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1. 如图,下列条件不能判断直线$a// b$的是 ()
A.$∠1=∠2$
B.$∠2=∠4$
C.$∠4+∠5=180°$
D.$∠1=∠3$
A.$∠1=∠2$
B.$∠2=∠4$
C.$∠4+∠5=180°$
D.$∠1=∠3$
答案
D
解析
【分析】
要判断直线$a// b$，需结合平行线的判定定理，先识别各选项中两个角是由哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断给出的角的关系是否符合平行线的判定条件，逐一分析选项即可得到答案。
【解析】
平行线的常用判定定理为：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
A选项：$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$、$b$被左侧斜截线所截形成的内错角，若$∠ 1=∠ 2$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，不符合题意；
B选项：$∠ 2$和$∠ 4$是直线$a$、$b$被两条斜截线所截形成的同位角，若$∠ 2=∠ 4$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，不符合题意；
C选项：$∠ 4$和$∠ 5$是直线$a$、$b$被右侧斜截线所截形成的同旁内角，若$∠ 4+∠ 5=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$a// b$，不符合题意；
D选项：$∠ 1$和$∠ 3$是两条斜截线被直线$a$所截形成的同位角，若$∠ 1=∠ 3$，只能判定两条斜截线互相平行，无法推出$a// b$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定，三线八角识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线判定定理的应用，解题的关键是准确判断每一组角对应的截线和被截线，结合判定定理逐一验证即可。
【难度系数】
0.8
要判断直线$a// b$，需结合平行线的判定定理，先识别各选项中两个角是由哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断给出的角的关系是否符合平行线的判定条件，逐一分析选项即可得到答案。
【解析】
平行线的常用判定定理为：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
A选项：$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$、$b$被左侧斜截线所截形成的内错角，若$∠ 1=∠ 2$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，不符合题意；
B选项：$∠ 2$和$∠ 4$是直线$a$、$b$被两条斜截线所截形成的同位角，若$∠ 2=∠ 4$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，不符合题意；
C选项：$∠ 4$和$∠ 5$是直线$a$、$b$被右侧斜截线所截形成的同旁内角，若$∠ 4+∠ 5=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$a// b$，不符合题意；
D选项：$∠ 1$和$∠ 3$是两条斜截线被直线$a$所截形成的同位角，若$∠ 1=∠ 3$，只能判定两条斜截线互相平行，无法推出$a// b$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定，三线八角识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线判定定理的应用，解题的关键是准确判断每一组角对应的截线和被截线，结合判定定理逐一验证即可。
【难度系数】
0.8
2. 已知$|2x - y - 5| + (x + y - 1)^2 = 0$，则$y^x$的值为（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案
A
解析
【分析】
绝对值和平方数都具有非负性，二者的取值均大于等于0。当两个非负数的和为0时，每个非负数都必须等于0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的取值后，代入$y^x$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because |2x - y - 5|≥0$，$(x + y - 1)^2≥0$，且$|2x - y - 5| + (x + y - 1)^2 = 0$
$\therefore$ 可列方程组：
$\begin{cases}2x - y - 5 = 0 ①\\x + y - 1 = 0 ②\end{cases}$
①+②消去y得：$3x - 6 = 0$，解得$x=2$
将$x=2$代入②得：$2 + y - 1 = 0$，解得$y=-1$
则$y^x=(-1)^2=1$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，解二元一次方程组，有理数的乘方
【点评】
本题是代数基础常考题型，解题核心是掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质，计算乘方时注意负数的偶次幂为正数即可。
【难度系数】
0.7
绝对值和平方数都具有非负性，二者的取值均大于等于0。当两个非负数的和为0时，每个非负数都必须等于0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的取值后，代入$y^x$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because |2x - y - 5|≥0$，$(x + y - 1)^2≥0$，且$|2x - y - 5| + (x + y - 1)^2 = 0$
