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3 [2024泰安]如图,抛物线$C_1:y=ax^2+\frac{4}{3}x-4$经过点$D(1,-1)$,与$x$轴交于点$A,B$.
(1) 求抛物线$C_1$对应的函数表达式.
(2) 将抛物线$C_1$先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到抛物线$C_2$,求抛物线$C_2$对应的函数表达式,并判断点$D$是否在抛物线$C_2$上.
(3) 在$x$轴上方的抛物线$C_2$上,是否存在点$P$,使$△ PBD$是等腰直角三角形?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求抛物线$C_1$对应的函数表达式.
(2) 将抛物线$C_1$先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到抛物线$C_2$,求抛物线$C_2$对应的函数表达式,并判断点$D$是否在抛物线$C_2$上.
(3) 在$x$轴上方的抛物线$C_2$上,是否存在点$P$,使$△ PBD$是等腰直角三角形?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 将$D(1,-1)$代入$y=ax^2+\frac{4}{3}x-4$,得$-1=a+\frac{4}{3}-4$,解得$a=\frac{5}{3}$.$\therefore$ 抛物线$C_1$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$.
(2) 由题意,得$C_2:y=\frac{5}{3}(x-1)^2+\frac{4}{3}(x-1)-4+3=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}$.当$x=1$时,$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=\frac{5}{3}×(1-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=-1$,$\therefore$ 点$D$在抛物线$C_2$上.
(3) 存在 在$y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$中,令$y=0$,则$\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=\frac{6}{5}$.$\therefore B(-2,0)$.若$∠ BDP$为直角,则$BD=PD$,如图①,过点$D$作$GH// x$轴,分别过点$B$,$P$作$GH$的垂线,垂足分别为$G$,$H$.$\because ∠ BDG+∠ PDH=90°$,$∠ PDH+∠ DPH=90°$,$\therefore ∠ BDG=∠ DPH$.$\because ∠ DGB=∠ PHD=90°$,$BD=DP$,$\therefore △ DGB≌△ PHD$.$\therefore DH=BG=1$,$PH=GD=1+2=3$.$\therefore$ 易得$P(2,2)$.当$x=2$时,$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=\frac{5}{3}×(2-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=2$,即点$P$在抛物线$C_2$上.若$∠ DBP$为直角,如图②,同理可得$△ BGP≌△ DHB$,$\therefore BG=DH=3$,$GP=BH=1$.$\therefore$ 易得$P(-1,3)$.当$x=-1$时,$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=\frac{5}{3}×(-1-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=3$,即点$P$在抛物线$C_2$上.若$∠ BPD$为直角,如图③,同理可得$△ PHB≌△ DGP$,$\therefore PH=DG$,$BH=PG$.设$P(x,y)$,则$PH=x+2$,$GD=y+1$,$BH=y$,$GP=1-x$.$\therefore \begin{cases}x+2=y+1,\\y=1-x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=0,\\y=1.\end{cases}$ $\therefore P(0,1)$.当$x=0$时,$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=\frac{5}{3}×(0-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}≠1$,即点$P$不在抛物线$C_2$上.综上所述,点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$.
