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例1 某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级(1)班的2名男生1名女生、九年级(2)班的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人.
（1）用列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率.
（1）用列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率.
答案
（1）所有等可能的情况有20种.列表如下：
（2）2名主持人来自不同班级的情况有12种，即 $P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
（3）2名主持人恰好1男1女的情况数有12种，即 $P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：
1. 第一问求解所有可能情形：本次选取是不放回选2人，用列表法时每行代表第一个选取的对象，每列代表第二个选取的对象，排除选取同一个人的无效情况，即可得到所有等可能的结果。
2. 第二问求解来自不同班级的概率：先明确人员构成，九(1)班共3人、九(2)班共2人，在总结果中筛选出两人分属两个班级的情况数，再代入概率公式计算即可。
3. 第三问求解1男1女的概率：统计所有结果中恰好1男1女的情况数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）将5名学生标记为：九(1)班2名男生为男1、男1，女生为女1；九(2)班男生为男2，女生为女2。列表选取2人，排除选取同一人的情况，总情况数为$5×4=20$种，列表如下：
（2）2名主持人来自不同班级的情况：九(1)班选1人、九(2)班选1人的有序情况共$3×2=6$种，九(2)班选1人、九(1)班选1人的有序情况共$2×3=6$种，合计12种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的情况数}{总等可能情况数}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
（3）2名主持人恰好1男1女的情况：先选男生再选女生的有序情况共$3×2=6$种，先选女生再选男生的有序情况共$2×3=6$种，合计12种。
根据概率公式可得：$P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
【答案】
（1）所有等可能的情况有20种.列表如下：
（2）$\frac{3}{5}$
（3）$\frac{3}{5}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率部分的常规题型，核心考查等可能事件概率的求解方法，解题关键是准确计数总情况数和符合条件的情况数，避免计数时出现重复、遗漏的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：
1. 第一问求解所有可能情形：本次选取是不放回选2人，用列表法时每行代表第一个选取的对象，每列代表第二个选取的对象，排除选取同一个人的无效情况，即可得到所有等可能的结果。
2. 第二问求解来自不同班级的概率：先明确人员构成，九(1)班共3人、九(2)班共2人，在总结果中筛选出两人分属两个班级的情况数，再代入概率公式计算即可。
3. 第三问求解1男1女的概率：统计所有结果中恰好1男1女的情况数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）将5名学生标记为：九(1)班2名男生为男1、男1，女生为女1；九(2)班男生为男2，女生为女2。列表选取2人，排除选取同一人的情况，总情况数为$5×4=20$种，列表如下：
（2）2名主持人来自不同班级的情况：九(1)班选1人、九(2)班选1人的有序情况共$3×2=6$种，九(2)班选1人、九(1)班选1人的有序情况共$2×3=6$种，合计12种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的情况数}{总等可能情况数}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
（3）2名主持人恰好1男1女的情况：先选男生再选女生的有序情况共$3×2=6$种，先选女生再选男生的有序情况共$2×3=6$种，合计12种。
根据概率公式可得：$P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
【答案】
（1）所有等可能的情况有20种.列表如下：
（2）$\frac{3}{5}$
（3）$\frac{3}{5}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率部分的常规题型，核心考查等可能事件概率的求解方法，解题关键是准确计数总情况数和符合条件的情况数，避免计数时出现重复、遗漏的错误。
【难度系数】
0.7
例2 如图5.2.1，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动.开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处……）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作.