$\therefore$ 可列方程组：
$\begin{cases}2x - y - 5 = 0 ①\\x + y - 1 = 0 ②\end{cases}$
①+②消去y得：$3x - 6 = 0$，解得$x=2$
将$x=2$代入②得：$2 + y - 1 = 0$，解得$y=-1$
则$y^x=(-1)^2=1$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，解二元一次方程组，有理数的乘方
【点评】
本题是代数基础常考题型，解题核心是掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质，计算乘方时注意负数的偶次幂为正数即可。
【难度系数】
0.7
3. 下列命题是真命题的是()
A.垂直于同一条直线的两直线垂直
B.相等的角是对顶角
C.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
D.内错角相等
A.垂直于同一条直线的两直线垂直
B.相等的角是对顶角
C.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
D.内错角相等
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是真命题，首先明确真命题是表述正确的命题，解题时需要逐一排查每个选项的说法是否符合学过的几何定理，重点关注定理成立的前提条件是否齐全，排除错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，并非垂直，该说法错误，是假命题；
B. 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角也相等，但不是对顶角，该说法错误，是假命题；
C. 该表述是平行公理的内容：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确，是真命题；
D. 只有当两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，缺少“两直线平行”的前提，内错角不一定相等，该说法错误，是假命题。
【答案】
C
【知识点】
命题真假判断、平行公理、平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对几何基础定理的掌握，解题时要注意各类定理的限定前提，避免因忽略条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是真命题，首先明确真命题是表述正确的命题，解题时需要逐一排查每个选项的说法是否符合学过的几何定理，重点关注定理成立的前提条件是否齐全，排除错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，并非垂直，该说法错误，是假命题；
B. 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角也相等，但不是对顶角，该说法错误，是假命题；
C. 该表述是平行公理的内容：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确，是真命题；
D. 只有当两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，缺少“两直线平行”的前提，内错角不一定相等，该说法错误，是假命题。
【答案】
C
【知识点】
命题真假判断、平行公理、平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对几何基础定理的掌握，解题时要注意各类定理的限定前提，避免因忽略条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=3, \\ cx+dy=4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-5, \\ y=1,\end{cases}$且$\begin{cases}a(3m+n)+b(m+3n)=3, \\ c(3m+n)+d(m+3n)=4,\end{cases}$则$(m+n)^{2024}$的值为( )
A.1
B.-1
C.0
D.2024
A.1
B.-1
C.0
D.2024
答案
A
解析
【分析】
首先对比两个方程组的结构，发现第二个方程组和已知解的第一个方程组形式完全一致。根据二元一次方程组解的定义，可知第二个方程组中a、b的共同乘数$3m+n$对应第一个方程组的解x，c、d的共同乘数$m+3n$对应第一个方程组的解y，由此得到关于m、n的二元一次方程组。不需要单独求m、n的值，将两个方程相加即可直接得到$m+n$的整体值，最后代入乘方计算即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=3 \\ cx+dy=4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-5 \\ y=1\end{cases}$，
对比第二个方程组的结构，可得：
$\begin{cases}3m+n = -5&① \\ m+3n = 1&②\end{cases}$
①+②得：$4m + 4n = -4$，
等式两边同时除以4得：$m + n = -1$，
∴ $(m+n)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，整体思想，有理数乘方
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，以及整体运算的技巧，通过观察方程组结构进行整体代换，避免单独求解未知数，能大幅简化计算过程，是代数中常见的基础技巧题型。
【难度系数】
0.7
