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5 有五张正面分别写有数－3，－1，2，3，4的卡片，它们除了数不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a，抽取后不放回，再从中抽取一张，记卡片上的数为b，则抽取的数a，b能使一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限的概率为
$\frac{3}{10}$
.答案
5. $\frac{3}{10}$
解析
【分析】首先明确一次函数$y=ax+b$经过第一、二、三象限的条件：斜率$a＞0$（直线上升），截距$b＞0$（与$y$轴交于正半轴）；再计算不放回抽取两张卡片的所有等可能情况数，以及满足$a＞0$且$b＞0$的情况数，最后根据概率公式求解。
【解析】
1. 一次函数图象性质：对于一次函数$y=ax+b$，当$a＞0$时直线从左下到右上，当$b＞0$时直线与$y$轴交于正半轴，此时图象经过第一、二、三象限。
2. 总情况数：从5张卡片中不放回抽取2张，$a$、$b$为不同的数，总共有$5×4=20$种等可能的结果。
3. 满足条件的情况数：卡片中的正数为$2$、$3$、$4$，共3个，要使$a＞0$且$b＞0$，需从这3个正数中选2个不同的数作为$a$、$b$，情况数为$3×2=6$种。
4. 概率计算：概率$=\frac{满足条件的情况数}{总情况数}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】$\frac{3}{10}$
【知识点】概率计算、一次函数图象性质
【点评】本题结合一次函数图象性质与概率计算，需先掌握一次函数过指定象限的条件，再准确计算有序排列的情况数，易错点是忽略$a$、$b$需不同的抽取规则。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 一次函数图象性质：对于一次函数$y=ax+b$，当$a＞0$时直线从左下到右上，当$b＞0$时直线与$y$轴交于正半轴，此时图象经过第一、二、三象限。
2. 总情况数：从5张卡片中不放回抽取2张，$a$、$b$为不同的数，总共有$5×4=20$种等可能的结果。
3. 满足条件的情况数：卡片中的正数为$2$、$3$、$4$，共3个，要使$a＞0$且$b＞0$，需从这3个正数中选2个不同的数作为$a$、$b$，情况数为$3×2=6$种。
4. 概率计算：概率$=\frac{满足条件的情况数}{总情况数}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】$\frac{3}{10}$
【知识点】概率计算、一次函数图象性质
【点评】本题结合一次函数图象性质与概率计算，需先掌握一次函数过指定象限的条件，再准确计算有序排列的情况数，易错点是忽略$a$、$b$需不同的抽取规则。
【难度系数】0.5
6 设函数 $y=ax^2+bx+1$，其中 $a$ 可取的值是$-1,0,1$；$b$ 可取的值是$-1,1,2$。
（1）当 $a,b$ 分别取何值时，所得的函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值。
（2）共可得到多少个不同的函数表达式？在这些函数表达式中任取一个，求取到当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小的函数的概率。
（1）当 $a,b$ 分别取何值时，所得的函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值。
（2）共可得到多少个不同的函数表达式？在这些函数表达式中任取一个，求取到当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小的函数的概率。
答案
6. (1) $\because$ 函数$y=ax^2+bx+1$有最小值,$\therefore$ 该函数为二次函数,且图象开口向上. $\therefore a＞0$,则$a=1$,此时$b$可取$-1,1,2$. 当$a=1,b=-1$时,$y=x^2-x+1$,最小值为$\frac{3}{4}$;当$a=1,b=1$时,$y=x^2+x+1$,最小值为$\frac{3}{4}$;当$a=1,b=2$时,$y=x^2+2x+1$,最小值为0 (2) 根据题意画出树状图如图所示.
