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11. 如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC中,A,B,C的坐标分别为A(-3,1),B(-2,-3),C(-1,0),将这个三角形先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到三角形A'B'C'.
(1)在图中画出三角形A'B'C';
(2)写出点A',B',C'的坐标;
(3)在y轴上是否存在点M,使得三角形MA'B'的面积为4? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)在图中画出三角形A'B'C';
(2)写出点A',B',C'的坐标;
(3)在y轴上是否存在点M,使得三角形MA'B'的面积为4? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案
解：
(1) 分别将点A、B、C向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，即可画出△A'B'C'。
(2) 根据平移规律“横坐标右移加，纵坐标上移加”，计算得：
A'的坐标为$(0,3)$，
B'的坐标为$(1,-1)$，
C'的坐标为$(2,2)$。
(3) 存在。
设y轴上点M的坐标为$(0,m)$，
∵$A'(0,3)$，点M、A'都在y轴上，
∴线段$A'M$的长度为$|m-3|$，
点$B'$到y轴的距离为1，即△$MA'B'$中$A'M$边上的高为1，
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |m-3| × 1 = 4$
化简得$|m-3|=8$，
解得$m=11$或$m=-5$。
∴点M的坐标为$(0,11)$或$(0,-5)$。
(1) 分别将点A、B、C向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到对应点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，即可画出△A'B'C'。
(2) 根据平移规律“横坐标右移加，纵坐标上移加”，计算得：
A'的坐标为$(0,3)$，
B'的坐标为$(1,-1)$，
C'的坐标为$(2,2)$。
(3) 存在。
设y轴上点M的坐标为$(0,m)$，
∵$A'(0,3)$，点M、A'都在y轴上，
∴线段$A'M$的长度为$|m-3|$，
点$B'$到y轴的距离为1，即△$MA'B'$中$A'M$边上的高为1，
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |m-3| × 1 = 4$
化简得$|m-3|=8$，
解得$m=11$或$m=-5$。
∴点M的坐标为$(0,11)$或$(0,-5)$。
解析
【分析】
(1) 平移画图时先明确平移规则：向右平移3个单位则各点横坐标加3，向上平移2个单位则各点纵坐标加2，先算出三个顶点平移后的坐标，再在坐标系中标出对应点，顺次连接就能得到平移后的三角形。
(2) 求平移后点的坐标直接套用平移规律“横坐标右移加，纵坐标上移加”，分别计算三个点平移后的横、纵坐标即可。
(3) 探究y轴上的M点时，先设M坐标为(0,m)，观察到A'也在y轴上，因此A'M的长度为两点纵坐标差的绝对值，以A'M为底时，△MA'B'的高就是B'到y轴的距离，再根据面积公式列方程求解，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 先计算A、B、C三点平移后的坐标，在坐标系中找到对应点A'、B'、C'，顺次连接三点即可画出△A'B'C'。
(2) 根据平移规律计算：
A点平移后坐标：横坐标$-3+3=0$，纵坐标$1+2=3$，即$A'(0,3)$；
B点平移后坐标：横坐标$-2+3=1$，纵坐标$-3+2=-1$，即$B'(1,-1)$；
C点平移后坐标：横坐标$-1+3=2$，纵坐标$0+2=2$，即$C'(2,2)$。
(3) 存在满足条件的点M。
设y轴上M的坐标为$(0,m)$，
∵$A'(0,3)$，则M、A'均在y轴上，线段$A'M$的长度为$|m-3|$，
点$B'(1,-1)$到y轴的距离为1，即△$MA'B'$中$A'M$边上的高为1，
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |m-3| × 1 = 4$
化简得$|m-3|=8$，
即$m-3=8$或$m-3=-8$，
解得$m=11$或$m=-5$。
【答案】
(1) 画图见解析；
(2) $A'(0,3)$，$B'(1,-1)$，$C'(2,2)$；
(3) 存在，点M的坐标为$(0,11)$或$(0,-5)$。
【知识点】