首先对比两个方程组的结构，发现第二个方程组和已知解的第一个方程组形式完全一致。根据二元一次方程组解的定义，可知第二个方程组中a、b的共同乘数$3m+n$对应第一个方程组的解x，c、d的共同乘数$m+3n$对应第一个方程组的解y，由此得到关于m、n的二元一次方程组。不需要单独求m、n的值，将两个方程相加即可直接得到$m+n$的整体值，最后代入乘方计算即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=3 \\ cx+dy=4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-5 \\ y=1\end{cases}$，
对比第二个方程组的结构，可得：
$\begin{cases}3m+n = -5&① \\ m+3n = 1&②\end{cases}$
①+②得：$4m + 4n = -4$，
等式两边同时除以4得：$m + n = -1$，
∴ $(m+n)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解，整体思想，有理数乘方
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，以及整体运算的技巧，通过观察方程组结构进行整体代换，避免单独求解未知数，能大幅简化计算过程，是代数中常见的基础技巧题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在三角形ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，将三角形ABC沿BC方向平移3个单位长度，得到三角形DEF，则下列结论：①AB//DE；
②AD//BC；③BF=9；④阴影部分的周长为14。
其中正确结论的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
②AD//BC；③BF=9；④阴影部分的周长为14。
其中正确结论的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；平移后对应线段平行且相等，对应点的连线平行且等于平移距离。接下来结合题中平移3个单位的条件，逐一验证4个结论即可：首先根据对应线段平行判断①，根据对应点连线平行于平移方向判断②，根据线段和差计算BF的长度判断③，最后通过线段等量替换计算阴影部分周长判断④。
【解析】
∵△ABC沿BC方向平移3个单位长度得到△DEF，根据平移的性质：
1. 平移前后对应线段平行且相等，
∴AB=DE=3，且AB//DE，故①结论正确；
2. 平移前后对应点的连线平行于平移方向、长度等于平移距离，
∴AD=BE=CF=3，且AD//BC，故②结论正确；
3. BF = BC + CF = 6 + 3 = 9，故③结论正确；
4. 计算阴影部分周长：AC和DE的交点将AC分为两段，两段长度之和等于AC=5；将DE分为两段，两段长度之和等于DE=3；且EC = BC - BE = 6 - 3 = 3，AD=3。
因此阴影部分周长 = AD + EC + AC + DE = 3 + 3 + 5 + 3 = 14，故④结论正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，线段和差计算，周长计算
【点评】
本题重点考查平移性质的应用，解题的关键是熟练掌握平移后线段的位置和数量关系，计算阴影周长时使用整体等量替换的方法，无需单独计算每条短边的长度，能简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；平移后对应线段平行且相等，对应点的连线平行且等于平移距离。接下来结合题中平移3个单位的条件，逐一验证4个结论即可：首先根据对应线段平行判断①，根据对应点连线平行于平移方向判断②，根据线段和差计算BF的长度判断③，最后通过线段等量替换计算阴影部分周长判断④。
【解析】
∵△ABC沿BC方向平移3个单位长度得到△DEF，根据平移的性质：
1. 平移前后对应线段平行且相等，
∴AB=DE=3，且AB//DE，故①结论正确；
2. 平移前后对应点的连线平行于平移方向、长度等于平移距离，
∴AD=BE=CF=3，且AD//BC，故②结论正确；
3. BF = BC + CF = 6 + 3 = 9，故③结论正确；
4. 计算阴影部分周长：AC和DE的交点将AC分为两段，两段长度之和等于AC=5；将DE分为两段，两段长度之和等于DE=3；且EC = BC - BE = 6 - 3 = 3，AD=3。
因此阴影部分周长 = AD + EC + AC + DE = 3 + 3 + 5 + 3 = 14，故④结论正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，线段和差计算，周长计算
【点评】
本题重点考查平移性质的应用，解题的关键是熟练掌握平移后线段的位置和数量关系，计算阴影周长时使用整体等量替换的方法，无需单独计算每条短边的长度，能简化计算过程。
【难度系数】
0.7
6. 已知8的立方根是x，16的算术平方根是y，则$x^y=$。
答案
解：
∵8的立方根是x，
∴$x=\sqrt[3]{8}=2$，
∵16的算术平方根是y，
∴$y=\sqrt{16}=4$，
∴$x^y=2^4=16$。
∵8的立方根是x，
∴$x=\sqrt[3]{8}=2$，
∵16的算术平方根是y，
∴$y=\sqrt{16}=4$，
∴$x^y=2^4=16$。
解析
【分析】
要计算$x^y$的值，需先分别求出x和y的取值。第一步根据立方根的定义求x：如果一个数的立方等于a，这个数就是a的立方根，找到立方等于8的数即可得到x；第二步根据算术平方根的定义求y：非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根，找到平方等于16的非负正数即可得到y；最后将x、y的取值代入$x^y$，按照乘方运算规则计算就能得到结果。
【解析】
∵8的立方根是x，
∴$x=\sqrt[3]{8}=2$，
∵16的算术平方根是y，
∴$y=\sqrt{16}=4$，
∴$x^y=2^4=16$。
【答案】
16
【知识点】
立方根定义，算术平方根定义，乘方运算