（1）从点A开始，掷一次骰子后到点C处的概率是
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
（1）从点A开始，掷一次骰子后到点C处的概率是
$\frac{1}{3}$
；（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
答案
（1）
∵骰子是一个正方体，六个面上的数字依次是1,2,3,4,5,6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到点C时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从点A开始，掷一次骰子后到点C处的概率是$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
从上表得：总共有36种可能的结果，要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4,8或12，由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4,8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为$P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
∵骰子是一个正方体，六个面上的数字依次是1,2,3,4,5,6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到点C时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从点A开始，掷一次骰子后到点C处的概率是$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
从上表得：总共有36种可能的结果，要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4,8或12，由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4,8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为$P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）第一问先明确掷骰子共有6种等可能的结果，结合正方形顶点移动周期为4的规律，找出从A出发移动到C对应的符合条件的点数，再代入概率公式计算即可。
（2）第二问要使第二次掷骰子后回到A点，两次掷得的点数总和需为4的倍数（每移动4步就回到原起点），用列表法列出两次掷骰子的所有等可能结果，统计出点数和为4、8、12的结果数，再代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）
∵骰子六个面的点数为1,2,3,4,5,6，共6种等可能的结果，
从A出发移动到C，移动步数除以4余2，符合条件的点数为2、6，共2种结果，
∴掷一次骰子后到点C处的概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）两次掷骰子的所有等可能结果如下表：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，要回到A点，两次点数和为4的倍数，即和为4、8、12，符合条件的结果共9种，
∴第二次掷骰子后棋子回到点A处的概率$P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，周期规律应用
【点评】
本题将周期规律和概率计算结合考查，第一问较为基础，只需找准移动到目标点的符合条件的点数即可；第二问需要先明确两次总步数的特征，再通过列表法枚举所有情况计数，考查学生的逻辑分析能力和枚举计数的细心程度，避免漏算、错算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先明确掷骰子共有6种等可能的结果，结合正方形顶点移动周期为4的规律，找出从A出发移动到C对应的符合条件的点数，再代入概率公式计算即可。
（2）第二问要使第二次掷骰子后回到A点，两次掷得的点数总和需为4的倍数（每移动4步就回到原起点），用列表法列出两次掷骰子的所有等可能结果，统计出点数和为4、8、12的结果数，再代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）
∵骰子六个面的点数为1,2,3,4,5,6，共6种等可能的结果，
从A出发移动到C，移动步数除以4余2，符合条件的点数为2、6，共2种结果，
∴掷一次骰子后到点C处的概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）两次掷骰子的所有等可能结果如下表：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，要回到A点，两次点数和为4的倍数，即和为4、8、12，符合条件的结果共9种，
∴第二次掷骰子后棋子回到点A处的概率$P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，周期规律应用
【点评】
本题将周期规律和概率计算结合考查，第一问较为基础，只需找准移动到目标点的符合条件的点数即可；第二问需要先明确两次总步数的特征，再通过列表法枚举所有情况计数，考查学生的逻辑分析能力和枚举计数的细心程度，避免漏算、错算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
1. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个蓝球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是（
A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{9}{20}$
D.$\frac{3}{5}$
A
）A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{9}{25}$
C.$\frac{9}{20}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道不放回抽样的概率计算题，解题可通过两种思路推导：一是分步计算概率，分别求出第一次摸到红球的概率、第一次摸到红球后第二次再摸到红球的概率，再将两个概率相乘得到总概率；二是用列举法列出所有等可能的结果，用两次都摸到红球的结果数除以总结果数得到概率。解题时需注意“不放回”的条件，第二次摸球时总球数和红球数均比第一次少1，不要和放回抽样混淆。
【解析】
方法一：分步概率计算
1. 第一次摸球时，袋中共有$3+2=5$个质地大小相同的球，其中红球有3个，因此第一次摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$；
2. 由于摸出后不放回，此时袋中剩余4个球，其中红球剩余2个，因此第二次摸到红球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
3. 两次都摸到红球的概率为两次概率的乘积：$\frac{3}{5} × \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$。
方法二：列举法验证
不放回摸两次球，所有等可能的结果共有$5 × 4 = 20$种，其中两次都摸到红球的结果有$3 × 2 = 6$种，因此概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，不放回抽样概率，分步概率乘法
【点评】
本题考查不放回条件下的概率求解，易错点是忽略“不放回”的限制，误按放回抽样计算得到$\frac{9}{25}$错选B，解题时只要明确两次摸球的总样本数和符合条件的样本数的变化，就能准确得出结果。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回抽样的概率计算题，解题可通过两种思路推导：一是分步计算概率，分别求出第一次摸到红球的概率、第一次摸到红球后第二次再摸到红球的概率，再将两个概率相乘得到总概率；二是用列举法列出所有等可能的结果，用两次都摸到红球的结果数除以总结果数得到概率。解题时需注意“不放回”的条件，第二次摸球时总球数和红球数均比第一次少1，不要和放回抽样混淆。
【解析】
方法一：分步概率计算
1. 第一次摸球时，袋中共有$3+2=5$个质地大小相同的球，其中红球有3个，因此第一次摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$；
2. 由于摸出后不放回，此时袋中剩余4个球，其中红球剩余2个，因此第二次摸到红球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
3. 两次都摸到红球的概率为两次概率的乘积：$\frac{3}{5} × \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$。
方法二：列举法验证
不放回摸两次球，所有等可能的结果共有$5 × 4 = 20$种，其中两次都摸到红球的结果有$3 × 2 = 6$种，因此概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，不放回抽样概率，分步概率乘法
【点评】
本题考查不放回条件下的概率求解，易错点是忽略“不放回”的限制，误按放回抽样计算得到$\frac{9}{25}$错选B，解题时只要明确两次摸球的总样本数和符合条件的样本数的变化，就能准确得出结果。
【难度系数】
0.7
