1 [2026 河北承德期中,中]我们把$2÷2÷2$记作$2^③$,$(-4)÷(-4)$记作$(-4)^②$,那么计算$9×(-3)^④$的结果为 ()

A.1
B.3
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$

【解析】$9×(-3)^④ =9×[ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ] =9×\dfrac{1}{9}=1$,故选 A.

2[2025山东滕州质检,中]若$|x|=4$，$|y|=\frac{1}{2}$，且$xy＜0$，则$\frac{x}{y}$的值等于（）

A.8
B.-8
C.4
D.-4

【解析】根据题意得 $x=±4$,$y=±\dfrac{1}{2}$. 因为 $xy＜0$,所以 $x=4$,$y=-\dfrac{1}{2}$ 或 $x=-4$,$y=\dfrac{1}{2}$,所以 $\dfrac{x}{y}=-8$. 故选 B.

3[2026 四川成都期末,中]有理数$a,b,c,d$满足$a+b＞0,bc＜0,\frac{c}{a}＞1,\frac{d}{c}＞1,\frac{1}{a}＜\frac{1}{d}$,则下列结论正确的是（）

A.$d＜c＜a＜b$
B.$b＜a＜c＜d$
C.$c＜b＜d＜a$
D.$a＜c＜d＜b$

【解析】因为 $bc＜0$,所以 $b$ 与 $c$ 异号,且都不为 0. 因为 $\dfrac{c}{a}＞1$,$\dfrac{d}{c}＞1$,所以 $a$ 与 $c$ 同号,且 $a$ 不为 0,$|c|＞|a|$;$c$ 与 $d$ 同号,且 $d$ 不为 0,$|d|＞|c|$,所以 $a$ 与 $d$ 同号,$a$ 与 $b$ 异号. 因为 $\dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{d}$,所以 $d$ 不为 0,所以 $a＞d$. 因为 $a+b＞0$,所以当 $a＜0$,$b＞0$ 时,$c＜a$,$d＜c$,即 $d＜c＜a＜b$; 当 $a＞0$,$b＜0$ 时,$c＞a$,$d＞c$,则 $a＜c＜d$,与 $a＞d$ 矛盾,不符合题意. 故选 A.

4[中]已知$a$是有理数，$[a]$表示不超过$a$的最大整数，如:$[3.2]=3,[-1.5]=-2,[0.8]=0,[2]=2$等，那么$[3.9]÷[3]×[-5.6]=$.

【解析】因为$[3.9]=3$,$[3]=3$,$[-5.6]=-6$,所以$[3.9]÷[3]×[-5.6] = 3÷3×(-6) = -6$. 故答案为-6.

5[中]已知$a$是不等于$-1$的数,我们把$\frac{1}{1+a}$称为$a$的和倒数.如:$2$的和倒数为$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$.已知$a_1=1,a_2$是$a_1$的和倒数,$a_3$是$a_2$的和倒数,$a_4$是$a_3$的和倒数,$···$,依次类推,则$a_1×a_2×···×a_6=$.

【解析】由题意得 $a_1=1$,$a_2=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$,$a_3=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$,$a_4=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{5}$,$a_5=\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{8}$,$a_6=\dfrac{1}{1+\dfrac{5}{8}}=\dfrac{8}{13}$,所以 $a_1 ×a_2 ×\dots ×a_6 = 1 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{5} × \dfrac{5}{8} × \dfrac{8}{13} = \dfrac{1}{13}$,故答案为 $\dfrac{1}{13}$.

6[中]对于有理数$a,b(a,b都不为0)$定义运算“Δ”：$a\Delta b = \frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$。例如：$2\Delta3 = \frac{1}{2} ÷ (-\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}$。求$(-\frac{1}{2}\Delta6)\Delta5$的值。

6.【解】$(-\dfrac{1}{2}\Delta6) \Delta5 = [ \dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} ÷ (-\dfrac{6}{2}) ] \Delta5 = [-2÷(-3)] \Delta5 = \dfrac{2}{3} \Delta5 = \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} ÷ (-\dfrac{5}{2}) = \dfrac{3}{2} × (-\dfrac{2}{5}) = -\dfrac{3}{5}$.

7[中]我们知道$a÷ b=\frac{a}{b},b÷ a=\frac{b}{a}$,显然$a÷ b$与$b÷ a$的结果互为倒数关系.小明利用这一方法计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$的过程如下:因为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10$.故原式$=-\frac{1}{10}$.
请你仿照这种方法计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$.
刷素养 走向重高

7.【解】因为$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}) ÷ (-\dfrac{1}{42}) = (\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}) × (-42) = \dfrac{1}{6} × (-42) - \dfrac{3}{14} × (-42) + \dfrac{2}{3} × (-42) - \dfrac{2}{7} × (-42) = -7+9-28+12=-14$, 所以$(-\dfrac{1}{42}) ÷ (\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}) = -\dfrac{1}{14}$.

8 核心素养运算能力 [2026 山东菏泽期末,较难]
(1)三个有理数$a,b,c$满足$abc＞0$,求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值;
(2)若$a,b,c$是三个不为0的有理数,且$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1$,求$\frac{abc}{|abc|}$的值.

8.【解】(1)因为 $abc＞0$,所以 $a,b,c$ 都是正数或是两个负数一个正数. ①当 $a,b,c$ 都是正数,即 $a＞0,b＞0,c＞0$ 时,$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=1+1+1=3$;②当 $a,b,c$ 中有一个为正数,另外两个为负数时,设 $a＜0,b＜0,c＞0$,则 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=-1-1+1=-1$. 故 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$ 的值为 3 或-1.
(2)因为 $a,b,c$ 是三个不为 0 的有理数,且 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=-1$,所以 $a,b,c$ 中有一个为正数,另外两个为负数,所以 $abc＞0$,所以 $\dfrac{abc}{|abc|}=\dfrac{abc}{abc}=1$.