由图可知,共可得到9个不同的函数表达式. $\because$ 当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小的函数有$y=-x^2-x+1,y=-x+1$,共2个,$\therefore$ 取到当$x＞0$时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小的函数的概率为$\frac{2}{9}$解析
【分析】
首先分析第(1)问：函数有最小值，说明该函数为二次函数（一次函数无最值），因此二次项系数a需大于0（开口向上才有最小值），故a只能取1，再分别代入b的三个值，利用二次函数最小值公式计算对应最小值。
第(2)问：先计算总函数个数，a有3种取值，b有3种取值，共3×3=9个；再找出x＞0时y随x增大而减小的函数：分一次函数（a=0）和二次函数（a≠0）讨论，一次函数需斜率b＜0，二次函数需开口向下（a＜0）且对称轴在x≤0，据此找出符合条件的函数，最后用符合条件的函数数除以总函数数得到概率。
【解析】
(1) 函数$y=ax^2+bx+1$有最小值，则该函数为二次函数，且图象开口向上，因此$a＞0$，结合a的取值范围，得$a=1$，此时b可取$-1,1,2$。
根据二次函数最小值公式$\frac{4ac - b^2}{4a}$（其中$c=1$）：
当$a=1,b=-1$时，$y=x^2 -x +1$，最小值为$\frac{4×1×1 - (-1)^2}{4×1}=\frac{3}{4}$；
当$a=1,b=1$时，$y=x^2 +x +1$，最小值为$\frac{4×1×1 -1^2}{4×1}=\frac{3}{4}$；
当$a=1,b=2$时，$y=x^2 +2x +1$，最小值为$\frac{4×1×1 -2^2}{4×1}=0$。
(2) a有3种取值，b有3种取值，故共可得到$3×3=9$个不同的函数表达式。
分析$x＞0$时y随x增大而减小的函数：
当$a=0$时，函数为一次函数$y=bx+1$，要使$x＞0$时y随x增大而减小，需$b＜0$，即$b=-1$，对应函数$y=-x+1$；
当$a=-1$时，函数为二次函数$y=-x^2 +bx +1$，开口向下，对称轴为$x=\frac{b}{2}$，要使$x＞0$时y随x增大而减小，需对称轴$≤0$，即$\frac{b}{2}≤0→b≤0$，故$b=-1$，对应函数$y=-x^2 -x +1$；
当$a=1$时，二次函数开口向上，无整体递减区间，不符合。
因此符合条件的函数共2个，概率为$\frac{2}{9}$。
【答案】
(1) 当$a=1,b=-1$时，函数为$y=x^2 -x +1$，最小值为$\frac{3}{4}$；当$a=1,b=1$时，函数为$y=x^2 +x +1$，最小值为$\frac{3}{4}$；当$a=1,b=2$时，函数为$y=x^2 +2x +1$，最小值为0；
(2) 共可得到9个不同的函数表达式，取到满足条件的函数的概率为$\frac{2}{9}$。
【知识点】
二次函数的最值，一次函数的单调性，概率计算
【点评】
本题综合考查二次函数、一次函数的性质及概率计算，解题时需先明确函数类型对最值和单调性的影响，再分类讨论，属于基础代数综合题，需注意二次函数对称轴与单调性的关系。
【难度系数】
0.5
首先分析第(1)问：函数有最小值，说明该函数为二次函数（一次函数无最值），因此二次项系数a需大于0（开口向上才有最小值），故a只能取1，再分别代入b的三个值，利用二次函数最小值公式计算对应最小值。
第(2)问：先计算总函数个数，a有3种取值，b有3种取值，共3×3=9个；再找出x＞0时y随x增大而减小的函数：分一次函数（a=0）和二次函数（a≠0）讨论，一次函数需斜率b＜0，二次函数需开口向下（a＜0）且对称轴在x≤0，据此找出符合条件的函数，最后用符合条件的函数数除以总函数数得到概率。
【解析】
(1) 函数$y=ax^2+bx+1$有最小值，则该函数为二次函数，且图象开口向上，因此$a＞0$，结合a的取值范围，得$a=1$，此时b可取$-1,1,2$。
根据二次函数最小值公式$\frac{4ac - b^2}{4a}$（其中$c=1$）：
当$a=1,b=-1$时，$y=x^2 -x +1$，最小值为$\frac{4×1×1 - (-1)^2}{4×1}=\frac{3}{4}$；
当$a=1,b=1$时，$y=x^2 +x +1$，最小值为$\frac{4×1×1 -1^2}{4×1}=\frac{3}{4}$；
当$a=1,b=2$时，$y=x^2 +2x +1$，最小值为$\frac{4×1×1 -2^2}{4×1}=0$。
