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9.【跨学科·语文】我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数.”若设周瑜逝世年龄的个位数字为$ x $，则根据题意可列方程为 （
A.$(x + 3) + 10x = x^2$
B.$10(x - 3) + x = x^2$
C.$10(x - 3) - x = x^2$
D.$10 + (x - 3) = x^2$
B
）A.$(x + 3) + 10x = x^2$
B.$10(x - 3) + x = x^2$
C.$10(x - 3) - x = x^2$
D.$10 + (x - 3) = x^2$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时需先抓住两个核心要点：一是两位数的表示方法，二是题目给出的等量关系。首先根据设出的个位数字x，结合“十位比个位小3”推导十位数字的表达式，再按两位数的表示规则写出周瑜的年龄，最后根据“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 推导十位数字：已知个位数字为$x$，十位数字比个位数字小3，因此十位数字为$x-3$。
2. 表示年龄：两位数的表示规则为$10×十位数字 + 个位数字$，因此周瑜的年龄可表示为$10(x-3) + x$。
3. 列方程：根据“个位数字的平方恰好等于该年龄”的等量关系，可列方程为$10(x - 3) + x = x^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；两位数的表示
【点评】
本题结合古诗文背景考查数字类实际问题的方程列写，解题关键是掌握两位数的正确表示方法，精准提取题目中的等量关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时需先抓住两个核心要点：一是两位数的表示方法，二是题目给出的等量关系。首先根据设出的个位数字x，结合“十位比个位小3”推导十位数字的表达式，再按两位数的表示规则写出周瑜的年龄，最后根据“个位数字的平方等于这个两位数”的等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 推导十位数字：已知个位数字为$x$，十位数字比个位数字小3，因此十位数字为$x-3$。
2. 表示年龄：两位数的表示规则为$10×十位数字 + 个位数字$，因此周瑜的年龄可表示为$10(x-3) + x$。
3. 列方程：根据“个位数字的平方恰好等于该年龄”的等量关系，可列方程为$10(x - 3) + x = x^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；两位数的表示
【点评】
本题结合古诗文背景考查数字类实际问题的方程列写，解题关键是掌握两位数的正确表示方法，精准提取题目中的等量关系，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
10.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，则增加了
3
行.答案
10.3
解析
【分析】
首先梳理题目中的数量关系：原有队伍为6行8列，可先计算出原有人数；已知增加的行、列数相同，我们设增加的行（列）数为未知数x，即可表示出增加后的行数为(6+x)、列数为(8+x)；再根据“增加后总人数=原有人数+新增人数”的等量关系列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设增加了x行，则增加的列数也为x。
原有队伍人数：$6×8=48$（人）
根据总人数的等量关系列方程：
$(6+x)(8+x)=48+51$
展开并整理方程：
$x^2+14x+48=99$
$x^2+14x-51=0$
因式分解得：
$(x+17)(x-3)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-17$
因为增加的行数不能为负数，因此舍去$x=-17$，即$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 实际问题的根检验
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是找准人数变化的等量关系列方程，求解后要注意结合实际情境判断根的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目中的数量关系：原有队伍为6行8列，可先计算出原有人数；已知增加的行、列数相同，我们设增加的行（列）数为未知数x，即可表示出增加后的行数为(6+x)、列数为(8+x)；再根据“增加后总人数=原有人数+新增人数”的等量关系列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设增加了x行，则增加的列数也为x。
原有队伍人数：$6×8=48$（人）
根据总人数的等量关系列方程：
$(6+x)(8+x)=48+51$
展开并整理方程：
$x^2+14x+48=99$
$x^2+14x-51=0$
因式分解得：
$(x+17)(x-3)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-17$
因为增加的行数不能为负数，因此舍去$x=-17$，即$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 实际问题的根检验
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是找准人数变化的等量关系列方程，求解后要注意结合实际情境判断根的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
11.印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的$\frac{1}{8}$的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？
答案
11.解:设猴子总数为 $x$ 只,根据题意,得 $(\frac{1}{8}x)^2+12=x$,解得 $x_1=48,x_2=16$. 答:猴子总数为 48 只或 16 只.
