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1 [2025大连期末]某兴趣小组接到美化校园一角的任务.如图,同学们计划借助直角墙角∠BAD(两边足够长)围一个矩形花园ABCD,并在CD上留宽为1 m的门.同学们购买了35 m长的篱笆,设AB=x m,花园的面积为S m².
(1)当S=288时,求x的值;
(2)如图,点P处有一棵树与墙AD的距离是20 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),怎么围才能使花园的面积最大,最大面积为多少?
(1)当S=288时,求x的值;
(2)如图,点P处有一棵树与墙AD的距离是20 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),怎么围才能使花园的面积最大,最大面积为多少?
答案
(1) 由题意可知，BC+CD=35+1=36(m).
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=x m.
∴ BC=(36−x)m.
∴ S=x(36−x). 当S=288时，288=x(36−x)，解得x₁=12，x₂=24.
∴ x的值为12或24
(2)
∵ S=x(36−x)=−(x−18)²+324，
∴ 当x＞18时，S随x的增大而减小. 由题意可知，x≥20，
∴ 当x=20时，S最大. 把x=20代入S=x(36−x)，得S=320.
∴ 当AB=20 m时，花园的面积最大，最大面积为320 m²
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=x m.
∴ BC=(36−x)m.
∴ S=x(36−x). 当S=288时，288=x(36−x)，解得x₁=12，x₂=24.
∴ x的值为12或24
(2)
∵ S=x(36−x)=−(x−18)²+324，
∴ 当x＞18时，S随x的增大而减小. 由题意可知，x≥20，
∴ 当x=20时，S最大. 把x=20代入S=x(36−x)，得S=320.
∴ 当AB=20 m时，花园的面积最大，最大面积为320 m²
解析
【分析】
(1) 首先梳理篱笆与花园边长的关系：CD上有1m宽的门，等效于围花园的可用总长度为篱笆长加门宽，即35+1=36m，对应BC+CD的和。已知AB=x，由矩形对边相等得CD=x，即可用x表示BC的长度，再结合矩形面积公式列方程求解即可得到x的值。
(2) 先将面积表达式整理为二次函数顶点式，明确其开口方向与增减性；再根据树要围在园内的条件，确定x的取值下限：树距离AD为20m，因此AB长度至少为20m，即x≥20。结合二次函数在x≥20区间的增减性，即可找到面积最大时的x取值，进而求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意，CD处留1m宽的门，因此BC+CD=35+1=36(m)。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=x m，
∴ BC=(36−x) m，
花园面积S=AB·BC=x(36−x)。
当S=288时，代入得288=x(36−x)，
整理得x²−36x+288=0，
因式分解得(x−12)(x−24)=0，
解得x₁=12，x₂=24。
(2) 将面积表达式配方得：
$S=x(36−x)=-x^2+36x=-(x−18)^2+324$，
∵ 二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，
∴ 当x＞18时，S随x的增大而减小。
由题意，树需围在花园内，因此x≥20，
在x≥20的范围内，x取20时S取得最大值，
将x=20代入得$S=20×(36−20)=320$。
【答案】
(1) x的值为12或24；
(2) 当AB长为20 m时花园面积最大，最大面积为320 $\mathrm{m}^2$
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察代数知识的应用，解题关键是准确梳理实际条件对应的等量关系和自变量取值范围，避免忽略门的宽度、树的位置限制等实际条件导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 首先梳理篱笆与花园边长的关系：CD上有1m宽的门，等效于围花园的可用总长度为篱笆长加门宽，即35+1=36m，对应BC+CD的和。已知AB=x，由矩形对边相等得CD=x，即可用x表示BC的长度，再结合矩形面积公式列方程求解即可得到x的值。
(2) 先将面积表达式整理为二次函数顶点式，明确其开口方向与增减性；再根据树要围在园内的条件，确定x的取值下限：树距离AD为20m，因此AB长度至少为20m，即x≥20。结合二次函数在x≥20区间的增减性，即可找到面积最大时的x取值，进而求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意，CD处留1m宽的门，因此BC+CD=35+1=36(m)。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=x m，
∴ BC=(36−x) m，
花园面积S=AB·BC=x(36−x)。
当S=288时，代入得288=x(36−x)，
整理得x²−36x+288=0，
因式分解得(x−12)(x−24)=0，
解得x₁=12，x₂=24。
(2) 将面积表达式配方得：
$S=x(36−x)=-x^2+36x=-(x−18)^2+324$，
∵ 二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，
∴ 当x＞18时，S随x的增大而减小。
由题意，树需围在花园内，因此x≥20，
在x≥20的范围内，x取20时S取得最大值，
将x=20代入得$S=20×(36−20)=320$。
【答案】
(1) x的值为12或24；
(2) 当AB长为20 m时花园面积最大，最大面积为320 $\mathrm{m}^2$
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察代数知识的应用，解题关键是准确梳理实际条件对应的等量关系和自变量取值范围，避免忽略门的宽度、树的位置限制等实际条件导致错误。
【难度系数】
0.7
2 [2025南通]综合与实践:学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案:
方案一
如图①,围成一个面积为450 m²的矩形花圃
方案二
如图②,围成矩形花圃时,用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域,用来种植不同花卉,并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏)
(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2) 若要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为多少米？
方案一
如图①,围成一个面积为450 m²的矩形花圃
方案二
如图②,围成矩形花圃时,用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域,用来种植不同花卉,并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏)
(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2) 若要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为多少米？
答案
(1) 设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60−2x)m. 根据题意，得x(60−2x)=450，解得x₁=x₂=15.
