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例3 (1)计算:$2023^2 - 2024×2022=$
(2)若$x^2 - y^2=20,x - y=4$,则$x + y=$
知识归纳 在一些代数式的求值过程中,往往会把平方差公式和完全平方公式进行变形以达到求值的目的。如$a^2 - b^2=$
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。(2)若$x^2 - y^2=20,x - y=4$,则$x + y=$
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。知识归纳 在一些代数式的求值过程中,往往会把平方差公式和完全平方公式进行变形以达到求值的目的。如$a^2 - b^2=$
$(a+b)(a-b)$
;$a^2 + b^2=$($a-b$
)$^2 + 2ab;(a - b)^2=$($a+b$
)$^2 - 4ab;(a + b)^2 + (a - b)^2=2($$a^2+b^2$
$)$等。答案
(1)1 (2)5
【知识归纳】$(a+b)(a-b)$ $a-b$ $a+b$ $a^2+b^2$
【知识归纳】$(a+b)(a-b)$ $a-b$ $a+b$ $a^2+b^2$
变式3 (1)(2024·绍兴嵊州)若$\begin{cases}x+y=4, \\ x-y=2,\end{cases}$则代数式$x^2 - y^2$的值是 …………………………………………………（ ）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
(2)将完全平方公式:$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$适当变形,可以解决很多数学问题。
例如:若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值。
解:因为$a+b=3$,所以$(a+b)^2=9$,所以$a^2+b^2+2ab=9$,又因为$ab=1$,所以$a^2+b^2+2=9$,所以$a^2+b^2=7$,
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
①若$x-y=5,xy=2$,求$x^2+y^2$的值；
②若$x+y=6,x^2+y^2=20$,求$xy$的值；
③如图,C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,两正方形的面积分别为$S_1,S_2$,若$AB=6,S_1+S_2=18$,求图中阴影部分的面积。(提示:可设$AC=x,BC=y)$
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
(2)将完全平方公式:$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$适当变形,可以解决很多数学问题。
例如:若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值。
解:因为$a+b=3$,所以$(a+b)^2=9$,所以$a^2+b^2+2ab=9$,又因为$ab=1$,所以$a^2+b^2+2=9$,所以$a^2+b^2=7$,
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
①若$x-y=5,xy=2$,求$x^2+y^2$的值；
②若$x+y=6,x^2+y^2=20$,求$xy$的值；
③如图,C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,两正方形的面积分别为$S_1,S_2$,若$AB=6,S_1+S_2=18$,求图中阴影部分的面积。(提示:可设$AC=x,BC=y)$
答案
(1)A (2)①因为$x-y=5$,所以$(x-y)^2=25$,所以$x^2-2xy+y^2=25$,因为$xy=2$,所以$x^2-4+y^2=25$,所以$x^2+y^2=29$。②因为$x+y=6$,所以$(x+y)^2=36$,所以$x^2+2xy+y^2=36$。因为$x^2+y^2=20$,所以$2xy+20=36$,所以$xy=8$。③设$AC=x,BC=y$,因为$AB=6,S_1+S_2=18$,所以$x+y=6,x^2+y^2=18$,所以$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=36$,所以$2xy+18=36$,所以$xy=9$,所以$S_{阴影}=\dfrac{1}{2}xy=4.5$。
