10. 如图13.3-15，$AB// CD$，直线$EF$分别与$AB$，$CD$相交于点$E$，$F$，$EP$平分$∠ AEF$，$FP$平分$∠ EFC$.
（1）求证$△ EPF$是直角三角形；
（2）若$∠ PEF＝30°$，求$∠ PFC$的度数.

图13.3-15

10. （1）证明：
∵AB//CD，
∴∠AEF+∠EFC=180°.
又EP平分∠AEF，FP平分∠EFC，
∴∠PEF+∠PFE=$\frac{1}{2}$(∠AEF+∠EFC)
=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴△EPF是直角三角形.
（2）解：由（1）知，∠PEF+∠PFE=90°.
∵∠PEF=30°，
∴∠PFE=90°−∠PEF=90°−30°=60°.
又FP平分∠EFC，
∴∠PFC=60°.

【分析】
（1）要证明△EPF是直角三角形，只需证明其有一个内角为90°即可。首先根据AB//CD，利用平行线同旁内角互补的性质可得∠AEF与∠EFC的和为180°；再结合EP、FP分别是两个角的角平分线，可推出∠PEF与∠PFE的和为90°，根据三角形内角和为180°，即可得到∠P=90°，完成证明。
（2）由（1）的结论已知∠PEF+∠PFE=90°，代入∠PEF的度数可先求出∠PFE的度数，再根据FP是∠EFC的角平分线，可知∠PFC与∠PFE相等，即可求出∠PFC的度数。
【解析】
（1）证明：
∵AB//CD，
∴∠AEF+∠EFC=180°。
又
∵EP平分∠AEF，FP平分∠EFC，
∴∠PEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠PFE=$\frac{1}{2}$∠EFC，
∴∠PEF+∠PFE=$\frac{1}{2}$(∠AEF+∠EFC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠P=180°-(∠PEF+∠PFE)=90°，
∴△EPF是直角三角形。
（2）解：由（1）知，∠PEF+∠PFE=90°，
∵∠PEF＝30°，
∴∠PFE=90°−∠PEF=90°−30°=60°，
又
∵FP平分∠EFC，
∴∠PFC=∠PFE=60°。
【答案】
（1）△EPF是直角三角形，证明成立；（2）∠PFC=60°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形判定
【点评】
本题是几何基础综合题，考查平行线、角平分线与三角形内角的相关知识，解题核心是理清角之间的数量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11. 如图13.3-16，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
（1）求证∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB并分别交CD，BC于点E，F，求证∠CEF=∠CFE.

图13.3-16

11. 证明：（1）
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∠B+∠BCD=90°.
∴∠ACD=∠B.
（2）
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠CFE=90°，
∠EAD+∠AED=90°.
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD.
∴∠CFE=∠AED.
又∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE.

【分析】
（1）要证明∠ACD=∠B，可利用同角的余角相等推导：已知∠ACB和∠CDB均为直角，可得∠ACD与∠BCD互余，∠B也与∠BCD互余，两个角的余角相同，即可推出两角相等。
（2）要证明∠CEF=∠CFE，先结合角平分线的定义得到∠CAF=∠EAD，再利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠CFE与∠CAF互余、∠AED与∠EAD互余，由此推出∠CFE=∠AED，最后结合对顶角相等的性质，通过等量代换即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B。
（2）证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠CFE=90°，
∠EAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∴∠CFE=∠AED，
又
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE。
【答案】
（1）∠ACD=∠B；（2）∠CEF=∠CFE
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察角的等量关系推导，解题的关键是熟练掌握直角三角形性质、余角性质以及角平分线、对顶角的相关性质，通过合理的等量代换即可完成证明。
【难度系数】
0.8