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，解题关键是准确区分立方根、算术平方根的概念，避免概念混淆出现计算错误，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
要计算$x^y$的值，需先分别求出x和y的取值。第一步根据立方根的定义求x：如果一个数的立方等于a，这个数就是a的立方根，找到立方等于8的数即可得到x；第二步根据算术平方根的定义求y：非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根，找到平方等于16的非负正数即可得到y；最后将x、y的取值代入$x^y$，按照乘方运算规则计算就能得到结果。
【解析】
∵8的立方根是x，
∴$x=\sqrt[3]{8}=2$，
∵16的算术平方根是y，
∴$y=\sqrt{16}=4$，
∴$x^y=2^4=16$。
【答案】
16
【知识点】
立方根定义，算术平方根定义，乘方运算
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，解题关键是准确区分立方根、算术平方根的概念，避免概念混淆出现计算错误，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
7. 为了解学校七年级学生到校的方式,随机抽取了该年级50名学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成了如图所示的直方图,据此估计,该年级500名学生中“步行”到校的人数为。
答案
$\boldsymbol{150}$
解析
【分析】
这是一道用样本特征估计总体特征的统计题，解题思路如下：首先从条形统计图中读取抽样调查的50名学生里步行到校的人数，计算出步行人数在样本中所占的比例，再用该年级总人数乘这个比例，就能估计出全年级步行到校的总人数。
【解析】
解：首先从统计图可知，抽取的50名学生中，步行到校的有15人，
则步行人数占抽样总人数的比例为：$\frac{15}{50}=0.3$
因此估计该年级500名学生中步行到校的人数为：$500×0.3=150$
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
条形统计图，用样本估计总体，频率计算
【点评】
本题属于统计类基础题，重点考查从条形统计图提取有效信息的能力，以及用样本数据估计总体情况的统计思想，计算量小，是统计部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
这是一道用样本特征估计总体特征的统计题，解题思路如下：首先从条形统计图中读取抽样调查的50名学生里步行到校的人数，计算出步行人数在样本中所占的比例，再用该年级总人数乘这个比例，就能估计出全年级步行到校的总人数。
【解析】
解：首先从统计图可知，抽取的50名学生中，步行到校的有15人，
则步行人数占抽样总人数的比例为：$\frac{15}{50}=0.3$
因此估计该年级500名学生中步行到校的人数为：$500×0.3=150$
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
条形统计图，用样本估计总体，频率计算
【点评】
本题属于统计类基础题，重点考查从条形统计图提取有效信息的能力，以及用样本数据估计总体情况的统计思想，计算量小，是统计部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
8. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为$(2-m,5)$，点Q的坐标为$(8,2-3m)$，且$PQ// x$轴，则$PQ=$.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先回忆平行于x轴的直线上的点的坐标特征：所有点的纵坐标相等，据此可以列出关于m的方程求出m的值；其次，平行于x轴的两点之间的距离等于两点横坐标之差的绝对值，将求出的m代入得到P、Q的横坐标，即可计算出PQ的长度。
【解析】
∵ $PQ// x$轴
∴ 点P和点Q的纵坐标相等，即：
$5 = 2 - 3m$
解方程得：
$3m = 2 - 5$
$3m = -3$
$m = -1$
将$m=-1$代入两点横坐标：
点P的横坐标为$2 - m = 2 - (-1) = 3$，点Q的横坐标为8
∵ 平行于x轴的两点距离等于横坐标差的绝对值
∴ $PQ = |8 - 3| = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 坐标系内两点距离计算
【点评】
本题重点考察平面直角坐标系中平行于坐标轴的点的坐标性质，解题关键是先根据直线平行的坐标特征求出参数m的值，再计算两点距离，是坐标系基础类题目，熟练掌握相关坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：首先回忆平行于x轴的直线上的点的坐标特征：所有点的纵坐标相等，据此可以列出关于m的方程求出m的值；其次，平行于x轴的两点之间的距离等于两点横坐标之差的绝对值，将求出的m代入得到P、Q的横坐标，即可计算出PQ的长度。
【解析】
∵ $PQ// x$轴
∴ 点P和点Q的纵坐标相等，即：
$5 = 2 - 3m$
解方程得：
$3m = 2 - 5$
$3m = -3$
$m = -1$
将$m=-1$代入两点横坐标：
点P的横坐标为$2 - m = 2 - (-1) = 3$，点Q的横坐标为8
∵ 平行于x轴的两点距离等于横坐标差的绝对值
∴ $PQ = |8 - 3| = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 坐标系内两点距离计算
【点评】
本题重点考察平面直角坐标系中平行于坐标轴的点的坐标性质，解题关键是先根据直线平行的坐标特征求出参数m的值，再计算两点距离，是坐标系基础类题目，熟练掌握相关坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 已知不等式组$\begin{cases}x+2＞m+n, \\ x-1＜m-1\end{cases}$的解集为$-1＜x＜2$，则$n^m$的值为 ______ .
