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1 若关于$x$的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根是$-2$和$1$，则$n^m$的值为（
A.16
B.$-16$
C.8
D.$-8$
A
）。A.16
B.$-16$
C.8
D.$-8$
答案
1 A
解析
【分析】
题目给出了一元二次方程的两个根，要求$n^m$的值，核心思路是先求出参数$m$和$n$的取值。对于已知两根的一元二次方程，我们可以用根与系数的关系（韦达定理）快速求解未知系数，无需代入根解方程，节省计算时间。首先先明确方程中$a、b、c$的对应值，再分别通过两根之和、两根之积的公式列等式求出$m、n$，最后代入$n^m$计算即可，计算过程中要重点关注符号不要出错。
【解析】
设方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$b=m$，$c=n$，代入公式计算：
1. 计算$m$的值：
$x_1+x_2=-2+1=-1=-\frac{m}{2}$，解得$m=2$。
2. 计算$n$的值：
$x_1x_2=(-2)×1=-2=\frac{n}{2}$，解得$n=-4$。
3. 计算$n^m$：
将$m=2$，$n=-4$代入得$n^m=(-4)^2=16$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础考点题型，主要考查对一元二次方程根与系数关系的掌握运用，难度较低，只要熟练掌握对应公式，注意符号运算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
题目给出了一元二次方程的两个根，要求$n^m$的值，核心思路是先求出参数$m$和$n$的取值。对于已知两根的一元二次方程，我们可以用根与系数的关系（韦达定理）快速求解未知系数，无需代入根解方程，节省计算时间。首先先明确方程中$a、b、c$的对应值，再分别通过两根之和、两根之积的公式列等式求出$m、n$，最后代入$n^m$计算即可，计算过程中要重点关注符号不要出错。
【解析】
设方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$b=m$，$c=n$，代入公式计算：
1. 计算$m$的值：
$x_1+x_2=-2+1=-1=-\frac{m}{2}$，解得$m=2$。
2. 计算$n$的值：
$x_1x_2=(-2)×1=-2=\frac{n}{2}$，解得$n=-4$。
3. 计算$n^m$：
将$m=2$，$n=-4$代入得$n^m=(-4)^2=16$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础考点题型，主要考查对一元二次方程根与系数关系的掌握运用，难度较低，只要熟练掌握对应公式，注意符号运算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
② 已知一元二次方程$2x^2 - x + c = 0$有两个不相等的实数根，且其中一根为-1，则另一根为（
A.-1
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
D
）。A.-1
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
2 D
解析
【分析】
本题求解一元二次方程的未知根，有两种常用解题思路：思路1：利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出未知参数c，再解完整的一元二次方程得到另一根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的公式计算未知根，该方法无需计算参数，解题更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$ x $，对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，两根之和满足$ x_1+x_2=-\frac{b}{a} $。
本题中$ a=2 $，$ b=-1 $，已知一个根为$ -1 $，代入公式得：
$ x + (-1) = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} $
解得$ x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $。
方法二（代入求参法）：
把$ x=-1 $代入原方程$ 2x^2 -x +c=0 $，得：
$ 2×(-1)^2 - (-1) + c = 0 $
计算得$ 2 + 1 + c = 0 $，解得$ c=-3 $。
则原方程为$ 2x^2 -x -3=0 $，因式分解得$ (2x-3)(x+1)=0 $，
解得$ x_1=-1 $，$ x_2=\frac{3}{2} $，即另一根为$ \frac{3}{2} $。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程根的基础应用题，两种解题思路均符合要求，其中运用根与系数的关系求解效率更高，熟练掌握该公式可大幅提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.8
本题求解一元二次方程的未知根，有两种常用解题思路：思路1：利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出未知参数c，再解完整的一元二次方程得到另一根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的公式计算未知根，该方法无需计算参数，解题更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$ x $，对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，两根之和满足$ x_1+x_2=-\frac{b}{a} $。
本题中$ a=2 $，$ b=-1 $，已知一个根为$ -1 $，代入公式得：
$ x + (-1) = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} $
解得$ x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $。
方法二（代入求参法）：
把$ x=-1 $代入原方程$ 2x^2 -x +c=0 $，得：
$ 2×(-1)^2 - (-1) + c = 0 $
计算得$ 2 + 1 + c = 0 $，解得$ c=-3 $。
则原方程为$ 2x^2 -x -3=0 $，因式分解得$ (2x-3)(x+1)=0 $，
解得$ x_1=-1 $，$ x_2=\frac{3}{2} $，即另一根为$ \frac{3}{2} $。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程根的基础应用题，两种解题思路均符合要求，其中运用根与系数的关系求解效率更高，熟练掌握该公式可大幅提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.8
3 下列一元二次方程两实数根之和为－4 的是(
A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x + 10 = 0$
D.$x^2 + 4x - 5 = 0$
D
)。A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x + 10 = 0$
D.$x^2 + 4x - 5 = 0$
答案
