1. 已知$abc≠0$,下列方程:$ax^2+bx+c=0$①;$bx^2+cx+a=0$②;$cx^2+ax+b=0$③恰有一个公共解,求出$a,b,c$满足的条件并求出方程①②③的解.

解:设这个公共解为 r,则$ar^2+br+c=0$④;$br^2+cr+a=0$⑤;$cr^2+ar+b=0$⑥. ④+⑤+⑥,得$(ar^2+br+c)+(br^2+cr+a)+(cr^2+ar+b)=0$. 整理,得$(a+b+c)(r^2+r+1)=0$. 当$a+b+c=0$时,无论 r 为何值,上式恒成立;当$r^2+r+1=0$时,$\because \Delta=1-4=-3＜0$,$\therefore$此方程无实数根.$\therefore r^2+r+1=0$不成立. 综上所述,a,b,c 满足的条件是$a+b+c=0$. 由$a+b+c=0$,得$c=-a-b$. 代入方程①,得$ax^2+bx-a-b=0$. 整理,得$(x-1)[a(x+1)+b]=0$.$\therefore$方程①的根为$x=1$或$x=-\frac{b}{a}-1$. 同理,将$c=-a-b$代入方程②,得$bx^2+(-a-b)x+a=0$. 将$x=1$代入$bx^2-(a+b)x+a=0$,得$b-a-b+a=0$.$\therefore x=1$也是方程②的根. 同理,将$c=-a-b$代入方程③,得$(-a-b)x^2+ax+b=0$. 将$x=1$代入$(-a-b)x^2+ax+b=0$,得$-a-b+a+b=0$.$\therefore x=1$也是方程③的根.$\therefore$当$a+b+c=0$时,三个方程都有一个公共解为$x=1$.

【分析】
要解决三个一元二次方程恰有一个公共解的问题，首先设这个公共解为r，代入三个方程得到三个关于r和a,b,c的等式，将三个等式相加整理后因式分解，得到两个因式相乘为0的形式，再结合一元二次方程根的判别式判断哪个因式可以为0，从而得到a,b,c的关系，最后将该关系代入原方程，用因式分解法求出各方程的解即可。
【解析】
设三个方程的公共解为r，将x=r分别代入三个方程，得：
$ar^2+br+c=0$ ④
$br^2+cr+a=0$ ⑤
$cr^2+ar+b=0$ ⑥
将④+⑤+⑥，整理可得：
$(a+b+c)r^2 + (a+b+c)r + (a+b+c) = 0$
提取公因式得：$(a+b+c)(r^2 + r + 1) = 0$
分情况讨论：
1. 若$r^2 + r +1 =0$，该方程的判别式$\Delta=1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，无实数根，不符合要求，该情况不成立。
2. 因此只能是$a+b+c=0$，即a,b,c满足的条件为$a+b+c=0$。
求各方程的解：
由$a+b+c=0$得$c=-a-b$，代入方程①：
$ax^2 + bx -a -b =0$
变形为$a(x^2 -1) + b(x -1) = 0$，因式分解得$(x-1)[a(x+1)+b]=0$
解得$x=1$或$x=-\frac{a+b}{a}$。
同理将$c=-a-b$代入方程②：
$bx^2 + (-a-b)x + a = 0$，因式分解得$(x-1)[b(x+1)-a]=0$
解得$x=1$或$x=-\frac{b+c}{b}$。
将$c=-a-b$代入方程③：
$(-a-b)x^2 + ax + b = 0$，因式分解得$(x-1)[c(x+1)+a]=0$
解得$x=1$或$x=-\frac{a+c}{c}$。
验证可知x=1是三个方程的公共解，符合题意。
【答案】
a,b,c满足的条件是$a+b+c=0$；三个方程的公共解为$x=1$，方程①的解为$x=1$和$x=-\frac{a+b}{a}$，方程②的解为$x=1$和$x=-\frac{b+c}{b}$，方程③的解为$x=1$和$x=-\frac{a+c}{c}$。
【知识点】
一元二次方程解的定义、因式分解法解方程、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程公共解问题的典型题型，核心方法是设公共解代入方程后累加变形，快速推导系数关系，解题时要注意结合判别式排除无实根的情况，该思路可迁移到同类多方程公共解的问题中。
【难度系数】
0.6

2.已知方程$x^2 -kx -7=0$①与$x^2 -6x -(k+1)=0$②有一个公共根，求这个公共根及k的值.