解析
【分析】
(1) 抛物线$C_1$的表达式仅含待定系数$a$，且已知点$D$在$C_1$上，直接将点$D$坐标代入表达式，求解关于$a$的方程即可得到$C_1$的解析式。
(2) 抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的规律，按平移要求对$C_1$的表达式变形即可得到$C_2$的解析式；判断点$D$是否在$C_2$上，只需将$x=1$代入$C_2$的解析式，验证计算出的$y$值是否与点$D$的纵坐标相等即可。
(3) 先令$C_1$的$y=0$，解方程求出点$B$的坐标。探究等腰直角$△ PBD$的存在性需分三类讨论：直角顶点分别为$D$、$B$、$P$，每类情况通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质推导点$P$的坐标，再代入$C_2$的解析式验证是否在抛物线上，同时保证点$P$在$x$轴上方，最终筛选出符合条件的点。
【解析】
(1) 将$D(1,-1)$代入$y=ax^2+\frac{4}{3}x-4$，得：
$-1=a+\frac{4}{3}-4$
解得$a=\frac{5}{3}$
$\therefore$抛物线$C_1$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$。
(2) 根据平移规律，将$C_1$向右平移1个单位、向上平移3个单位后，$C_2$的表达式为：
$y=\frac{5}{3}(x-1)^2+\frac{4}{3}(x-1)-4+3$
整理得$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}$
将$x=1$代入$C_2$的表达式，得：
$y=\frac{5}{3}×(1-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=-1$，与点$D$的纵坐标一致，$\therefore$点$D$在抛物线$C_2$上。
(3) 存在，理由如下：
在$y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$中，令$y=0$，得$\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{6}{5}$，$\therefore B(-2,0)$。
① 若$∠ BDP$为直角且$BD=PD$，过点$D$作$GH// x$轴，分别过点$B$、$P$作$GH$的垂线，垂足为$G$、$H$。
$\because ∠ BDG+∠ PDH=90°$，$∠ PDH+∠ DPH=90°$，$\therefore ∠ BDG=∠ DPH$。
又$\because ∠ DGB=∠ PHD=90°$，$BD=DP$，$\therefore △ DGB≌△ PHD$（AAS）。
$\therefore DH=BG=1$，$PH=GD=3$，可得$P(2,2)$。
将$x=2$代入$C_2$解析式，得$y=2$，符合点在抛物线上且在$x$轴上方的要求。
② 若$∠ DBP$为直角且$BD=PB$，同理可证$△ BGP≌△ DHB$，得$BG=DH=3$，$GP=BH=1$，可得$P(-1,3)$。
将$x=-1$代入$C_2$解析式，得$y=3$，符合要求。
③ 若$∠ BPD$为直角且$PB=PD$，同理可证$△ PHB≌△ DGP$，设$P(x,y)$，列方程组$\begin{cases}x+2=y+1\\y=1-x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}$，即$P(0,1)$。
将$x=0$代入$C_2$解析式，得$y=-\frac{2}{3}≠1$，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的点$P$坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$。
【答案】
(1) $y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$
(2) 抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}$，点$D$在抛物线$C_2$上。
(3) 存在，点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象平移；等腰直角三角形存在性
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的基础性质、平移规律，以及结合几何性质的存在性探究问题，解题过程需要运用分类讨论思想，通过构造全等三角形建立坐标关系，同时要注意验证所得点是否符合所有题设条件，对逻辑推理能力有较高的锻炼价值。
【难度系数】
0.4
(1) 抛物线$C_1$的表达式仅含待定系数$a$，且已知点$D$在$C_1$上，直接将点$D$坐标代入表达式，求解关于$a$的方程即可得到$C_1$的解析式。
(2) 抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的规律，按平移要求对$C_1$的表达式变形即可得到$C_2$的解析式；判断点$D$是否在$C_2$上，只需将$x=1$代入$C_2$的解析式，验证计算出的$y$值是否与点$D$的纵坐标相等即可。
(3) 先令$C_1$的$y=0$，解方程求出点$B$的坐标。探究等腰直角$△ PBD$的存在性需分三类讨论：直角顶点分别为$D$、$B$、$P$，每类情况通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质推导点$P$的坐标，再代入$C_2$的解析式验证是否在抛物线上，同时保证点$P$在$x$轴上方，最终筛选出符合条件的点。
【解析】
(1) 将$D(1,-1)$代入$y=ax^2+\frac{4}{3}x-4$，得：
$-1=a+\frac{4}{3}-4$
解得$a=\frac{5}{3}$
$\therefore$抛物线$C_1$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$。
(2) 根据平移规律，将$C_1$向右平移1个单位、向上平移3个单位后，$C_2$的表达式为：
$y=\frac{5}{3}(x-1)^2+\frac{4}{3}(x-1)-4+3$
整理得$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}$