坐标平移规律，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的平移、坐标计算和三角形面积的应用，解题核心是熟练掌握点平移的坐标变化规则，求解带绝对值的方程时注意不要漏解，属于坐标系应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 平移画图时先明确平移规则：向右平移3个单位则各点横坐标加3，向上平移2个单位则各点纵坐标加2，先算出三个顶点平移后的坐标，再在坐标系中标出对应点，顺次连接就能得到平移后的三角形。
(2) 求平移后点的坐标直接套用平移规律“横坐标右移加，纵坐标上移加”，分别计算三个点平移后的横、纵坐标即可。
(3) 探究y轴上的M点时，先设M坐标为(0,m)，观察到A'也在y轴上，因此A'M的长度为两点纵坐标差的绝对值，以A'M为底时，△MA'B'的高就是B'到y轴的距离，再根据面积公式列方程求解，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 先计算A、B、C三点平移后的坐标，在坐标系中找到对应点A'、B'、C'，顺次连接三点即可画出△A'B'C'。
(2) 根据平移规律计算：
A点平移后坐标：横坐标$-3+3=0$，纵坐标$1+2=3$，即$A'(0,3)$；
B点平移后坐标：横坐标$-2+3=1$，纵坐标$-3+2=-1$，即$B'(1,-1)$；
C点平移后坐标：横坐标$-1+3=2$，纵坐标$0+2=2$，即$C'(2,2)$。
(3) 存在满足条件的点M。
设y轴上M的坐标为$(0,m)$，
∵$A'(0,3)$，则M、A'均在y轴上，线段$A'M$的长度为$|m-3|$，
点$B'(1,-1)$到y轴的距离为1，即△$MA'B'$中$A'M$边上的高为1，
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |m-3| × 1 = 4$
化简得$|m-3|=8$，
即$m-3=8$或$m-3=-8$，
解得$m=11$或$m=-5$。
【答案】
(1) 画图见解析；
(2) $A'(0,3)$，$B'(1,-1)$，$C'(2,2)$；
(3) 存在，点M的坐标为$(0,11)$或$(0,-5)$。
【知识点】
坐标平移规律，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的平移、坐标计算和三角形面积的应用，解题核心是熟练掌握点平移的坐标变化规则，求解带绝对值的方程时注意不要漏解，属于坐标系应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
12. 小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签和特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人。已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元.
(1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元；
(2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案；
(3)义卖刚开始的半小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a满足$40≤a≤50$，则a的值可能为多少？说明理由.
(1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元；
(2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案；
(3)义卖刚开始的半小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a满足$40≤a≤50$，则a的值可能为多少？说明理由.
答案
解：
(1) 设每个特色文化书签的售价为$x$元，则每支特色中性笔的售价为$(x+1)$元。
根据题意列方程：
$20(x-1) + 30[(x+1)-1.5] = 90$
$20x - 20 + 30x - 15 = 90$
$50x = 125$
解得$x=2.5$，则$x+1=3.5$。
答：每个特色文化书签售价为2.5元，每支特色中性笔售价为3.5元。
(2) 设制作特色文化书签$m$个，则制作特色中性笔$(900 - m)$支。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m + 1.5(900 - m) ≤ 1200 \\(2.5 - 1)m + (3.5 - 1.5)(900 - m) ≥ 1648\end{cases}$
解第一个不等式：
$m + 1350 - 1.5m ≤ 1200$
$-0.5m ≤ -150$
$m ≥ 300$
解第二个不等式：
$1.5m + 1800 - 2m ≥ 1648$
$-0.5m ≥ -152$
$m ≤ 304$
∵ $m$为正整数，∴ $m$可取300、301、302、303、304，对应中性笔数量为600、599、598、597、596。
共有5种制作方案：
方案1：制作特色文化书签300个，特色中性笔600支；
方案2：制作特色文化书签301个，特色中性笔599支；
方案3：制作特色文化书签302个，特色中性笔598支；