答案
解：
解不等式 $x + 2 ＞ m + n$，得 $x ＞ m + n - 2$，
解不等式 $x - 1 ＜ m - 1$，得 $x ＜ m$。
∵ 不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 2$，
∴ $\begin{cases} m = 2 \\ m + n - 2 = -1 \end{cases}$
将 $m=2$ 代入 $m + n - 2 = -1$，得 $2 + n - 2 = -1$，
解得 $n = -1$。
∴ $n^m = (-1)^2 = 1$。
解不等式 $x + 2 ＞ m + n$，得 $x ＞ m + n - 2$，
解不等式 $x - 1 ＜ m - 1$，得 $x ＜ m$。
∵ 不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 2$，
∴ $\begin{cases} m = 2 \\ m + n - 2 = -1 \end{cases}$
将 $m=2$ 代入 $m + n - 2 = -1$，得 $2 + n - 2 = -1$，
解得 $n = -1$。
∴ $n^m = (-1)^2 = 1$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要分别解出不等式组中两个不等式的解集，用含参数m、n的式子表示解集；再根据不等式组的解集是两个解集的公共部分，将得到的含参数的解集和题目给出的已知解集$-1＜x＜2$对应相等，就能得到关于m和n的方程组，解方程组求出m、n的值，最后代入$n^m$计算出结果即可。
【解析】
解：解不等式 $x + 2 ＞ m + n$，移项得 $x ＞ m + n - 2$，
解不等式 $x - 1 ＜ m - 1$，移项得 $x ＜ m$。
∵ 不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 2$，
∴ 可得方程组 $\begin{cases} m = 2 \\ m + n - 2 = -1 \end{cases}$
把 $m=2$ 代入 $m + n - 2 = -1$，得 $2 + n - 2 = -1$，
解得 $n = -1$。
∴ $n^m = (-1)^2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的解集；乘方运算
【点评】
本题是不等式章节的常规题型，重点考查解一元一次不等式组的技能，以及利用已知解集反推参数的逆向思维能力，解题的核心是准确用参数表示不等式的解集，再和已知解集对应建立方程求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要分别解出不等式组中两个不等式的解集，用含参数m、n的式子表示解集；再根据不等式组的解集是两个解集的公共部分，将得到的含参数的解集和题目给出的已知解集$-1＜x＜2$对应相等，就能得到关于m和n的方程组，解方程组求出m、n的值，最后代入$n^m$计算出结果即可。
【解析】
解：解不等式 $x + 2 ＞ m + n$，移项得 $x ＞ m + n - 2$，
解不等式 $x - 1 ＜ m - 1$，移项得 $x ＜ m$。
∵ 不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 2$，
∴ 可得方程组 $\begin{cases} m = 2 \\ m + n - 2 = -1 \end{cases}$
把 $m=2$ 代入 $m + n - 2 = -1$，得 $2 + n - 2 = -1$，
解得 $n = -1$。
∴ $n^m = (-1)^2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的解集；乘方运算
【点评】
本题是不等式章节的常规题型，重点考查解一元一次不等式组的技能，以及利用已知解集反推参数的逆向思维能力，解题的核心是准确用参数表示不等式的解集，再和已知解集对应建立方程求解。
【难度系数】
0.7
10. 对于一个四位自然数N，它的各数位上的数字互不相等且均不为0，将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，将它的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，若$A+B=100$，则称该四位数N为“满分数”。如四位数2674，因为$26+74=100$，所以2674是“满分数”；四位数4367，因为$43+67=110≠100$，所以4367不是“满分数”，则最小的“满分数”N为
答案
解：设四位自然数N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a,b,c,d均为1到9的互不相等的正整数。
由题意得，两位数A=10a+b，两位数B=10c+d，且A+B=100，
即：
$10a + b + 10c + d = 100$
整理得：
$10(a+c) + (b+d) = 100$
因为b和d都是1到9的正整数，所以$10 ≤ b+d ≤ 18$，因此$b+d=10$，代入上式得$10(a+c)=90$，即$a+c=9$。
要得到最小的四位自然数N，首先千位a取最小的正整数1，此时$c=9-a=8$。
接下来取尽可能小的百位数字b：