将$x=1$代入$C_2$的表达式，得：
$y=\frac{5}{3}×(1-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}=-1$，与点$D$的纵坐标一致，$\therefore$点$D$在抛物线$C_2$上。
(3) 存在，理由如下：
在$y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$中，令$y=0$，得$\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{6}{5}$，$\therefore B(-2,0)$。
① 若$∠ BDP$为直角且$BD=PD$，过点$D$作$GH// x$轴，分别过点$B$、$P$作$GH$的垂线，垂足为$G$、$H$。
$\because ∠ BDG+∠ PDH=90°$，$∠ PDH+∠ DPH=90°$，$\therefore ∠ BDG=∠ DPH$。
又$\because ∠ DGB=∠ PHD=90°$，$BD=DP$，$\therefore △ DGB≌△ PHD$（AAS）。
$\therefore DH=BG=1$，$PH=GD=3$，可得$P(2,2)$。
将$x=2$代入$C_2$解析式，得$y=2$，符合点在抛物线上且在$x$轴上方的要求。
② 若$∠ DBP$为直角且$BD=PB$，同理可证$△ BGP≌△ DHB$，得$BG=DH=3$，$GP=BH=1$，可得$P(-1,3)$。
将$x=-1$代入$C_2$解析式，得$y=3$，符合要求。
③ 若$∠ BPD$为直角且$PB=PD$，同理可证$△ PHB≌△ DGP$，设$P(x,y)$，列方程组$\begin{cases}x+2=y+1\\y=1-x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}$，即$P(0,1)$。
将$x=0$代入$C_2$解析式，得$y=-\frac{2}{3}≠1$，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的点$P$坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$。
【答案】
(1) $y=\frac{5}{3}x^2+\frac{4}{3}x-4$
(2) 抛物线$C_2$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{3}(x-\frac{3}{5})^2-\frac{19}{15}$，点$D$在抛物线$C_2$上。
(3) 存在，点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象平移；等腰直角三角形存在性
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的基础性质、平移规律，以及结合几何性质的存在性探究问题，解题过程需要运用分类讨论思想，通过构造全等三角形建立坐标关系，同时要注意验证所得点是否符合所有题设条件，对逻辑推理能力有较高的锻炼价值。
【难度系数】
0.4
4 [2025 西宁]如图,在平面直角坐标系中,以 P为顶点的抛物线对应的函数表达式为 $y=ax^2 -4ax(a＜0)$,点 A 的坐标是 $(-1,0)$,以原点为中心,把点 A 顺时针旋转 $90°$,得到点 $A'$.
(1) 直接写出点 $A'$ 的坐标和抛物线的对称轴.
(2) 当 $3≤ x≤5$ 时, $y$ 有最大值为 $1-2a$,求抛物线对应的函数表达式.
(3) 在(2)的条件下,若点 M 在 $y$ 轴上,点 N在坐标平面内,是否存在以 $A',P,M,N$ 为顶点的四边形是矩形? 若存在,请求出所有符合条件的点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 直接写出点 $A'$ 的坐标和抛物线的对称轴.
(2) 当 $3≤ x≤5$ 时, $y$ 有最大值为 $1-2a$,求抛物线对应的函数表达式.
(3) 在(2)的条件下,若点 M 在 $y$ 轴上,点 N在坐标平面内,是否存在以 $A',P,M,N$ 为顶点的四边形是矩形? 若存在,请求出所有符合条件的点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 点$A'$的坐标为$(0,1)$,抛物线的对称轴为直线$x=2$.
(2) $\because$ 抛物线$y=ax^2-4ax(a＜0)$的对称轴为直线$x=2$,$\therefore$ 当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小.$\because 3≤ x≤5$,$\therefore$ 当$x=3$时,$y$有最大值为$9a-4×3a=-3a=1-2a$.$\therefore a=-1$.$\therefore y=-x^2+4x$.
(3) 存在 $\because y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,$\therefore P(2,4)$.设$M(0,m)$,$N(s,t)$.由(1)知,$A'(0,1)$,当以$A',P,M,N$为顶点的四边形是矩形时,分三种情况讨论:① 当$A'P$为对角线时,则$△ A'MP$是以$M$为顶点的直角三角形,$PN// A'M$,即$PN// y$轴,$A'N// PM$,$\therefore PM⊥ y$轴.$\therefore A'N⊥ y$轴.$\therefore M(0,4)$,$N(2,1)$.② 当以$A'M$为对角线时,则$\begin{cases}0+0=2+s,\\1+m=4+t,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}s=-2,\\m=t+3.\end{cases}$ $\therefore M(0,t+3)$,$N(-2,t)$.$\because A'M=PN$,$\therefore (t+3-1)^2=(2+2)^2+(4-t)^2$,解得$t=\frac{7}{3}$.$\therefore N(-2,\frac{7}{3})$.③ 当以$PM$为对角线时,要满足以$A',P,M,N$为顶点的四边形是矩形,则需要满足$△ A'PM$是以$∠ PA'M$为直角的直角三角形,即$PA'⊥ y$轴,与题意不符,故此种情况不存在.综上所述,点$N$的坐标为$(2,1)$或$(-2,\frac{7}{3})$.