方案4：制作特色文化书签303个，特色中性笔597支；
方案5：制作特色文化书签304个，特色中性笔596支。
(3) 设售出特色中性笔$b$支，根据题意得：
$(2.5-1)a + (3.5-1.5)b = 150$
整理得：$1.5a + 2b = 150$，两边同乘2得：$3a + 4b = 300$，变形得$b=\frac{300-3a}{4}$。
∵ $b$为非负整数，∴ $300-3a$必须能被4整除，又300是4的倍数，3和4互质，因此$a$必须是4的倍数。
已知$40 ≤ a ≤ 50$，满足条件的正整数$a$为40、44、48。
答：$a$的值可能为40、44、48。
(1) 设每个特色文化书签的售价为$x$元，则每支特色中性笔的售价为$(x+1)$元。
根据题意列方程：
$20(x-1) + 30[(x+1)-1.5] = 90$
$20x - 20 + 30x - 15 = 90$
$50x = 125$
解得$x=2.5$，则$x+1=3.5$。
答：每个特色文化书签售价为2.5元，每支特色中性笔售价为3.5元。
(2) 设制作特色文化书签$m$个，则制作特色中性笔$(900 - m)$支。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m + 1.5(900 - m) ≤ 1200 \\(2.5 - 1)m + (3.5 - 1.5)(900 - m) ≥ 1648\end{cases}$
解第一个不等式：
$m + 1350 - 1.5m ≤ 1200$
$-0.5m ≤ -150$
$m ≥ 300$
解第二个不等式：
$1.5m + 1800 - 2m ≥ 1648$
$-0.5m ≥ -152$
$m ≤ 304$
∵ $m$为正整数，∴ $m$可取300、301、302、303、304，对应中性笔数量为600、599、598、597、596。
共有5种制作方案：
方案1：制作特色文化书签300个，特色中性笔600支；
方案2：制作特色文化书签301个，特色中性笔599支；
方案3：制作特色文化书签302个，特色中性笔598支；
方案4：制作特色文化书签303个，特色中性笔597支；
方案5：制作特色文化书签304个，特色中性笔596支。
(3) 设售出特色中性笔$b$支，根据题意得：
$(2.5-1)a + (3.5-1.5)b = 150$
整理得：$1.5a + 2b = 150$，两边同乘2得：$3a + 4b = 300$，变形得$b=\frac{300-3a}{4}$。
∵ $b$为非负整数，∴ $300-3a$必须能被4整除，又300是4的倍数，3和4互质，因此$a$必须是4的倍数。
已知$40 ≤ a ≤ 50$，满足条件的正整数$a$为40、44、48。
答：$a$的值可能为40、44、48。
解析
【分析】
(1) 已知每个特色文化书签比特色中性笔售价少1元，可设书签售价为x元，则中性笔售价为(x+1)元。根据“单个商品利润×销售数量=总利润”，结合卖出20个书签和30支中性笔总利润90元的等量关系列方程，求解即可得到两种商品的售价。
(2) 已知两种商品制作总数量为900，设制作书签m个，则中性笔为(900-m)支。根据“总成本不超过1200元”“总利润不少于1648元”两个限制条件，分别列不等式组成不等式组，解出m的取值范围，再结合m为正整数的实际要求，得到所有符合条件的m值，对应得出制作方案。
(3) 设售出中性笔b支，根据半小时总利润150元列关于a、b的方程，整理后用含a的式子表示b。由于b为非负整数，可推出300-3a能被4整除，再结合a的取值范围40≤a≤50，筛选出符合条件的a值即可。
【解析】
(1) 设每个特色文化书签的售价为$x$元，则每支特色中性笔的售价为$(x+1)$元。
根据题意列方程：
$20(x-1) + 30[(x+1)-1.5] = 90$
化简得：$20x - 20 + 30x - 15 = 90$
合并同类项得：$50x = 125$
解得$x=2.5$，则$x+1=2.5+1=3.5$。
(2) 设制作特色文化书签$m$个，则制作特色中性笔$(900 - m)$支。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m + 1.5(900 - m) ≤ 1200 \\(2.5 - 1)m + (3.5 - 1.5)(900 - m) ≥ 1648\end{cases}$
解第一个不等式：
$m + 1350 - 1.5m ≤ 1200$
$-0.5m ≤ -150$
解得$m ≥ 300$
解第二个不等式：
$1.5m + 1800 - 2m ≥ 1648$
$-0.5m ≥ -152$
解得$m ≤ 304$
∵ $m$为正整数，
∴ $m$可取300、301、302、303、304，对应中性笔数量为600、599、598、597、596。
共5种制作方案：
方案1：制作特色文化书签300个，特色中性笔600支；
方案2：制作特色文化书签301个，特色中性笔599支；
方案3：制作特色文化书签302个，特色中性笔598支；
方案4：制作特色文化书签303个，特色中性笔597支；
方案5：制作特色文化书签304个，特色中性笔596支。