1. 若b=1，与a=1重复，不符合要求；
2. 若b=2，$d=10-b=8$，与c=8重复，不符合要求；
3. 若b=3，$d=10-b=7$，此时a=1，b=3，c=8，d=7，四个数字互不相等且均不为0，符合所有条件。
因此对应的四位数$N=1×1000 + 3×100 + 8×10 +7 = 1387$。
答：最小的“满分数”N为1387。
由题意得，两位数A=10a+b，两位数B=10c+d，且A+B=100，
即：
$10a + b + 10c + d = 100$
整理得：
$10(a+c) + (b+d) = 100$
因为b和d都是1到9的正整数，所以$10 ≤ b+d ≤ 18$，因此$b+d=10$，代入上式得$10(a+c)=90$，即$a+c=9$。
要得到最小的四位自然数N，首先千位a取最小的正整数1，此时$c=9-a=8$。
接下来取尽可能小的百位数字b：
1. 若b=1，与a=1重复，不符合要求；
2. 若b=2，$d=10-b=8$，与c=8重复，不符合要求；
3. 若b=3，$d=10-b=7$，此时a=1，b=3，c=8，d=7，四个数字互不相等且均不为0，符合所有条件。
因此对应的四位数$N=1×1000 + 3×100 + 8×10 +7 = 1387$。
答：最小的“满分数”N为1387。
解析
【分析】
要找到最小的“满分数”，首先明确“满分数”的核心条件：一是四位数各数位数字互不相等且均不为0，用户APP。要让四位数最小，遵循高位数字越小越好的原则，先推导A+B=100的数位关系，再从高位到低位依次确定符合条件的最小数字。
【解析】
设四位自然数N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a、b、c、d均为1~9的互不相等的正整数。
由题意得：两位数A=10a+b，两位数B=10c+d，且A+B=100，代入得：
$10a + b + 10c + d = 100$，整理得$10(a+c) + (b+d) = 100$。
因为b和d都是1~9的正整数，所以$2≤b+d≤18$，因此要满足上述等式只能$b+d=10$，代入得$10(a+c)=90$，即$a+c=9$。
按照高位优先取最小数字原则：
1. 千位a取最小正整数1，此时$c=9-a=8$；
2. 接下来取尽可能小的百位数字b：
若b=1，与a=1重复，不符合要求；
若b=2，$d=10-b=8$，与c=8重复，不符合要求；
若b=3，$d=10-b=7$，此时a=1、b=3、c=8、d=7，四个数字互不相等且均不为0，符合所有条件。
因此对应的四位数$N=1×1000 + 3×100 + 8×10 +7 = 1387$。
【答案】
1387
【知识点】
新定义运算，整数数位表示，整数大小比较
【点评】
本题属于新定义类数字探究题，需要先准确理解“满分数”的定义，推导得出a+c=9、b+d=10的数位关系后，按照高位优先取最小值的原则逐步确定各数位数字，考查学生的逻辑推理和数字组合能力。
【难度系数】
0.7
要找到最小的“满分数”，首先明确“满分数”的核心条件：一是四位数各数位数字互不相等且均不为0，用户APP。要让四位数最小，遵循高位数字越小越好的原则，先推导A+B=100的数位关系，再从高位到低位依次确定符合条件的最小数字。
【解析】
设四位自然数N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a、b、c、d均为1~9的互不相等的正整数。
由题意得：两位数A=10a+b，两位数B=10c+d，且A+B=100，代入得：
$10a + b + 10c + d = 100$，整理得$10(a+c) + (b+d) = 100$。
因为b和d都是1~9的正整数，所以$2≤b+d≤18$，因此要满足上述等式只能$b+d=10$，代入得$10(a+c)=90$，即$a+c=9$。
按照高位优先取最小数字原则：
1. 千位a取最小正整数1，此时$c=9-a=8$；
2. 接下来取尽可能小的百位数字b：
若b=1，与a=1重复，不符合要求；
若b=2，$d=10-b=8$，与c=8重复，不符合要求；
若b=3，$d=10-b=7$，此时a=1、b=3、c=8、d=7，四个数字互不相等且均不为0，符合所有条件。
因此对应的四位数$N=1×1000 + 3×100 + 8×10 +7 = 1387$。
【答案】
1387
【知识点】
新定义运算，整数数位表示，整数大小比较
【点评】
本题属于新定义类数字探究题，需要先准确理解“满分数”的定义，推导得出a+c=9、b+d=10的数位关系后，按照高位优先取最小值的原则逐步确定各数位数字，考查学生的逻辑推理和数字组合能力。
【难度系数】
0.7
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯,约公元前580年—公元前500年,古希腊伟大的数学家、哲学家.他出生在爱琴海中的萨摩斯岛的贵族家庭,曾被誉为现代数学之父.毕达哥拉斯学派也称“南意大利学派”,是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织,由毕达哥拉斯创立.该学派产生于公元前6世纪末,公元前5世纪被迫解散,其成员大多是数学家、天文学家、音乐家.它是西方美学史上最早探讨美的本
;若把一个“满分数”N的千位数字与
个位数字交换后得到的新数记为N', $\frac{N-N'}{111}$能
被5整除,则满足条件的N的最大值为.