∴ 与墙垂直的边的长度为15 m
(2) 设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m². 根据题意，得S=$\frac{1}{3}$t(66−t)=−$\frac{1}{3}$t²+22t=−$\frac{1}{3}$(t−33)²+363，
∵ −$\frac{1}{3}$＜0，
∴ 当t=33时，S有最大值363.
∴ 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33 m
∴ 与墙垂直的边的长度为15 m
(2) 设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m². 根据题意，得S=$\frac{1}{3}$t(66−t)=−$\frac{1}{3}$t²+22t=−$\frac{1}{3}$(t−33)²+363，
∵ −$\frac{1}{3}$＜0，
∴ 当t=33时，S有最大值363.
∴ 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33 m
解析
【分析】
(1) 求解方案一的问题时，先设与墙垂直的边长为x m，由于有2条边与墙垂直，因此与墙平行的边长为总栅栏长度减去2倍垂直边长，即(60-2x)m，再根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程求解即可。
(2) 求解方案二的最值问题时，首先设与墙平行的边长为t m，注意两侧各有3m宽的进出口无需栅栏，且有3条与墙垂直的栅栏，因此可先求出每条垂直边的长度，再根据面积公式列出面积关于t的二次函数，将函数化为顶点式后，结合二次函数开口方向即可确定最大值对应的t值。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60−2x)m。
根据题意列方程：$x(60−2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m²。
由题意，3条与墙垂直的栅栏总长度为$60+3×2 - t=66-t$，因此每条垂直边长为$\frac{66-t}{3}$m。
则面积$S=t·\frac{66-t}{3}=-\frac{1}{3}t^2+22t$
化为顶点式得：$S=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$
∵ $-\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$t=33$时，S取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15 m；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33 m
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查方程与函数的应用，解题关键是理清栅栏长度和矩形边长的对应关系，第二问需注意不要忽略进出口无需栅栏的条件，掌握基础的方程解法和二次函数性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求解方案一的问题时，先设与墙垂直的边长为x m，由于有2条边与墙垂直，因此与墙平行的边长为总栅栏长度减去2倍垂直边长，即(60-2x)m，再根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程求解即可。
(2) 求解方案二的最值问题时，首先设与墙平行的边长为t m，注意两侧各有3m宽的进出口无需栅栏，且有3条与墙垂直的栅栏，因此可先求出每条垂直边的长度，再根据面积公式列出面积关于t的二次函数，将函数化为顶点式后，结合二次函数开口方向即可确定最大值对应的t值。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60−2x)m。
根据题意列方程：$x(60−2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m²。
由题意，3条与墙垂直的栅栏总长度为$60+3×2 - t=66-t$，因此每条垂直边长为$\frac{66-t}{3}$m。
则面积$S=t·\frac{66-t}{3}=-\frac{1}{3}t^2+22t$
化为顶点式得：$S=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$
∵ $-\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$t=33$时，S取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15 m；
(2) 要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33 m
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查方程与函数的应用，解题关键是理清栅栏长度和矩形边长的对应关系，第二问需注意不要忽略进出口无需栅栏的条件，掌握基础的方程解法和二次函数性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