(3) 设售出特色中性笔$b$支，根据题意得：
$(2.5-1)a + (3.5-1.5)b = 150$
整理得：$1.5a + 2b = 150$，两边同乘2得$3a + 4b = 300$，变形得$b=\frac{300-3a}{4}$。
∵ $b$为非负整数，
∴ $300-3a$必须能被4整除，又300是4的倍数，3和4互质，因此$a$必须是4的倍数。
已知$40 ≤ a ≤ 50$，满足条件的正整数$a$为40、44、48。
【答案】
(1) 每个特色文化书签售价为2.5元，每支特色中性笔售价为3.5元；
(2) 共有5种制作方案：①制作特色文化书签300个，特色中性笔600支；②制作特色文化书签301个，特色中性笔599支；③制作特色文化书签302个，特色中性笔598支；④制作特色文化书签303个，特色中性笔597支；⑤制作特色文化书签304个，特色中性笔596支；
(3) $a$的值可能为40、44、48。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式组应用；二元一次方程整数解
【点评】
本题结合实际义卖场景考查方程与不等式的综合运用，解题时需要准确梳理题干中的等量关系与不等关系，同时注意实际问题中商品数量需为非负整数的隐含要求，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 已知每个特色文化书签比特色中性笔售价少1元，可设书签售价为x元，则中性笔售价为(x+1)元。根据“单个商品利润×销售数量=总利润”，结合卖出20个书签和30支中性笔总利润90元的等量关系列方程，求解即可得到两种商品的售价。
(2) 已知两种商品制作总数量为900，设制作书签m个，则中性笔为(900-m)支。根据“总成本不超过1200元”“总利润不少于1648元”两个限制条件，分别列不等式组成不等式组，解出m的取值范围，再结合m为正整数的实际要求，得到所有符合条件的m值，对应得出制作方案。
(3) 设售出中性笔b支，根据半小时总利润150元列关于a、b的方程，整理后用含a的式子表示b。由于b为非负整数，可推出300-3a能被4整除，再结合a的取值范围40≤a≤50，筛选出符合条件的a值即可。
【解析】
(1) 设每个特色文化书签的售价为$x$元，则每支特色中性笔的售价为$(x+1)$元。
根据题意列方程：
$20(x-1) + 30[(x+1)-1.5] = 90$
化简得：$20x - 20 + 30x - 15 = 90$
合并同类项得：$50x = 125$
解得$x=2.5$，则$x+1=2.5+1=3.5$。
(2) 设制作特色文化书签$m$个，则制作特色中性笔$(900 - m)$支。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m + 1.5(900 - m) ≤ 1200 \\(2.5 - 1)m + (3.5 - 1.5)(900 - m) ≥ 1648\end{cases}$
解第一个不等式：
$m + 1350 - 1.5m ≤ 1200$
$-0.5m ≤ -150$
解得$m ≥ 300$
解第二个不等式：
$1.5m + 1800 - 2m ≥ 1648$
$-0.5m ≥ -152$
解得$m ≤ 304$
∵ $m$为正整数，
∴ $m$可取300、301、302、303、304，对应中性笔数量为600、599、598、597、596。
共5种制作方案：
方案1：制作特色文化书签300个，特色中性笔600支；
方案2：制作特色文化书签301个，特色中性笔599支；
方案3：制作特色文化书签302个，特色中性笔598支；
方案4：制作特色文化书签303个，特色中性笔597支；
方案5：制作特色文化书签304个，特色中性笔596支。
(3) 设售出特色中性笔$b$支，根据题意得：
$(2.5-1)a + (3.5-1.5)b = 150$
整理得：$1.5a + 2b = 150$，两边同乘2得$3a + 4b = 300$，变形得$b=\frac{300-3a}{4}$。
∵ $b$为非负整数，
∴ $300-3a$必须能被4整除，又300是4的倍数，3和4互质，因此$a$必须是4的倍数。
已知$40 ≤ a ≤ 50$，满足条件的正整数$a$为40、44、48。
【答案】
(1) 每个特色文化书签售价为2.5元，每支特色中性笔售价为3.5元；
(2) 共有5种制作方案：①制作特色文化书签300个，特色中性笔600支；②制作特色文化书签301个，特色中性笔599支；③制作特色文化书签302个，特色中性笔598支；④制作特色文化书签303个，特色中性笔597支；⑤制作特色文化书签304个，特色中性笔596支；
(3) $a$的值可能为40、44、48。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式组应用；二元一次方程整数解
【点评】
本题结合实际义卖场景考查方程与不等式的综合运用，解题时需要准确梳理题干中的等量关系与不等关系，同时注意实际问题中商品数量需为非负整数的隐含要求，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