毕达哥拉斯,约公元前580年—公元前500年,古希腊伟大的数学家、哲学家.他出生在爱琴海中的萨摩斯岛的贵族家庭,曾被誉为现代数学之父.毕达哥拉斯学派也称“南意大利学派”,是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织,由毕达哥拉斯创立.该学派产生于公元前6世纪末,公元前5世纪被迫解散,其成员大多是数学家、天文学家、音乐家.它是西方美学史上最早探讨美的本
;若把一个“满分数”N的千位数字与
个位数字交换后得到的新数记为N', $\frac{N-N'}{111}$能
被5整除,则满足条件的N的最大值为.
答案
解：设四位数“满分数”N的千位、百位、十位、个位数字分别为a、b、c、d，其中a≥1，a,b,c,d均为0~9的整数，由“满分数”定义得a+b+c+d=10。
要得到最小的“满分数”，千位a取最小值1，百位b取最小值0，十位c取最小值0，此时d=10-1-0-0=9，因此最小的“满分数”是1009。
由题意得：
$N=1000a+100b+10c+d$，$N'=1000d+100b+10c+a$
$N-N'=999a-999d=999(a-d)$
$\frac{N-N'}{111}=9(a-d)$
因为$\frac{N-N'}{111}$能被5整除，且9与5互质，所以$a-d$是5的倍数。
要得到N的最大值，需a尽可能大：
若a=9，则d=9-5=4，$a+d=13＞10$，不符合$a+b+c+d=10$，舍去；
若a=8，则d=8-5=3，$a+d=11＞10$，不符合要求，舍去；
若a=7，则d=7-5=2，$a+d=9$，此时$b+c=1$，取b=1，c=0时N最大，为7102，符合所有条件。
最终两个空的结果依次为：$\boldsymbol{1009}$；$\boldsymbol{7102}$。
要得到最小的“满分数”，千位a取最小值1，百位b取最小值0，十位c取最小值0，此时d=10-1-0-0=9，因此最小的“满分数”是1009。
由题意得：
$N=1000a+100b+10c+d$，$N'=1000d+100b+10c+a$
$N-N'=999a-999d=999(a-d)$
$\frac{N-N'}{111}=9(a-d)$
因为$\frac{N-N'}{111}$能被5整除，且9与5互质，所以$a-d$是5的倍数。
要得到N的最大值，需a尽可能大：
若a=9，则d=9-5=4，$a+d=13＞10$，不符合$a+b+c+d=10$，舍去；
若a=8，则d=8-5=3，$a+d=11＞10$，不符合要求，舍去；
若a=7，则d=7-5=2，$a+d=9$，此时$b+c=1$，取b=1，c=0时N最大，为7102，符合所有条件。
最终两个空的结果依次为：$\boldsymbol{1009}$；$\boldsymbol{7102}$。
解析
【分析】
首先明确“满分数”是指四个数位数字之和为10的四位数。求最小满分数时，根据数位相同的数高位越小数值越小的规则，优先把千位、百位、十位取到最小合法值，再计算个位数字即可。求满足第二个条件的最大N时，先将四位数用各数位字母表示，推导N与交换千位个位后的新数N'的差，化简后结合能被5整除的条件得到千位和个位数字的数量关系，再结合满分数的数位和要求，优先让千位尽可能大，依次确定其余数位数字即可得到最大值。
【解析】
设四位数“满分数”N的千位、百位、十位、个位数字分别为a、b、c、d，其中a为1~9的整数，b、c、d为0~9的整数，根据“满分数”定义可得：$a+b+c+d=10$。
1. 求最小“满分数”：
