - 12)$ 元。
(2) 4月份水费：$15×2=30$（元）
5月份水费：$17×2=34$（元）
6月份水费为：$117 - 30 - 34 = 53$（元）
因为月用水量为$20\ \mathrm{m}^3$时，水费为$20×2=40$元，$53＞40$，可知$a＞20$。
依题意列方程：
$2.6a - 12 = 53$
解得：$a=25$
答：小华家6月份用水量$a$的值为$25\ \mathrm{m}^3$。
(1) 当$0≤ x≤ 20$时，水费为$2x$ 元；
当$x＞20$时，水费为$2×20 + 2.6(x-20)=(2.6x - 12)$ 元。
(2) 4月份水费：$15×2=30$（元）
5月份水费：$17×2=34$（元）
6月份水费为：$117 - 30 - 34 = 53$（元）
因为月用水量为$20\ \mathrm{m}^3$时，水费为$20×2=40$元，$53＞40$，可知$a＞20$。
依题意列方程：
$2.6a - 12 = 53$
解得：$a=25$
答：小华家6月份用水量$a$的值为$25\ \mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
(1) 本题属于分段计费问题，需根据用水量的不同范围分别列式：当用水量不超过20m³时，直接按照“总价=单价×数量”计算水费；当用水量超过20m³时，水费分为两部分，20m³以内的部分按2元/m³计费，超出20m³的部分按2.6元/m³计费，将两部分费用相加即可得到总水费。
(2) 先计算4月、5月的水费，这两个月用水量均小于20m³，直接用用水量乘2元/m³即可；再用季度总水费减去4、5月的水费得到6月的水费，先判断6月用水量范围：若用水量为20m³，水费为40元，对比6月水费即可确定a的取值范围，再代入对应范围的水费公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤20$时，水费为单价乘用水量，即$2x$元；
当$x＞20$时，水费=20m³的费用+超出20m³部分的费用，即$2×20 + 2.6(x-20)= (2.6x -12)$元。
(2) 计算4、5月份水费：
4月用水量$15\ \mathrm{m}^3＜20\ \mathrm{m}^3$，水费：$15×2=30$元
5月用水量$17\ \mathrm{m}^3＜20\ \mathrm{m}^3$，水费：$17×2=34$元
6月水费为：$117-30-34=53$元
已知月用水量为20m³时，水费为$20×2=40$元，$53＞40$，因此6月用水量$a＞20$。
代入$x＞20$时的水费公式列方程：
$2.6a -12 = 53$
解得：$2.6a=65$，$a=25$
【答案】
(1) $2x$元；$(2.6x -12)$元
(2) $25\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
列代数式；分段计费；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际的水费计费规则出题，解题关键是理清不同用水量区间的计费方式，第二问要先判断6月用水量的所属区间，再代入对应公式列方程求解，避免直接不分区间代入导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于分段计费问题，需根据用水量的不同范围分别列式：当用水量不超过20m³时，直接按照“总价=单价×数量”计算水费；当用水量超过20m³时，水费分为两部分，20m³以内的部分按2元/m³计费，超出20m³的部分按2.6元/m³计费，将两部分费用相加即可得到总水费。
(2) 先计算4月、5月的水费，这两个月用水量均小于20m³，直接用用水量乘2元/m³即可；再用季度总水费减去4、5月的水费得到6月的水费，先判断6月用水量范围：若用水量为20m³，水费为40元，对比6月水费即可确定a的取值范围，再代入对应范围的水费公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤20$时，水费为单价乘用水量，即$2x$元；
当$x＞20$时，水费=20m³的费用+超出20m³部分的费用，即$2×20 + 2.6(x-20)= (2.6x -12)$元。
(2) 计算4、5月份水费：
4月用水量$15\ \mathrm{m}^3＜20\ \mathrm{m}^3$，水费：$15×2=30$元
5月用水量$17\ \mathrm{m}^3＜20\ \mathrm{m}^3$，水费：$17×2=34$元
6月水费为：$117-30-34=53$元
已知月用水量为20m³时，水费为$20×2=40$元，$53＞40$，因此6月用水量$a＞20$。
代入$x＞20$时的水费公式列方程：
$2.6a -12 = 53$
解得：$2.6a=65$，$a=25$
【答案】
(1) $2x$元；$(2.6x -12)$元
(2) $25\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
列代数式；分段计费；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际的水费计费规则出题，解题关键是理清不同用水量区间的计费方式，第二问要先判断6月用水量的所属区间，再代入对应公式列方程求解，避免直接不分区间代入导致错误。
【难度系数】
0.7