(2) a有3种取值，b有3种取值，故共可得到$3×3=9$个不同的函数表达式。
分析$x＞0$时y随x增大而减小的函数：
当$a=0$时，函数为一次函数$y=bx+1$，要使$x＞0$时y随x增大而减小，需$b＜0$，即$b=-1$，对应函数$y=-x+1$；
当$a=-1$时，函数为二次函数$y=-x^2 +bx +1$，开口向下，对称轴为$x=\frac{b}{2}$，要使$x＞0$时y随x增大而减小，需对称轴$≤0$，即$\frac{b}{2}≤0→b≤0$，故$b=-1$，对应函数$y=-x^2 -x +1$；
当$a=1$时，二次函数开口向上，无整体递减区间，不符合。
因此符合条件的函数共2个，概率为$\frac{2}{9}$。
【答案】
(1) 当$a=1,b=-1$时，函数为$y=x^2 -x +1$，最小值为$\frac{3}{4}$；当$a=1,b=1$时，函数为$y=x^2 +x +1$，最小值为$\frac{3}{4}$；当$a=1,b=2$时，函数为$y=x^2 +2x +1$，最小值为0；
(2) 共可得到9个不同的函数表达式，取到满足条件的函数的概率为$\frac{2}{9}$。
【知识点】
二次函数的最值，一次函数的单调性，概率计算
【点评】
本题综合考查二次函数、一次函数的性质及概率计算，解题时需先明确函数类型对最值和单调性的影响，再分类讨论，属于基础代数综合题，需注意二次函数对称轴与单调性的关系。
【难度系数】
0.5
7 [2025龙东地区]如图，随机闭合开关K₁，K₂，K₃中的两个，能让两盏灯泡L₁，L₂同时发光的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
7. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个概率问题，需先明确随机闭合两个开关的所有可能情况，再结合电路通路分析每种情况中两灯是否同时发光，最后利用概率公式计算结果。具体步骤：1. 列举从三个开关中选两个的所有组合；2. 分析每种组合对应的电路，判断L₁、L₂是否同时发光；3. 代入概率公式求解。
【解析】
随机闭合K₁、K₂、K₃中的两个开关，所有等可能的组合共3种：
① 闭合K₁和K₂；② 闭合K₁和K₃；③ 闭合K₂和K₃。
逐个分析电路：
闭合K₁和K₂：电流经K₂、K₃、L₂回到电源，L₁被短路，仅L₂发光；
闭合K₁和K₃：电流经L₁、K₁、K₃、L₂回到电源，L₁和L₂均有电流通过，两灯同时发光；
闭合K₂和K₃：电流经K₂、K₃、L₂回到电源，仅L₂发光，L₁不发光。
其中符合“两灯同时发光”的情况仅1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路通路判断
【点评】
本题结合电路知识考查概率计算，核心是先列举开关组合，再通过电路分析确定符合条件的情况，需学生同时掌握电路分析和概率的基本方法，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个概率问题，需先明确随机闭合两个开关的所有可能情况，再结合电路通路分析每种情况中两灯是否同时发光，最后利用概率公式计算结果。具体步骤：1. 列举从三个开关中选两个的所有组合；2. 分析每种组合对应的电路，判断L₁、L₂是否同时发光；3. 代入概率公式求解。
【解析】
随机闭合K₁、K₂、K₃中的两个开关，所有等可能的组合共3种：
① 闭合K₁和K₂；② 闭合K₁和K₃；③ 闭合K₂和K₃。
逐个分析电路：
闭合K₁和K₂：电流经K₂、K₃、L₂回到电源，L₁被短路，仅L₂发光；
闭合K₁和K₃：电流经L₁、K₁、K₃、L₂回到电源，L₁和L₂均有电流通过，两灯同时发光；
闭合K₂和K₃：电流经K₂、K₃、L₂回到电源，仅L₂发光，L₁不发光。
其中符合“两灯同时发光”的情况仅1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路通路判断
【点评】
本题结合电路知识考查概率计算，核心是先列举开关组合，再通过电路分析确定符合条件的情况，需学生同时掌握电路分析和概率的基本方法，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
8 [2024 临夏]物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A,B,C,D四张卡片(如图),四张卡片除内容不同外,其他没有区别,将其放置于暗箱中,并摇匀.