解析
【分析】
这是一道列方程解应用题的古算题，解题思路如下：第一步先审题找等量关系，本题的核心等量关系为“第一队猴子数量+第二队猴子数量=猴子总数量”；第二步设未知数，设猴子总数量为x只，用含x的式子表示出第一队猴子的数量为$(\frac{1}{8}x)^2$；第三步根据等量关系列出一元二次方程；第四步求解方程，最后检验所得的解是否符合实际意义（猴子数量为正整数）即可得到答案。
【解析】
解：设猴子总数为$x$只，根据题意可列方程：
$(\frac{1}{8}x)^2 + 12 = x$
整理方程，两边同时乘64得：
$x^2 - 64x + 768 = 0$
因式分解得：
$(x - 16)(x - 48) = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 48$
经检验，$x_1=16$和$x_2=48$均为正整数，符合猴子数量的实际意义。
答：猴子总数为48只或16只。
【答案】
48只或16只
【知识点】
一元二次方程的应用；列方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题以古代数学问题为背景，重点考查将文字语言转化为数学方程的能力，解题时需准确抓住等量关系列方程，同时要注意验证方程的解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道列方程解应用题的古算题，解题思路如下：第一步先审题找等量关系，本题的核心等量关系为“第一队猴子数量+第二队猴子数量=猴子总数量”；第二步设未知数，设猴子总数量为x只，用含x的式子表示出第一队猴子的数量为$(\frac{1}{8}x)^2$；第三步根据等量关系列出一元二次方程；第四步求解方程，最后检验所得的解是否符合实际意义（猴子数量为正整数）即可得到答案。
【解析】
解：设猴子总数为$x$只，根据题意可列方程：
$(\frac{1}{8}x)^2 + 12 = x$
整理方程，两边同时乘64得：
$x^2 - 64x + 768 = 0$
因式分解得：
$(x - 16)(x - 48) = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 48$
经检验，$x_1=16$和$x_2=48$均为正整数，符合猴子数量的实际意义。
答：猴子总数为48只或16只。
【答案】
48只或16只
【知识点】
一元二次方程的应用；列方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题以古代数学问题为背景，重点考查将文字语言转化为数学方程的能力，解题时需准确抓住等量关系列方程，同时要注意验证方程的解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
12.某校举办中国象棋比赛，比赛形式为单循环(即每两人之间只比赛一次)，每局比赛胜者得2分，负者得0分；如果下成平局，则各得1分。试问：所有参赛选手的得分总和能否为240分？如果能，参赛人数有多少人？若不能，说明理由。
答案
12.解:能. 理由如下:设参赛人数是 $x$ 人,根据题意,得 $\frac{x(x-1)}{2}×2=240$. 整理,得 $x^2-x-240=0$. 解方程,得 $x_1=16,x_2=-15$(不合题意,舍去). 答:所有参赛选手的得分总和能为 240 分,参赛人数是 16 人.
解析
【分析】
要判断总得分能否为240分，可按以下思路推导：首先明确单循环比赛的总场数计算规则，若有x名参赛选手，每两人仅比赛1次，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$场；其次观察得分规则，无论单局比赛是分出胜负（胜者2分+负者0分，总得分2分）还是平局（两人各得1分，总得分2分），每局比赛的总得分恒为2分，因此所有选手的总得分=总场数×2。据此可设参赛人数为x，结合总得分240分列方程求解，若得到正整数解则说明总得分可以达到，否则不能。
【解析】
解：能，理由如下：
设参赛人数是$x$人，根据题意得：
$\frac{x(x-1)}{2}×2=240$
整理，得 $x^2 - x - 240 = 0$
解方程，得 $x_1=16$，$x_2=-15$（参赛人数不能为负，不合题意，舍去）
答：所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数是16人。
【答案】
所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数是16人。
【知识点】
单循环场数计算、一元二次方程应用、实际问题验根
【点评】
本题解题的突破口是挖掘出“每局比赛总得分恒为2分”这一隐含等量关系，无需单独分析胜负平的不同得分情况，同时要注意结合实际问题对方程的解进行合理性检验，舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.7
要判断总得分能否为240分，可按以下思路推导：首先明确单循环比赛的总场数计算规则，若有x名参赛选手，每两人仅比赛1次，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$场；其次观察得分规则，无论单局比赛是分出胜负（胜者2分+负者0分，总得分2分）还是平局（两人各得1分，总得分2分），每局比赛的总得分恒为2分，因此所有选手的总得分=总场数×2。据此可设参赛人数为x，结合总得分240分列方程求解，若得到正整数解则说明总得分可以达到，否则不能。
【解析】
解：能，理由如下：
设参赛人数是$x$人，根据题意得：
$\frac{x(x-1)}{2}×2=240$
整理，得 $x^2 - x - 240 = 0$
解方程，得 $x_1=16$，$x_2=-15$（参赛人数不能为负，不合题意，舍去）
答：所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数是16人。
【答案】
所有参赛选手的得分总和能为240分，参赛人数是16人。
