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三、解答题
1.某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共获利88元，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元。
1.某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共获利88元，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元。
答案
1.甲种商品每件的进价为250元，乙种商品每件的进价为200元.
解析
【分析】
这是一道销售类实际应用题，包含甲、乙商品进价两个未知量，适合用二元一次方程组求解。解题思路如下：首先明确销售问题的基本数量关系：商品实际售价=进价×(1+加价率)×折扣率，总利润=总售价-总进价；其次找到两个核心等量关系：①甲商品实际售价+乙商品实际售价=538元；②甲商品进价+乙商品进价=总售价-总利润=538-88=450元；最后设未知数后根据等量关系列方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设甲种商品每件的进价为$x$元，乙种商品每件的进价为$y$元。
根据总利润可算出总进价为$538-88=450$元，列第一个方程：
$x + y = 450$ ①
甲商品实际售价为$(1+50\%)x×0.8$，乙商品实际售价为$(1+40\%)y×0.85$，结合总付款列第二个方程：
$0.8×1.5x + 0.85×1.4y = 538$
化简得：$1.2x + 1.19y = 538$ ③
由①得$x=450-y$，代入③：
$1.2×(450-y) + 1.19y = 538$
$540 - 1.2y + 1.19y = 538$
$0.01y = 2$
解得$y=200$
将$y=200$代入①，得$x=450-200=250$
经检验，$x=250$、$y=200$符合题意。
【答案】
甲种商品每件的进价为250元，乙种商品每件的进价为200元。
【知识点】
1.二元一次方程组应用
2.销售利润计算
3.打折销售问题
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，核心是梳理清楚进价、加价率、折扣、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系列方程组即可求解，计算量小，理清逻辑后不易出错。
【难度系数】
0.7
这是一道销售类实际应用题，包含甲、乙商品进价两个未知量，适合用二元一次方程组求解。解题思路如下：首先明确销售问题的基本数量关系：商品实际售价=进价×(1+加价率)×折扣率，总利润=总售价-总进价；其次找到两个核心等量关系：①甲商品实际售价+乙商品实际售价=538元；②甲商品进价+乙商品进价=总售价-总利润=538-88=450元；最后设未知数后根据等量关系列方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设甲种商品每件的进价为$x$元，乙种商品每件的进价为$y$元。
根据总利润可算出总进价为$538-88=450$元，列第一个方程：
$x + y = 450$ ①
甲商品实际售价为$(1+50\%)x×0.8$，乙商品实际售价为$(1+40\%)y×0.85$，结合总付款列第二个方程：
$0.8×1.5x + 0.85×1.4y = 538$
化简得：$1.2x + 1.19y = 538$ ③
由①得$x=450-y$，代入③：
$1.2×(450-y) + 1.19y = 538$
$540 - 1.2y + 1.19y = 538$
$0.01y = 2$
解得$y=200$
将$y=200$代入①，得$x=450-200=250$
经检验，$x=250$、$y=200$符合题意。
【答案】
甲种商品每件的进价为250元，乙种商品每件的进价为200元。
【知识点】
1.二元一次方程组应用
2.销售利润计算
3.打折销售问题
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，核心是梳理清楚进价、加价率、折扣、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系列方程组即可求解，计算量小，理清逻辑后不易出错。
【难度系数】
0.7
2.陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品.若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元.
（1）甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？
（2）某班计划购买两种文创产品（两种都需购买），恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案.
（1）甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？
（2）某班计划购买两种文创产品（两种都需购买），恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案.
答案
2.(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元.
(2)该班共有2种购买这两种文创产品的方案：
①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；
②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件.
(2)该班共有2种购买这两种文创产品的方案：
①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；
②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件.
解析
【分析】
第(1)问求两种文创产品的单价，可通过设两个未知数，结合题目给出的两组购进费用的等量关系，列出二元一次方程组求解即可。第(2)问属于方案设计问题，先设两种产品的购买数量，根据总费用列出二元一次不定方程，再结合“两种都需购买”的条件，即数量均为正整数，筛选出所有符合要求的正整数解，即为可行的购买方案。
【解析】
(1) 设甲种文创产品的单价为$x$元，乙种文创产品的单价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 80 \\2x + 3y = 135 \end{cases}$
由第一个方程变形得：$x = 80 - 2y$，将其代入第二个方程：
$2(80 - 2y) + 3y = 135$
展开计算：$160 - 4y + 3y = 135$，解得$y=25$。
把$y=25$代入$x=80-2y$，得$x=80-2×25=30$。
(2) 设购买甲种文创产品$a$件，乙种文创产品$b$件，其中$a、b$均为正整数。
根据总费用为330元可列方程：$30a + 25b = 330$
两边同时除以5化简得：$6a + 5b = 66$，变形为$b=\frac{66-6a}{5}$。
因为$b$为正整数，所以$66-6a$必须是5的正倍数，且$a≥1,b≥1$：
当$a=1$时，$b=\frac{66-6}{5}=12$，符合要求；
当$a=6$时，$b=\frac{66-36}{5}=6$，符合要求；
$a$取其他正整数时，$b$均不是正整数或为非正数，不符合要求。
【答案】
(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元。
(2)该班共有2种购买这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程的整数解
【点评】
本题是典型的方程类实际应用题，既考查了二元一次方程组的基础解法，也考查了结合实际限制条件筛选不定方程解的能力，解题时要注意数量必须为正整数的隐含要求，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
第(1)问求两种文创产品的单价，可通过设两个未知数，结合题目给出的两组购进费用的等量关系，列出二元一次方程组求解即可。第(2)问属于方案设计问题，先设两种产品的购买数量，根据总费用列出二元一次不定方程，再结合“两种都需购买”的条件，即数量均为正整数，筛选出所有符合要求的正整数解，即为可行的购买方案。
【解析】
(1) 设甲种文创产品的单价为$x$元，乙种文创产品的单价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 80 \\2x + 3y = 135 \end{cases}$
由第一个方程变形得：$x = 80 - 2y$，将其代入第二个方程：
$2(80 - 2y) + 3y = 135$
展开计算：$160 - 4y + 3y = 135$，解得$y=25$。
把$y=25$代入$x=80-2y$，得$x=80-2×25=30$。
(2) 设购买甲种文创产品$a$件，乙种文创产品$b$件，其中$a、b$均为正整数。
根据总费用为330元可列方程：$30a + 25b = 330$
两边同时除以5化简得：$6a + 5b = 66$，变形为$b=\frac{66-6a}{5}$。
因为$b$为正整数，所以$66-6a$必须是5的正倍数，且$a≥1,b≥1$：
当$a=1$时，$b=\frac{66-6}{5}=12$，符合要求；
当$a=6$时，$b=\frac{66-36}{5}=6$，符合要求；
$a$取其他正整数时，$b$均不是正整数或为非正数，不符合要求。
【答案】
(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元。
(2)该班共有2种购买这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程的整数解
【点评】
本题是典型的方程类实际应用题，既考查了二元一次方程组的基础解法，也考查了结合实际限制条件筛选不定方程解的能力，解题时要注意数量必须为正整数的隐含要求，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