要使四位数最小，高位数字应尽可能小，千位a最小取1，百位b、十位c最小取0，此时个位$d=10-1-0-0=9$，因此最小的“满分数”为1009。
2. 求满足条件的最大N：
原数$N=1000a+100b+10c+d$，交换千位和个位后的新数$N'=1000d+100b+10c+a$
计算差值：$N-N'=1000a+d-1000d-a=999(a-d)$
则$\frac{N-N'}{111}=\frac{999(a-d)}{111}=9(a-d)$
已知$\frac{N-N'}{111}$能被5整除，9和5互质，因此$a-d$是5的倍数。
要让N最大，优先让千位a尽可能大：
若$a=9$，则$d=9-5=4$，此时$a+d=13＞10$，不符合数位和为10的要求，舍去；
若$a=8$，则$d=8-5=3$，此时$a+d=11＞10$，不符合要求，舍去；
若$a=7$，则$d=7-5=2$，此时$a+d=9$，$b+c=10-9=1$，要让N最大，百位尽可能大，取$b=1$，$c=0$，得到N=7102，符合所有条件。
【答案】
$\boldsymbol{1009}$；$\boldsymbol{7102}$
【知识点】
新定义运算，整数的数位表示，整除的性质
【点评】
本题结合新定义考查整数的性质应用，解题核心是准确理解新定义要求，熟练掌握多位数的数位表示方法，求最值时优先确定高位数字可大幅简化推导过程。
【难度系数】
0.6
首先明确“满分数”是指四个数位数字之和为10的四位数。求最小满分数时，根据数位相同的数高位越小数值越小的规则，优先把千位、百位、十位取到最小合法值，再计算个位数字即可。求满足第二个条件的最大N时，先将四位数用各数位字母表示，推导N与交换千位个位后的新数N'的差，化简后结合能被5整除的条件得到千位和个位数字的数量关系，再结合满分数的数位和要求，优先让千位尽可能大，依次确定其余数位数字即可得到最大值。
【解析】
设四位数“满分数”N的千位、百位、十位、个位数字分别为a、b、c、d，其中a为1~9的整数，b、c、d为0~9的整数，根据“满分数”定义可得：$a+b+c+d=10$。
1. 求最小“满分数”：
要使四位数最小，高位数字应尽可能小，千位a最小取1，百位b、十位c最小取0，此时个位$d=10-1-0-0=9$，因此最小的“满分数”为1009。
2. 求满足条件的最大N：
原数$N=1000a+100b+10c+d$，交换千位和个位后的新数$N'=1000d+100b+10c+a$
计算差值：$N-N'=1000a+d-1000d-a=999(a-d)$
则$\frac{N-N'}{111}=\frac{999(a-d)}{111}=9(a-d)$
已知$\frac{N-N'}{111}$能被5整除，9和5互质，因此$a-d$是5的倍数。
要让N最大，优先让千位a尽可能大：
若$a=9$，则$d=9-5=4$，此时$a+d=13＞10$，不符合数位和为10的要求，舍去；
若$a=8$，则$d=8-5=3$，此时$a+d=11＞10$，不符合要求，舍去；
若$a=7$，则$d=7-5=2$，此时$a+d=9$，$b+c=10-9=1$，要让N最大，百位尽可能大，取$b=1$，$c=0$，得到N=7102，符合所有条件。
【答案】
$\boldsymbol{1009}$；$\boldsymbol{7102}$
【知识点】
新定义运算，整数的数位表示，整除的性质
【点评】
本题结合新定义考查整数的性质应用，解题核心是准确理解新定义要求，熟练掌握多位数的数位表示方法，求最值时优先确定高位数字可大幅简化推导过程。
【难度系数】
0.6
