1. (2026·江苏南京期末)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意如下：
现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺。问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下：
（）
甲:设竿子长为x尺.根据题意可列方程为$x-\frac{x+5}{2}=5$；
乙:设绳索长为x尺.根据题意可列方程为$(x-5)-\frac{x}{2}=5$。
下列判断正确的是
（）

A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都错误

1. C 解析:根据题意列方程可知甲、乙都正确。

2. 若关于$x$的方程$\dfrac{ax -1}{7}=1-\dfrac{3x +6}{14}$的解为整数，且关于$y$的多项式$(a^2 -1)y^2 +4y +1$为二次三项式，则所有满足条件的整数$a$的值之和为（）

A.$-6$
B.$-5$
C.$-1$
D.$0$

2. A 解析:整理方程$\dfrac{ax -1}{7}=1-\dfrac{3x +6}{14}$,得$(2a+3)x=10$.因为原方程的解为整数,且$a$为整数,所以$2a+3$为奇数,即$2a+3=\pm1$或$\pm5$,所以$a=-1$或$-2$或$1$或$-4$.因为关于$y$的多项式$(a^2 -1)y^2 +4y +1$是二次三项式,所以$a^2-1≠0$,所以$a≠\pm1$,所以$a=-4$或$-2$,所以所有满足条件的整数$a$的值之和为$-2-4=-6$.

3. 七年级某班第一组的同学进行知识竞赛，共有20道题，每题的分值相同且每题必须作答，下表记录了其中4名同学的得分情况：

下列说法正确的是（）

A.每道题答对得4分，答错扣1分
B.若同学E共答对了15道题，则他本次竞赛得分为72分
C.同学F本次竞赛得分为80分
D.若同学G本次竞赛得分为82分，则他共答对了17道题

3. D 解析:由题意,得每道题答对得$100÷20=5$(分),则每道题答错扣$(5×19-94)÷1=1$(分),故选项A不合题意;若同学E共答对了15道题,则他答错了$20-15=5$(道)题,所以他本次竞赛得分为$5×15-1×5=70$(分),故选项B不合题意;设同学F答对$x$道题,则答错$(20-x)$道题.由题意,得$5x-(20-x)×1=80$,解得$x=\dfrac{50}{3}$.因为$x$为整数,所以$x=\dfrac{50}{3}$不合题意,即同学F本次竞赛得分不可能为80分,故选项C不合题意;设同学G答对$y$道题,则答错$(20-y)$道题.由题意,得$5y-(20-y)×1=82$,解得$y=17$,所以同学G答对了17道题,故选项D符合题意.

4.（2026·江苏无锡月考）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5 L酒。按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒 L.

4. $\dfrac{35}{8}$ 解析:设壶中原来有酒$x$ L. 由题意,得$2[2(2x-5)-5]-5=0$,解得$x=\dfrac{35}{8}$,所以壶中原来有酒$\dfrac{35}{8}$ L.

5. 如图,根据图中给出的信息解决下面的问题:若在如图②所示只有水的杯中放入大球和小球共10个,要使水面高度上升到50 cm,则应放入大球个,小球个.

5. 4 6 解析:设应放入小球$x$个,则放入大球$(10-x)$个.由题意,得$\dfrac{32-26}{3}x+\dfrac{32-26}{2}(10-x)=50-26$,解得$x=6$,所以$10-x=4$,所以应放入小球6个,大球4个.