登录
1 对抛物线$y=2x^2 -4x -1$，有下列描述:①开口向上;②与$y$轴交于点$(0,-1)$;③对称轴是直线$x=-1$;④顶点坐标是$(1,-3)$.其中错误的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1. C 【解析】抛物线$y=2x^2-4x-1,a=2＞0$,所以开口向上,故①正确,不符合题意; 当$x=0$时,$y=-1$,所以抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$,故②正确,不符合题意; 抛物线对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×2}=1$,故③错误,符合题意; 因为$y=2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3$,所以抛物线的顶点坐标为$(1,-3)$,故④正确,不符合题意. 故选 C.
2[2025浙江湖州调研]已知$A(0,2),B(m,2)$是抛物线$y=ax^2-2ax+2$上不同的两点，则$m$的值是（
A.0
B.4
C.-2
D.2
D
）A.0
B.4
C.-2
D.2
答案
2. D 【解析】$\because y=ax^2-2ax+2,\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1.$ $\because$ 点$A(0,2),B(m,2)$是抛物线$y=ax^2-2ax+2$上不同的两点,两点纵坐标相等,$\therefore$ 点$A(0,2),B(m,2)$关于直线$x=1$对称,$\therefore 1=\frac{0+m}{2},\therefore m=2.$ 故选 D.
3[2025浙江杭州质检]将抛物线$y=-2x^2+4x-6$先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线顶点坐标为
(2,-1)
.答案
3. (2,-1) 【解析】$\because$ 抛物线$y=-2x^2+4x-6=-2(x-1)^2-4,\therefore$ 将抛物线$y=-2x^2+4x-6$先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新抛物线$y=-2(x-2)^2-1,\therefore$ 新抛物线顶点坐标是$(2,-1).$ 故答案为$(2,-1).$
4[2026浙江宁波江北区期末]已知二次函数$y=x^2 -2mx +m +2$（$m$是常数）.
（1）若图象经过点$(2,3)$，求$m$的值和图象的顶点坐标；
（2）若抛物线的顶点在$x$轴上，则$m=$
（3）若点$B(2,a)$，$C(5,b)$在抛物线上，且$a＞b$，则$m$的取值范围是
（1）若图象经过点$(2,3)$，求$m$的值和图象的顶点坐标；
（2）若抛物线的顶点在$x$轴上，则$m=$
2或-1
；（3）若点$B(2,a)$，$C(5,b)$在抛物线上，且$a＞b$，则$m$的取值范围是
$m＞\frac{7}{2}$
.答案
4. 【解】(1)将$(2,3)$代入$y=x^2-2mx+m+2$,得$3=2^2-2m×2+m+2$,解得$m=1$,$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,$\therefore$ 其图象的顶点坐标为$(1,2).$
(2)$\because y=x^2-2mx+m+2=(x-m)^2-m^2+m+2$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(m,-m^2+m+2).$ $\because$ 抛物线的顶点在$x$轴上,$\therefore -m^2+m+2=0$,解得$m_1=2,m_2=-1$,故答案为2或-1.
(3)把$B(2,a),C(5,b)$分别代入函数表达式得$a=6-3m,b=27-9m.$ $\because a＞b,\therefore 6-3m＞27-9m$,解得$m＞\frac{7}{2}$,故答案为$m＞\frac{7}{2}.$
(2)$\because y=x^2-2mx+m+2=(x-m)^2-m^2+m+2$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(m,-m^2+m+2).$ $\because$ 抛物线的顶点在$x$轴上,$\therefore -m^2+m+2=0$,解得$m_1=2,m_2=-1$,故答案为2或-1.
(3)把$B(2,a),C(5,b)$分别代入函数表达式得$a=6-3m,b=27-9m.$ $\because a＞b,\therefore 6-3m＞27-9m$,解得$m＞\frac{7}{2}$,故答案为$m＞\frac{7}{2}.$
5[2025浙江湖州质检]二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则下列结论正确的是（
A.$a＞0$
B.$b＞0$
C.$c＞0$
D.$abc＜0$
（第5题图）
（第6题图）
B
）A.$a＞0$
B.$b＞0$
C.$c＞0$
D.$abc＜0$
（第5题图）
（第6题图）
答案
5. B 【解析】$\because$ 抛物线的开口向下,$\therefore a＜0.$ $\because$ 对称轴在$y$轴的右侧,$\therefore x=-\frac{b}{2a}＞0,\therefore b＞0.$ $\because$ 抛物线交$y$轴于负半轴,$\therefore c＜0,\therefore abc＞0.$ 故选 B.