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张,则抽中C卡片的概率是
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表或画树状图的方法,求小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的概率.
A.铁钉生锈 B.滴水成冰 C.矿石粉碎 D.牛奶变质
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张,则抽中C卡片的概率是
$\frac{1}{4}$
;（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表或画树状图的方法,求小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的概率.
A.铁钉生锈 B.滴水成冰 C.矿石粉碎 D.牛奶变质
答案
8. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 四张卡片内容中是化学变化的有A,D,画树状图如图所示.
由图可知,共有12种等可能的结果,其中小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的结果有(A,D),(D,A),共2种,$\therefore$ 小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$解析
【分析】
本题分为两小问，第一问是简单的概率计算，总共有4张卡片，C卡片仅1张，直接用概率公式即可求解；第二问需先判断四张卡片对应的变化类型（物理变化或化学变化），确定化学变化的卡片，再通过树状图法列举所有等可能结果，找出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
（1）总共有4张卡片，其中C卡片有1张，根据概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得抽中C卡片的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）先判断变化类型：A.铁钉生锈，有新物质铁锈生成，属于化学变化；B.滴水成冰，仅水的状态改变，无新物质生成，属于物理变化；C.矿石粉碎，仅矿石形状改变，无新物质生成，属于物理变化；D.牛奶变质，有新物质生成，属于化学变化。因此化学变化的卡片为A、D。
画树状图如下：，由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片均为化学变化的结果有(A,D)、(D,A)，共2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) 四张卡片内容中是化学变化的有A,D，画树状图如图所示，，由图可知，共有12种等可能的结果，其中小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的结果有(A,D),(D,A)，共2种，$\therefore$ 小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算、物理变化与化学变化的判断
【点评】
本题结合物理化学变化知识点考查概率计算，需先准确判断化学变化的卡片，再用树状图法列举结果，综合性较强，重点考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第一问是简单的概率计算，总共有4张卡片，C卡片仅1张，直接用概率公式即可求解；第二问需先判断四张卡片对应的变化类型（物理变化或化学变化），确定化学变化的卡片，再通过树状图法列举所有等可能结果，找出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
（1）总共有4张卡片，其中C卡片有1张，根据概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得抽中C卡片的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）先判断变化类型：A.铁钉生锈，有新物质铁锈生成，属于化学变化；B.滴水成冰，仅水的状态改变，无新物质生成，属于物理变化；C.矿石粉碎，仅矿石形状改变，无新物质生成，属于物理变化；D.牛奶变质，有新物质生成，属于化学变化。因此化学变化的卡片为A、D。
画树状图如下：
，由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片均为化学变化的结果有(A,D)、(D,A)，共2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) 四张卡片内容中是化学变化的有A,D，画树状图如图所示，
，由图可知，共有12种等可能的结果，其中小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的结果有(A,D),(D,A)，共2种，$\therefore$ 小夏抽取的两张卡片的内容均为化学变化的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$【知识点】
概率计算、物理变化与化学变化的判断
【点评】
本题结合物理化学变化知识点考查概率计算，需先准确判断化学变化的卡片，再用树状图法列举结果，综合性较强，重点考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