3 D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到一元二次方程的两个核心知识点：一是方程有两个实数根的前提是判别式Δ≥0，二是有实根的前提下，两根之和满足根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时先逐个验证选项：首先判断方程是否有实根，再计算两根之和是否为-4，两个条件同时满足即为正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有两个实数根，此时两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐一分析选项：
A. 方程$x^2+2x-4=0$中，$a=1,b=2,c=-4$，$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
B. 方程$x^2-4x+4=0$中，$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求；
C. 方程$x^2+4x+10=0$中，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，方程没有实数根，不符合“两实数根”的前提；
D. 方程$x^2+4x-5=0$中，$a=1,b=4,c=-5$，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，完全符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是基础应用型题目，易错点是忽略“两实数根”的前提，未验证判别式直接计算两根之和错选C，解题时要先判断方程是否存在实根，再用根与系数的关系计算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用到一元二次方程的两个核心知识点：一是方程有两个实数根的前提是判别式Δ≥0，二是有实根的前提下，两根之和满足根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时先逐个验证选项：首先判断方程是否有实根，再计算两根之和是否为-4，两个条件同时满足即为正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有两个实数根，此时两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐一分析选项：
A. 方程$x^2+2x-4=0$中，$a=1,b=2,c=-4$，$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
B. 方程$x^2-4x+4=0$中，$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求；
C. 方程$x^2+4x+10=0$中，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，方程没有实数根，不符合“两实数根”的前提；
D. 方程$x^2+4x-5=0$中，$a=1,b=4,c=-5$，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，完全符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是基础应用型题目，易错点是忽略“两实数根”的前提，未验证判别式直接计算两根之和错选C，解题时要先判断方程是否存在实根，再用根与系数的关系计算。
【难度系数】
0.8
④ 若$x_1$、$x_2$是方程$x^2 + 5x - 3 = 0$的两个根，则$x_1^2 + x_2^2$的值是
31
。答案
4 31
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及完全平方公式的变形应用。解题思路如下：首先明确所求代数式$x_1^2+x_2^2$可通过完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，此时不需要求出方程的两个实根，只需根据韦达定理算出两根之和与两根之积，代入变形后的式子即可计算出结果，比直接求根再代入计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 5x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=5$，常数项$c=-3$。
根据韦达定理，方程的两个根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
再利用完全平方公式变形可得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$= (-5)^2 - 2×(-3) = 25 + 6 = 31$。
【答案】
31
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根与系数的关系，以及常见的对称代数式的变形方法，利用韦达定理求解可避免复杂的求根运算，提高解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及完全平方公式的变形应用。解题思路如下：首先明确所求代数式$x_1^2+x_2^2$可通过完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，此时不需要求出方程的两个实根，只需根据韦达定理算出两根之和与两根之积，代入变形后的式子即可计算出结果，比直接求根再代入计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 5x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=5$，常数项$c=-3$。
根据韦达定理，方程的两个根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
再利用完全平方公式变形可得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$= (-5)^2 - 2×(-3) = 25 + 6 = 31$。
【答案】
31
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根与系数的关系，以及常见的对称代数式的变形方法，利用韦达定理求解可避免复杂的求根运算，提高解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
6 若$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -4x +m=0$的两个根，且$x_1 +x_2 -x_1x_2=1$，则$x_1 +x_2=$
4
，$m=$3
。答案
6 4，3
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；第一步先根据给定方程的系数求出$x_1+x_2$的值，第二步将$x_1+x_2$和用$m$表示的$x_1x_2$代入题干给出的等量关系，即可解出$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -4x +m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m$。
根据韦达定理，两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1}=4$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{1}=m$。
将上述结果代入$x_1 +x_2 -x_1x_2=1$，可得：
$4 - m =1$，
移项计算得$m=4-1=3$。
【答案】
4，3
【知识点】
韦达定理，一元一次方程求解