解:②-①,得$(-6+k)x+(6-k)=0$. 当$-6+k=0$,即$k=6$时,两个方程相同,都为$x^2-6x-7=0$. 此时 x 取任意值,两个方程的解都相同,故不合题意,舍去;当$k≠6$时,解得$x=1$. 把$x=1$代入$x^2-kx-7=0$,得$1-k-7=0$,解得$k=-6$. 此时两方程为$x^2+6x-7=0$①,$x^2-6x+5=0$②. 解方程①,得$x_1=1$,$x_2=-7$. 解方程②,得$x_1=1$,$x_2=5$.$\therefore$这个公共根是$x=1$,k 的值是$-6$.

【分析】
遇到两个一元二次方程有公共根的问题，首先公共根同时满足两个方程，因此可以通过将两个方程作差消去二次项，得到关于公共根和参数k的一次方程，再分类讨论一次项系数的取值：若一次项系数为0，说明两个方程完全相同，存在两个公共根，不符合题意需舍去；若一次项系数不为0，即可求出公共根，再将公共根代入任意一个原方程求出k的值，最后验证是否符合“仅有一个公共根”的条件。
【解析】
设两个方程的公共根为$α$，则$α$同时满足方程①和②，即：
$\begin{cases}α^2 -kα -7=0 \\α^2 -6α -(k+1)=0\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(-6 +k)α + (6 -k)=0$，整理为$(k-6)(α -1)=0$
分两种情况讨论：
1. 当$k-6=0$，即$k=6$时，两个方程均为$x^2 -6x -7=0$，此时两个方程的解完全相同，有两个公共根，不符合“有一个公共根”的题意，舍去；
2. 当$k≠6$时，可得$α -1=0$，即公共根$α=1$。
把$x=1$代入方程①$x^2 -kx -7=0$，得：
$1 -k -7=0$，解得$k=-6$。
验证：将$k=-6$代入两个方程，
方程①为$x^2 +6x -7=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-7$；
方程②为$x^2 -6x +5=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$，两方程仅有一个公共根$x=1$，符合题意。
【答案】
公共根是$x=1$，k的值为$-6$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元二次方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的典型题型，解题核心是通过作差消去二次项实现降次，将二元问题转化为一元问题求解，解题过程中需注意分类讨论，排除两方程完全同解的情况，最后要验证结果是否符合题设要求。
【难度系数】
0.7

数学活动2 神奇的线段分割
已知线段AB，我们将其分成三条互不相等的线段$a,b,c(a＞b＞c)$，满足以下两个条件：①$a = b+c$；②$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$。请完成以下任务：
(1)设线段AB的总长度为$L$，用$L$表示出三条线段$a,b,c$的长度；
(2)若线段AB的长度为10 cm，求出$a,b,c$的具体长度(结果可保留根号)；
(3)用直尺和圆规作出线段AB的两个分点，使得分割后的三条线段满足上述条件(只需写出作图步骤)。

