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1 [2025芜湖期末]下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（
A.$y=ax^2 + c$
B.$y=x^2 + \frac{1}{x^2}$
C.$y=4(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2 - x^2$
C
）A.$y=ax^2 + c$
B.$y=x^2 + \frac{1}{x^2}$
C.$y=4(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2 - x^2$
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记二次函数的判断标准：首先函数表达式必须是整式，其次自变量x的最高次数为2，最后二次项的系数不能为0。解题时先明确这三个判断条件，再逐个验证选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐一分析选项：
选项A：$y=ax^2+c$中未说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为常数函数或一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=x^2+\frac{1}{x^2}$中$\frac{1}{x^2}$是分式，函数表达式不是整式，不符合二次函数定义，排除；
选项C：将$y=4(x-1)^2$展开得$y=4x^2-8x+4$，满足二次函数的三个条件，属于二次函数；
选项D：将$y=(x+1)^2-x^2$展开化简得$y=2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，整式的识别，完全平方公式
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，容易出错的地方有三处：一是忽略二次项系数不为0的条件误选A，二是忽略整式要求误选B，三是未化简表达式直接看表面有$x^2$误选D，做题时需严格按照定义逐一验证，必要时先化简再判断。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记二次函数的判断标准：首先函数表达式必须是整式，其次自变量x的最高次数为2，最后二次项的系数不能为0。解题时先明确这三个判断条件，再逐个验证选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐一分析选项：
选项A：$y=ax^2+c$中未说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为常数函数或一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=x^2+\frac{1}{x^2}$中$\frac{1}{x^2}$是分式，函数表达式不是整式，不符合二次函数定义，排除；
选项C：将$y=4(x-1)^2$展开得$y=4x^2-8x+4$，满足二次函数的三个条件，属于二次函数；
选项D：将$y=(x+1)^2-x^2$展开化简得$y=2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义，整式的识别，完全平方公式
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，容易出错的地方有三处：一是忽略二次项系数不为0的条件误选A，二是忽略整式要求误选B，三是未化简表达式直接看表面有$x^2$误选D，做题时需严格按照定义逐一验证，必要时先化简再判断。
【难度系数】
0.8
2 [2025遵义余庆期末]若$y=(m-2)x^{|m|}+1$是关于x的二次函数，则$m=$
-2
.答案
2. -2
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确二次函数的判定条件：一是函数中自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件需同时满足，缺一不可。我们先根据最高次数为2列出关于m的方程，再结合二次项系数不为0排除不符合的解，即可得到m的取值。
【解析】
已知$y=(m-2)x^{|m|}+1$是关于x的二次函数，根据二次函数的定义可得：
1. 自变量x的最高次数为2，即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$。
结合上述两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数需同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误得出m=±2的结论。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确二次函数的判定条件：一是函数中自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件需同时满足，缺一不可。我们先根据最高次数为2列出关于m的方程，再结合二次项系数不为0排除不符合的解，即可得到m的取值。
【解析】
已知$y=(m-2)x^{|m|}+1$是关于x的二次函数，根据二次函数的定义可得：
1. 自变量x的最高次数为2，即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$。
结合上述两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数需同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误得出m=±2的结论。
【难度系数】
0.7
3 [2025大庆期中]已知关于x的函数$y=(a^2 - 2a + 7)x^2 + 4ax + 1$（a为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数。”乙说：“此函数一定是二次函数。”请问谁说的正确？为什么？
答案
3. 乙说的正确 $\because a^2-2a+7=(a-1)^2+6＞0,\therefore$ 此函数一定是二次函数. $\therefore$ 乙说的正确,甲说的错误
解析
【分析】
要判断两人说法谁正确，核心是明确二次函数的判定标准：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A,B,C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数，因此只需判断本题中二次项系数$a^2-2a+7$是否可能等于0即可。我们可以通过配方法对$a^2-2a+7$变形，结合平方数的非负性判断它的取值范围，若它恒不为0，则函数一定是二次函数，否则不一定是二次函数。
【解析】
根据二次函数的定义，判定函数是否为二次函数的关键是二次项系数不为0。
对二次项系数配方可得：
$a^2-2a+7=a^2-2a+1+6=(a-1)^2+6$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(a-1)^2≥0$
∴ $(a-1)^2+6≥6＞0$，即无论$a$取何值，二次项系数$a^2-2a+7$恒大于0，不可能等于0
因此该函数一定是二次函数，乙的说法正确。
【答案】
乙说的正确，$\because a^2-2a+7=(a-1)^2+6＞0$，二次项系数恒不为0，$\therefore$此函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义，配方法的应用，平方的非负性
【点评】
本题属于二次函数判定的基础题，解题的核心是抓住二次函数定义中“二次项系数不为0”的隐含条件，通过配方法将含参数的二次项系数转化为“完全平方+正数”的形式，即可快速判断其取值范围，避免忽略二次项系数的限制条件出错。
【难度系数】
0.7
要判断两人说法谁正确，核心是明确二次函数的判定标准：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A,B,C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数，因此只需判断本题中二次项系数$a^2-2a+7$是否可能等于0即可。我们可以通过配方法对$a^2-2a+7$变形，结合平方数的非负性判断它的取值范围，若它恒不为0，则函数一定是二次函数，否则不一定是二次函数。
【解析】
根据二次函数的定义，判定函数是否为二次函数的关键是二次项系数不为0。
对二次项系数配方可得：
$a^2-2a+7=a^2-2a+1+6=(a-1)^2+6$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(a-1)^2≥0$
∴ $(a-1)^2+6≥6＞0$，即无论$a$取何值，二次项系数$a^2-2a+7$恒大于0，不可能等于0
因此该函数一定是二次函数，乙的说法正确。
【答案】
乙说的正确，$\because a^2-2a+7=(a-1)^2+6＞0$，二次项系数恒不为0，$\therefore$此函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义，配方法的应用，平方的非负性
【点评】
本题属于二次函数判定的基础题，解题的核心是抓住二次函数定义中“二次项系数不为0”的隐含条件，通过配方法将含参数的二次项系数转化为“完全平方+正数”的形式，即可快速判断其取值范围，避免忽略二次项系数的限制条件出错。
【难度系数】
0.7