(2) $\because$ 抛物线$y=ax^2-4ax(a＜0)$的对称轴为直线$x=2$,$\therefore$ 当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小.$\because 3≤ x≤5$,$\therefore$ 当$x=3$时,$y$有最大值为$9a-4×3a=-3a=1-2a$.$\therefore a=-1$.$\therefore y=-x^2+4x$.
(3) 存在 $\because y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,$\therefore P(2,4)$.设$M(0,m)$,$N(s,t)$.由(1)知,$A'(0,1)$,当以$A',P,M,N$为顶点的四边形是矩形时,分三种情况讨论:① 当$A'P$为对角线时,则$△ A'MP$是以$M$为顶点的直角三角形,$PN// A'M$,即$PN// y$轴,$A'N// PM$,$\therefore PM⊥ y$轴.$\therefore A'N⊥ y$轴.$\therefore M(0,4)$,$N(2,1)$.② 当以$A'M$为对角线时,则$\begin{cases}0+0=2+s,\\1+m=4+t,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}s=-2,\\m=t+3.\end{cases}$ $\therefore M(0,t+3)$,$N(-2,t)$.$\because A'M=PN$,$\therefore (t+3-1)^2=(2+2)^2+(4-t)^2$,解得$t=\frac{7}{3}$.$\therefore N(-2,\frac{7}{3})$.③ 当以$PM$为对角线时,要满足以$A',P,M,N$为顶点的四边形是矩形,则需要满足$△ A'PM$是以$∠ PA'M$为直角的直角三角形,即$PA'⊥ y$轴,与题意不符,故此种情况不存在.综上所述,点$N$的坐标为$(2,1)$或$(-2,\frac{7}{3})$.
解析
【分析】
(1) 求点$A'$坐标可利用平面内点绕原点顺时针旋转$90°$的坐标变化规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(y,-x)$，代入$A(-1,0)$即可求解；求抛物线对称轴可直接代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。
(2) 已知$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，给定区间$3≤ x≤5$在对称轴右侧，因此最大值出现在$x=3$处，代入表达式结合最大值条件列方程求解$a$即可。
(3) 先求出顶点$P$的坐标，再分三种情况讨论：分别以$A'P$、$A'M$、$PM$为矩形的对角线，利用矩形对角线互相平分且相等的性质列方程求解，排除不符合条件的情况即可得到所有$N$点坐标。
【解析】
(1) 点$A(-1,0)$绕原点顺时针旋转$90°$，根据旋转性质得$A'(0,1)$；抛物线$y=ax^2-4ax$的对称轴为直线$x=-\frac{-4a}{2a}=2$。
(2) $\because$ 抛物线$y=ax^2-4ax(a＜0)$开口向下，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$ 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because 3≤ x≤5$在对称轴右侧，$\therefore$ 当$x=3$时$y$取最大值，代入得$y=9a-4×3a=-3a$。
由题知最大值为$1-2a$，$\therefore -3a=1-2a$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+4x$。
(3) 存在，理由如下：
由(2)得$y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$，$\therefore$ 顶点$P(2,4)$。设$M(0,m)$，$N(s,t)$，已知$A'(0,1)$，分三种情况讨论：
① 当$A'P$为矩形对角线时，$△ A'MP$是以$M$为直角顶点的直角三角形，此时$PM⊥ y$轴，$A'N// PM$，即$A'N⊥ y$轴，得$M(0,4)$，根据矩形对边平行且相等可得$N(2,1)$。
② 当$A'M$为矩形对角线时，根据矩形对角线互相平分，可得中点坐标相同，列方程组：
$\begin{cases}\frac{0+0}{2}=\frac{2+s}{2}\\\frac{1+m}{2}=\frac{4+t}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}s=-2\\m=t+3\end{cases}$。
再由矩形对角线相等$A'M=PN$，列方程：$(t+3-1)^2=(2+2)^2+(4-t)^2$，解得$t=\frac{7}{3}$，$\therefore N(-2,\frac{7}{3})$。
③ 当$PM$为矩形对角线时，若四边形为矩形需$∠ PA'M=90°$，即$PA'⊥ y$轴，与$P(2,4)$、$A'(0,1)$的坐标关系矛盾，故此种情况不存在。
综上，符合条件的$N$点坐标为$(2,1)$或$(-2,\frac{7}{3})$。
