4. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）。

A.∠A=90°
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.∠C=∠A+∠B
D.∠A+∠B=90°

4. B

【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，核心是看三角形中是否存在90°的内角，解题依据是三角形内角和为180°。我们只需逐个分析每个选项，推导或计算各角的度数，判断是否有直角即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：已知∠A=90°，直接满足有一个内角是直角，因此△ABC是直角三角形，不符合题意，排除；
B选项：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和为180°，可得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，因此三个角的度数分别为45°、60°、75°，没有90°的角，因此△ABC不是直角三角形，符合题意；
C选项：已知∠C=∠A+∠B，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，代入可得2∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意，排除；
D选项：已知∠A+∠B=90°，则∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题是基础类考题，主要考查直角三角形的判定方法，解题时只要熟练运用三角形内角和定理计算或推导角度即可，答题时需注意题干要求是选出“不是直角三角形”的选项，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.9

5. 如图13.3-11，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ACB=70°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（）。

A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$


图13.3-11
图13.3-12

5. C

【分析】
要求∠BFD的度数，首先观察到AD⊥BC，可知△BFD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，只需要求出∠FBD的度数即可。∠FBD是BE平分∠ABC得到的，因此先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再结合角平分线的定义得到∠FBD的大小，最后代入直角三角形锐角互余的关系计算即可得到答案。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 50° - 70° = 60°$
∵BE平分∠ABC，
∴$∠ FBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×60° = 30°$
又
∵AD⊥BC，
∴$∠ BDF = 90°$，
在Rt△BDF中，两锐角互余，因此：
$∠ BFD = 90° - ∠ FBD = 90° - 30° = 60°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，综合考查了三角形的基础性质，解题的关键是理清所求角和已知角之间的推导关系，熟练掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 如图13.3-12，E是$△ ABC$的边AC上一点，过点E作$ED\bot AB$，垂足为D. 若$∠ 1=∠ 2$，则$△ ABC$是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）

6. 直角

【分析】
要判断△ABC的形状，可通过推导其内角是否为90°入手。首先从已知的垂直条件出发，得到Rt△ADE中两个锐角互余，再结合∠1=∠2的条件进行等量代换，得到△ABC中两个内角的和为90°，最后利用三角形内角和定理即可推出第三个角为直角，从而判断三角形类型。
【解析】
∵ED⊥AB，垂足为D，
∴∠ADE=90°，
∴在Rt△ADE中，∠1+∠A=90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠1=∠2，
∴将∠1替换为∠2可得：∠2+∠A=90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C=180°-(∠A+∠2)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
直角三角形性质；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用已知的垂直关系和角的等量关系推导三角形内角的度数，解题的关键是熟练掌握直角三角形性质和三角形内角和定理，通过角的代换得到直角即可解决问题。
【难度系数】
0.8

7. 如图13.3-13，直线$AB// CD$，$GE⊥ EF$，垂足为E. 若$∠ BGE=60°$，则$∠ EFD=$（）.


A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$70°$

7. B

【分析】
本题已知AB//CD，且GE⊥EF，要求∠EFD的度数，我们可以通过延长GE交CD于点H，将已知角和未知角放到同一个直角三角形中求解。首先利用平行线的性质得到∠BGE与∠GHD相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质即可算出∠EFD的度数。
【解析】
解：延长GE交CD于点H，
∵AB//CD，
∴∠BGE=∠GHD（两直线平行，内错角相等），
已知∠BGE=60°，
∴∠GHD=60°，
∵GE⊥EF，
∴∠HEF=90°（垂直的定义），
在Rt△HEF中，∠GHD + ∠EFD = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠EFD=90°-60°=30°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题考查平行线与直角三角形的综合应用，解题关键是通过延长线段构造直角三角形，将已知角和所求角建立关联，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 在$△ ABC$中，$AD$为边$BC$上的高，$∠ ABC = 30°$，$∠ CAD = 20°$，则$∠ BAC$的度数是。

8. 40°或 80°

【分析】
题目中仅说明AD是BC边上的高，未明确高的位置，而三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部。再结合直角三角形两锐角互余的性质，分别计算∠BAD的度数，进而求出∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余，可得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角，D在BC的延长线上）：
同理可得∠BAD=90°-30°=60°
此时∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为40°或80°。
【答案】
40°或80°
【知识点】
直角三角形的性质，三角形的高，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，遇到涉及三角形高且无图的题目时，要注意考虑高的位置是否唯一，分情况讨论求解，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6

9. 如图13.3-14，线段AF⊥AE，垂足为A，线段GD分别交AF，AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为。

9. 270°

【分析】
解题时先从已知的直角入手，先利用直角三角形两锐角互余得到△ABC中两个锐角的和，再结合对顶角相等，把待求的4个角放在△GCF和△EBD两个三角形中，利用三角形内角和定理，通过整体代换计算即可得到结果。
【解析】
∵ $AF⊥ AE$，
∴ $∠ A=90°$，
在$△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$。
根据对顶角相等可得：$∠ ACB=∠ GCF$，$∠ ABC=∠ EBD$，
∴ $∠ GCF + ∠ EBD = ∠ ACB + ∠ ABC = 90°$。
在$△ GCF$中：$∠ G + ∠ AFG + ∠ GCF = 180°$ ①，
在$△ EBD$中：$∠ D + ∠ AED + ∠ EBD = 180°$ ②，
①+②得：$∠ G + ∠ AFG + ∠ GCF + ∠ D + ∠ AED + ∠ EBD = 360°$，
将$∠ GCF + ∠ EBD=90°$代入上式得：
$∠ D + ∠ G + ∠ AFG + ∠ AED = 360° - 90° = 270°$。
【答案】
$270°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题，解题核心是利用对顶角相等沟通已知角和待求角的联系，结合三角形内角和定理，用整体代换的思想即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7