【知识点】
单循环场数计算、一元二次方程应用、实际问题验根
【点评】
本题解题的突破口是挖掘出“每局比赛总得分恒为2分”这一隐含等量关系，无需单独分析胜负平的不同得分情况，同时要注意结合实际问题对方程的解进行合理性检验，舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.7
13.有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究：
|点数|2|3|4|5|…|n|
|----|----|----|----|----|----|----|
|示意图|（两点线段）|（三点三角形）|
|（五点连线图）|…|（n点连线图）|
|直线|1|$2+1=\frac{2×3}{2}$|$3+2+1=\frac{3×4}{2}$|$4+3+2+1=\frac{4×5}{2}$|…| |
(1)当点数$n=10$时，直线的条数是
(2)请你帮小明在下列横线上填上归纳出的一般性结论：
(3)若某人共画了190条直线，则该平面上共有多少个点？
|点数|2|3|4|5|…|n|
|----|----|----|----|----|----|----|
|示意图|（两点线段）|（三点三角形）|
|（五点连线图）|…|（n点连线图）||直线|1|$2+1=\frac{2×3}{2}$|$3+2+1=\frac{3×4}{2}$|$4+3+2+1=\frac{4×5}{2}$|…| |
(1)当点数$n=10$时，直线的条数是
45
；(2)请你帮小明在下列横线上填上归纳出的一般性结论：
$\frac{n(n-1)}{2}$
；(3)若某人共画了190条直线，则该平面上共有多少个点？
答案
13.解:(1)45 (2)$\frac{n(n-1)}{2}$ (3)当$\frac{n(n-1)}{2}=190$时,整理,得 $n^2-n-380=0$. 解得 $n_1=20,n_2=-19$(不合题意,舍去). 答:该平面上共有 20 个点.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先观察表格中特殊点数对应的直线条数的规律：n个点（任意三点不共线）时，每个点可与其余(n-1)个点连接成直线，总连线数n(n-1)中每条直线被重复计算2次，因此实际直线数为$\frac{n(n-1)}{2}$，也可通过等差数列求和（从1加到n-1）得到该公式；2. 第(1)问直接将n=10代入公式计算即可；3. 第(2)问根据特殊值的规律归纳出n个点对应的直线条数公式；4. 第(3)问令公式等于190，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1) 根据归纳的规律，n个点对应的直线条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，将n=10代入得：
$\frac{10×(10-1)}{2}=\frac{10×9}{2}=45$。
(2) 观察表格中2、3、4、5个点对应的直线条数表达式，可归纳出一般性结论：平面内有n个点（任意3个点不在同一直线上）时，总共可画直线的条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 设该平面上共有n个点，根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=190$
去分母整理得：$n^2 -n -380=0$
解这个一元二次方程，得$n_1=20$，$n_2=-19$。
因为点的个数为正整数，所以$n_2=-19$不符合题意，舍去。
即该平面上共有20个点。
【答案】
(1)45；(2)$\frac{n(n-1)}{2}$；(3)20个
【知识点】
1. 图形规律探究 2. 一元二次方程的应用 3. 两点确定一条直线
【点评】
本题将直线的基本性质与规律探究、方程应用结合，考查从特殊到一般的归纳能力，解题时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先观察表格中特殊点数对应的直线条数的规律：n个点（任意三点不共线）时，每个点可与其余(n-1)个点连接成直线，总连线数n(n-1)中每条直线被重复计算2次，因此实际直线数为$\frac{n(n-1)}{2}$，也可通过等差数列求和（从1加到n-1）得到该公式；2. 第(1)问直接将n=10代入公式计算即可；3. 第(2)问根据特殊值的规律归纳出n个点对应的直线条数公式；4. 第(3)问令公式等于190，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1) 根据归纳的规律，n个点对应的直线条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，将n=10代入得：
$\frac{10×(10-1)}{2}=\frac{10×9}{2}=45$。
(2) 观察表格中2、3、4、5个点对应的直线条数表达式，可归纳出一般性结论：平面内有n个点（任意3个点不在同一直线上）时，总共可画直线的条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 设该平面上共有n个点，根据题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=190$
去分母整理得：$n^2 -n -380=0$
解这个一元二次方程，得$n_1=20$，$n_2=-19$。
因为点的个数为正整数，所以$n_2=-19$不符合题意，舍去。
即该平面上共有20个点。
【答案】
(1)45；(2)$\frac{n(n-1)}{2}$；(3)20个
【知识点】
1. 图形规律探究 2. 一元二次方程的应用 3. 两点确定一条直线
【点评】
本题将直线的基本性质与规律探究、方程应用结合，考查从特殊到一般的归纳能力，解题时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.7