6 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，
则下列结论中错误的是 （
A.$a-b+c＞1$
B.$abc＞0$
C.$4a-2b+c＜0$
D.$c-a＞1$
则下列结论中错误的是 （
C
）A.$a-b+c＞1$
B.$abc＞0$
C.$4a-2b+c＜0$
D.$c-a＞1$
答案
6. C 【解析】由图象可知,$a＜0,b＜0,c=1＞0$,抛物线对称轴为直线$x=-1.$
A 当$x=-1$时,$y=a-b+c＞1$,故A正确,不符合题意
B $abc＞0$,故B正确,不符合题意
C 当$x=-2$时,$y=4a-2b+c＞0$,故C错误,符合题意
D $\because c=1,a＜0,\therefore c-a＞1$,故D正确,不符合题意
A 当$x=-1$时,$y=a-b+c＞1$,故A正确,不符合题意
B $abc＞0$,故B正确,不符合题意
C 当$x=-2$时,$y=4a-2b+c＞0$,故C错误,符合题意
D $\because c=1,a＜0,\therefore c-a＞1$,故D正确,不符合题意
7[2025浙江杭州期末]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的顶点在第一象限，且过点$(0,1)$和$(-1,0)$。设$S=a+b+c$，则$S$的取值范围是
0＜S＜2
。答案
7. $0＜S＜2$ 【解析】将$(0,1)$和$(-1,0)$分别代入抛物线表达式,得$\begin{cases}c=1,\\a-b+c=0,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=b-1,\\c=1,\end{cases}$ $\therefore S=a+b+c=b-1+b+1=2b.$ 由题意可知,$x=-\frac{b}{2a}＞0$,且图象开口向下,$\therefore a＜0,\therefore b＞0,\therefore S=2b＞0.$ $\because a＜0,\therefore b-1＜0$,$\therefore b＜1,\therefore 2b＜2,\therefore 0＜S＜2.$ 故答案为$0＜S＜2.$
8[2025浙江杭州质检]一名同学掷铅球,高度y(米)与时间x(秒)之间的关系式为$y=ax^2+bx(a≠0)$.若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等,则铅球位于最高处的时刻是 (
A.第7秒
B.第8秒
C.第10.5秒
D.第21秒
C
)A.第7秒
B.第8秒
C.第10.5秒
D.第21秒
答案
8. C 【解析】$\because y$与$x$之间是二次函数关系,铅球在第7秒与第14秒时的高度相等,$\therefore$ 抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$的对称轴是直线$x=\frac{7+14}{2}=10.5$,$\therefore$ 铅球位于最高处的时刻是第10.5秒. 故选 C.
9[2025浙江金华质检]小明和小红两人在课余时间打羽毛球,羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线.某一时刻小明发出一球,以水平地面为x轴建立如图所示的坐标系,设小明的击球出手点为$P,OP=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$,当球运行到与OP的水平距离为4 m时,球达到最高点,为$\frac{17}{6}\ \mathrm{m}$.已知球网AB距原点O 5 m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若小红站在距球网1 m远的C处,求小红的球拍距地面多高(即CD的长)时,球拍的上边缘正好与球接触.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若小红站在距球网1 m远的C处,求小红的球拍距地面多高(即CD的长)时,球拍的上边缘正好与球接触.
答案
9. 【解】(1)根据题意设抛物线的表达式为$y=a(x-4)^2+\frac{17}{6}$,把点$P(0,\frac{3}{2})$代入,得$16a+\frac{17}{6}=\frac{3}{2}$,解得$a=-\frac{1}{12}$,$\therefore y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{17}{6}.$
(2)由题可知点$C(6,0)$,$\therefore$ 点$D$的横坐标为6,将$x=6$代入抛物线表达式,得$y=-\frac{1}{12}×(6-4)^2+\frac{17}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.$
答:小红的球拍距地面$\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$时,球拍的上边缘正好与球接触.
(2)由题可知点$C(6,0)$,$\therefore$ 点$D$的横坐标为6,将$x=6$代入抛物线表达式,得$y=-\frac{1}{12}×(6-4)^2+\frac{17}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.$
答:小红的球拍距地面$\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$时,球拍的上边缘正好与球接触.