【答案】
(1) 点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(0,1)}$，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$；
(2) 抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x}$；
(3) 存在，符合条件的点$N$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$或$\boldsymbol{(-2,\frac{7}{3})}$。
【知识点】
坐标旋转变换，二次函数的图象与性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何综合题，融合了坐标旋转、二次函数最值、矩形存在性等考点，解题时需灵活运用分类讨论思想，避免漏解，同时要熟练掌握二次函数和矩形的性质，结合坐标关系列式求解。
【难度系数】
0.6
(1) 求点$A'$坐标可利用平面内点绕原点顺时针旋转$90°$的坐标变化规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(y,-x)$，代入$A(-1,0)$即可求解；求抛物线对称轴可直接代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。
(2) 已知$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，给定区间$3≤ x≤5$在对称轴右侧，因此最大值出现在$x=3$处，代入表达式结合最大值条件列方程求解$a$即可。
(3) 先求出顶点$P$的坐标，再分三种情况讨论：分别以$A'P$、$A'M$、$PM$为矩形的对角线，利用矩形对角线互相平分且相等的性质列方程求解，排除不符合条件的情况即可得到所有$N$点坐标。
【解析】
(1) 点$A(-1,0)$绕原点顺时针旋转$90°$，根据旋转性质得$A'(0,1)$；抛物线$y=ax^2-4ax$的对称轴为直线$x=-\frac{-4a}{2a}=2$。
(2) $\because$ 抛物线$y=ax^2-4ax(a＜0)$开口向下，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$ 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because 3≤ x≤5$在对称轴右侧，$\therefore$ 当$x=3$时$y$取最大值，代入得$y=9a-4×3a=-3a$。
由题知最大值为$1-2a$，$\therefore -3a=1-2a$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+4x$。
(3) 存在，理由如下：
由(2)得$y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$，$\therefore$ 顶点$P(2,4)$。设$M(0,m)$，$N(s,t)$，已知$A'(0,1)$，分三种情况讨论：
① 当$A'P$为矩形对角线时，$△ A'MP$是以$M$为直角顶点的直角三角形，此时$PM⊥ y$轴，$A'N// PM$，即$A'N⊥ y$轴，得$M(0,4)$，根据矩形对边平行且相等可得$N(2,1)$。
② 当$A'M$为矩形对角线时，根据矩形对角线互相平分，可得中点坐标相同，列方程组：
$\begin{cases}\frac{0+0}{2}=\frac{2+s}{2}\\\frac{1+m}{2}=\frac{4+t}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}s=-2\\m=t+3\end{cases}$。
再由矩形对角线相等$A'M=PN$，列方程：$(t+3-1)^2=(2+2)^2+(4-t)^2$，解得$t=\frac{7}{3}$，$\therefore N(-2,\frac{7}{3})$。
③ 当$PM$为矩形对角线时，若四边形为矩形需$∠ PA'M=90°$，即$PA'⊥ y$轴，与$P(2,4)$、$A'(0,1)$的坐标关系矛盾，故此种情况不存在。
综上，符合条件的$N$点坐标为$(2,1)$或$(-2,\frac{7}{3})$。
【答案】
(1) 点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(0,1)}$，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$；
(2) 抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x}$；
(3) 存在，符合条件的点$N$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$或$\boldsymbol{(-2,\frac{7}{3})}$。
【知识点】
坐标旋转变换，二次函数的图象与性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何综合题，融合了坐标旋转、二次函数最值、矩形存在性等考点，解题时需灵活运用分类讨论思想，避免漏解，同时要熟练掌握二次函数和矩形的性质，结合坐标关系列式求解。
【难度系数】
0.6
