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综合与实践 探索果园土地规划和销售利润问题
综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，如图是果园的平面图，其中AB=200 m，BC=300 m. 准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿BC方向）的宽度都为2x m，左右两条纵向道路（沿AB方向）的宽度都为x m，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）. 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过14 m，且不小于7 m.
素材2 该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000 m²种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000 m²的种植面积）. 受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125 m²种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20 000元.
问题解决
问题1 (1)种植园区的长为
问题2 (2)若种植园区的面积为44 800 m²，道路设置的宽度x是否符合要求？请说明理由；
问题3 (3)若农户预期一个月的总利润为552 000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？(总利润=销售利润－承包费)
综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，如图是果园的平面图，其中AB=200 m，BC=300 m. 准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿BC方向）的宽度都为2x m，左右两条纵向道路（沿AB方向）的宽度都为x m，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）. 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过14 m，且不小于7 m.
素材2 该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000 m²种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000 m²的种植面积）. 受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125 m²种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20 000元.
问题解决
问题1 (1)种植园区的长为
300−2x
m，宽为200−4x
m；(用含x的代数式表示)问题2 (2)若种植园区的面积为44 800 m²，道路设置的宽度x是否符合要求？请说明理由；
问题3 (3)若农户预期一个月的总利润为552 000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？(总利润=销售利润－承包费)
答案
(1)种植园区的长为(300−2x)m，宽为(200−4x)m；
(2)道路设置的宽度x符合要求，理由如下：根据题意，得(300−2x)(200−4x)=44 800，解得x₁=10，x₂=190。又
∵道路宽度x不超过14 m，且不小于7 m，
∴x=190不符合题意，舍去。
∴x=10。
∴道路设置的宽度x符合要求。
(3)设每平方米草莓的月利润应该下调y元，则每平方米草莓的月利润为(100−y)元，每月可销售出(5 000+125y)m²种植面积对应的草莓产量，根据题意，得(100−y)(5 000+125y)−20 000=552 000，解得y₁=12，y₂=48。又
∵要让客户得到实惠，
∴y=48。答：每平方米草莓的月利润应该下调48元。
(2)道路设置的宽度x符合要求，理由如下：根据题意，得(300−2x)(200−4x)=44 800，解得x₁=10，x₂=190。又
∵道路宽度x不超过14 m，且不小于7 m，
∴x=190不符合题意，舍去。
∴x=10。
∴道路设置的宽度x符合要求。
(3)设每平方米草莓的月利润应该下调y元，则每平方米草莓的月利润为(100−y)元，每月可销售出(5 000+125y)m²种植面积对应的草莓产量，根据题意，得(100−y)(5 000+125y)−20 000=552 000，解得y₁=12，y₂=48。又
∵要让客户得到实惠，
∴y=48。答：每平方米草莓的月利润应该下调48元。
解析
【分析】
(1) 求种植园区的长宽时，结合图形看道路占用的长度：沿BC方向的长，原有300m，减去左右两条各宽x m的纵向道路总宽度2x，即可得种植区长；沿AB方向的宽，原有200m，减去上下两条各宽2x m的横向道路总宽度4x，即可得种植区宽。
(2) 利用矩形面积公式“面积=长×宽”列一元二次方程，求解后对照题目给出的x的取值范围（7≤x≤14），判断解是否符合要求即可。
(3) 属于利润类应用题，设下调金额为y元，先分别表示出下调后每平方米的月利润、每月可销售的种植面积，再根据“总利润=销售利润-承包费”的等量关系列方程，最后结合“让客户得实惠”的要求选择下调更多的解即可。
【解析】
(1) 左右纵向道路总宽度为$2x\ \mathrm{m}$，因此种植园区的长为$(300-2x)\ \mathrm{m}$；上下横向道路总宽度为$2×2x=4x\ \mathrm{m}$，因此种植园区的宽为$(200-4x)\ \mathrm{m}$。
(2) 根据题意列方程：
$(300-2x)(200-4x)=44800$
展开整理得$x^2-200x+1900=0$，因式分解得$(x-10)(x-190)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=190$。
已知道路宽度满足$7≤ x≤14$，$x=190$不符合范围舍去，故$x=10$，在规定范围内，符合要求。
(3) 设每平方米草莓的月利润下调$y$元，则下调后每平方米月利润为$(100-y)$元，每月可销售的面积为$(5000+125y)\ \mathrm{m}^2$，根据总利润公式列方程：
$(100-y)(5000+125y)-20000=552000$
展开整理得$y^2-60y+576=0$，因式分解得$(y-12)(y-48)=0$，解得$y_1=12$，$y_2=48$。
要让客户得到实惠，应选择更大的下调金额，故$y=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(300-2x)}$，$\boldsymbol{(200-4x)}$
(2) 道路设置的宽度$x$符合要求，理由见解析。
(3) 每平方米草莓的月利润应该下调$\boldsymbol{48}$元。
【知识点】
列代数式，一元二次方程的解法，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合果园规划、农产品销售的实际场景命题，需要学生准确提取题干中的等量关系建立方程，同时要注意结合实际限制条件对解进行合理取舍，考查学生的建模能力和细心审题的习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 求种植园区的长宽时，结合图形看道路占用的长度：沿BC方向的长，原有300m，减去左右两条各宽x m的纵向道路总宽度2x，即可得种植区长；沿AB方向的宽，原有200m，减去上下两条各宽2x m的横向道路总宽度4x，即可得种植区宽。
(2) 利用矩形面积公式“面积=长×宽”列一元二次方程，求解后对照题目给出的x的取值范围（7≤x≤14），判断解是否符合要求即可。
(3) 属于利润类应用题，设下调金额为y元，先分别表示出下调后每平方米的月利润、每月可销售的种植面积，再根据“总利润=销售利润-承包费”的等量关系列方程，最后结合“让客户得实惠”的要求选择下调更多的解即可。
【解析】
(1) 左右纵向道路总宽度为$2x\ \mathrm{m}$，因此种植园区的长为$(300-2x)\ \mathrm{m}$；上下横向道路总宽度为$2×2x=4x\ \mathrm{m}$，因此种植园区的宽为$(200-4x)\ \mathrm{m}$。
(2) 根据题意列方程：
$(300-2x)(200-4x)=44800$
展开整理得$x^2-200x+1900=0$，因式分解得$(x-10)(x-190)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=190$。
已知道路宽度满足$7≤ x≤14$，$x=190$不符合范围舍去，故$x=10$，在规定范围内，符合要求。
(3) 设每平方米草莓的月利润下调$y$元，则下调后每平方米月利润为$(100-y)$元，每月可销售的面积为$(5000+125y)\ \mathrm{m}^2$，根据总利润公式列方程：
$(100-y)(5000+125y)-20000=552000$
展开整理得$y^2-60y+576=0$，因式分解得$(y-12)(y-48)=0$，解得$y_1=12$，$y_2=48$。
要让客户得到实惠，应选择更大的下调金额，故$y=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(300-2x)}$，$\boldsymbol{(200-4x)}$
(2) 道路设置的宽度$x$符合要求，理由见解析。
(3) 每平方米草莓的月利润应该下调$\boldsymbol{48}$元。
【知识点】
列代数式，一元二次方程的解法，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合果园规划、农产品销售的实际场景命题，需要学生准确提取题干中的等量关系建立方程，同时要注意结合实际限制条件对解进行合理取舍，考查学生的建模能力和细心审题的习惯。
【难度系数】
0.7