(1) 由题意，得$\begin{cases} a=b+c,① \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c},② \\ L=a+b+c.③ \end{cases}$将①代入③，得$a+a=L$，
$\therefore a=\frac{1}{2}L.$ ④将④代入②，得$\frac{2}{L}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.$ ⑤由①，得$c=a-b=\frac{1}{2}L-b$，代入⑤，得$\frac{2}{L}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\frac{1}{2}L-b}.$ ⑥整理，得$4b^2+2Lb-L^2=0$，解得$b_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}L$，$b_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}L$(不合题意，舍去). $\therefore c=\frac{1}{2}L-b=\frac{3-\sqrt{5}}{4}L.$
(2) 当$L=10\ \mathrm{cm}$时，$a=\frac{10}{2}=5(\mathrm{cm})$，$b=\frac{(\sqrt{5}-1)×10}{4}=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{2}(\mathrm{cm})$，$c=\frac{(3-\sqrt{5})×10}{4}=\frac{5(3-\sqrt{5})}{2}(\mathrm{cm}).$
(3) 步骤1:作线段AB的中点$M($确定$a=\frac{L}{2}).$
①用直尺画线段AB. ②分别以A,B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点. ③连接这两点，与AB交于点M，此时$AM=MB=\frac{L}{2}$，即$AM=a.$
步骤2:构造黄金分割比例，得到线段b的长度. ①过点B作AB的垂线BC，使$BC=\frac{1}{2}AB.$ ②连接A,C，在AC上截取$CD=CB$，此时$AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}}{2}L-\frac{1}{2}L=\frac{(\sqrt{5}-1)L}{2}.$ ③作AD的中点E，则$AE=\frac{(\sqrt{5}-1)L}{4}=b.$
步骤3:在AB上确定分点N. ①以A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点N，此时$AN=b.$
步骤4:确定最终的三个线段. ①点M和N即为所求的两个分点. ②此时$AM=a$，$MN=a-b=c$，$NB=c$(或根据N的位置调整顺序)，满足$a=b+c$和$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.$

【分析】
本题分为代数计算和几何作图两部分。（1）题给出了a、b、c的三个等量关系，先将$a=b+c$代入总长度L的表达式，可直接求出a与L的关系，再将a和用a、b表示的c代入分式方程，转化为关于b的一元二次方程，舍去负根后得到b的表达式，进而求出c即可。（2）只需将L=10cm代入（1）的结论直接计算即可。（3）根据（1）得到的a、b、c的长度比例，先作线段中点得到a的长度，再用黄金分割的尺规作图方法得到b的长度，最后截取线段标记分点即可。
【解析】
(1) 根据题意列方程组：
$\begin{cases} a=b+c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ① \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ② \\ L=a+b+c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③ \end{cases}$
将①代入③得：$a+a=L$，解得$a=\frac{1}{2}L$ ④
把④代入②得：$\frac{2}{L}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ ⑤
由①得$c=a-b=\frac{1}{2}L - b$，代入⑤整理得：$4b^2 + 2Lb - L^2=0$
解一元二次方程得$b_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}L$，$b_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}L$（线段长度为正，舍去）
因此$c=\frac{1}{2}L - b=\frac{3-\sqrt{5}}{4}L$
(2) 当$L=10\ \mathrm{cm}$时，代入(1)的结论：
$a=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
$b=\frac{\sqrt{5}-1}{4}×10=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{2}\ \mathrm{cm}$
$c=\frac{3-\sqrt{5}}{4}×10=\frac{5(3-\sqrt{5})}{2}\ \mathrm{cm}$
(3) 作图步骤：
步骤1：作AB的中点M，确定a的长度：
①用直尺画线段AB；②分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点；③连接两点，与AB交于M，此时$AM=MB=\frac{1}{2}AB$，即$AM=a$。
步骤2：构造黄金分割比例，得到b的长度：
①过B作AB的垂线BC，使$BC=\frac{1}{2}AB$；②连接AC，以C为圆心、CB为半径画弧，交AC于D，此时$AD=\frac{(\sqrt{5}-1)AB}{2}$；③作AD的中点E，则$AE=\frac{(\sqrt{5}-1)AB}{4}=b$。
步骤3：确定分点N：以A为圆心、AE为半径画弧，交AB于N，此时$AN=b$。
步骤4：点M、N即为所求的两个分点。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}L$，$b=\frac{\sqrt{5}-1}{4}L$，$c=\frac{3-\sqrt{5}}{4}L$
(2) $a=5\ \mathrm{cm}$，$b=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{2}\ \mathrm{cm}$，$c=\frac{5(3-\sqrt{5})}{2}\ \mathrm{cm}$
(3) 作图步骤见解析
【知识点】
分式方程应用，一元二次方程解法，尺规作图
【点评】
本题将代数计算与几何作图结合，既考查方程运算能力，又考查尺规作图的实操能力，还融合了黄金分割的相关性质，综合性较强，能很好地检验知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6