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是准确掌握两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，代入已知条件计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；第一步先根据给定方程的系数求出$x_1+x_2$的值，第二步将$x_1+x_2$和用$m$表示的$x_1x_2$代入题干给出的等量关系，即可解出$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -4x +m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m$。
根据韦达定理，两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1}=4$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{1}=m$。
将上述结果代入$x_1 +x_2 -x_1x_2=1$，可得：
$4 - m =1$，
移项计算得$m=4-1=3$。
【答案】
4，3
【知识点】
韦达定理，一元一次方程求解
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是准确掌握两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，代入已知条件计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
7 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程$x^2 -12x +k=0$的两个根，则k的值是
36
。答案
7 36
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质、一元二次方程的相关知识和三角形三边关系求解，解题思路如下：1. 分两种情况讨论：一是已知边长3为等腰三角形的腰，二是3为等腰三角形的底边；2. 对应每种情况代入方程求解k值；3. 利用三角形三边关系验证所得的三边长是否符合要求，舍去不符合的情况，得到最终k值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当边长为3的边是等腰三角形的腰时：
可知x=3是方程$x^2 -12x +k=0$的一个根，将x=3代入方程得：
$3^2 -12×3 +k=0$
解得$k=27$
此时方程为$x^2 -12x +27=0$，因式分解得$(x-3)(x-9)=0$，方程的两个根为3和9。
则三角形三边长为3、3、9，由于$3+3=6＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去。
2. 当边长为3的边是等腰三角形的底边时：
可知方程$x^2 -12x +k=0$的两个根是等腰三角形的两条腰，即两根相等，因此方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-12)^2 -4×1× k=0$
解得$k=36$
此时方程为$x^2 -12x +36=0$，解得$x_1=x_2=6$。
则三角形三边长为3、6、6，满足$3+6＞6$、$6+6＞3$，符合三角形三边关系。
综上，k的值为36。
【答案】
36
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是几何性质与代数方程的综合题，解题时要注意对等腰三角形的已知边进行分类讨论，求出结果后必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的性质、一元二次方程的相关知识和三角形三边关系求解，解题思路如下：1. 分两种情况讨论：一是已知边长3为等腰三角形的腰，二是3为等腰三角形的底边；2. 对应每种情况代入方程求解k值；3. 利用三角形三边关系验证所得的三边长是否符合要求，舍去不符合的情况，得到最终k值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当边长为3的边是等腰三角形的腰时：
可知x=3是方程$x^2 -12x +k=0$的一个根，将x=3代入方程得：
$3^2 -12×3 +k=0$
解得$k=27$
此时方程为$x^2 -12x +27=0$，因式分解得$(x-3)(x-9)=0$，方程的两个根为3和9。
则三角形三边长为3、3、9，由于$3+3=6＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去。
2. 当边长为3的边是等腰三角形的底边时：
可知方程$x^2 -12x +k=0$的两个根是等腰三角形的两条腰，即两根相等，因此方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-12)^2 -4×1× k=0$
解得$k=36$
此时方程为$x^2 -12x +36=0$，解得$x_1=x_2=6$。
则三角形三边长为3、6、6，满足$3+6＞6$、$6+6＞3$，符合三角形三边关系。
综上，k的值为36。
【答案】
36
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是几何性质与代数方程的综合题，解题时要注意对等腰三角形的已知边进行分类讨论，求出结果后必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
方程$x^2 + 2x - 4 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，则$(x_1 - x_2)^2$的值为
20
。答案
8 20
解析
【分析】
要求$(x_1 - x_2)^2$的值，不需要直接求解方程的两个根，可先利用完全平方公式将所求式子变形为与两根之和、两根之积相关的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的数值，代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -4$。
利用完全平方公式变形：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
将$x_1 + x_2=-2$，$x_1x_2=-4$代入上式：
原式$= (-2)^2 - 4×(-4) = 4 + 16 = 20$
【答案】
20
【知识点】
根与系数的关系、完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是掌握韦达定理的应用，以及完全平方公式的常用变形，可避免求解方程根的繁琐运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求$(x_1 - x_2)^2$的值，不需要直接求解方程的两个根，可先利用完全平方公式将所求式子变形为与两根之和、两根之积相关的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的数值，代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -4$。
利用完全平方公式变形：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
将$x_1 + x_2=-2$，$x_1x_2=-4$代入上式：
原式$= (-2)^2 - 4×(-4) = 4 + 16 = 20$
【答案】
20
【知识点】
根与系数的关系、完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是掌握韦达定理的应用，以及完全平方公式的常用变形，可避免求解方程根的繁琐运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9 已知$ m $、$ n $是关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2ax + a^2 + a - 2 = 0 $的两个实根，那么$ m + n $的最大值是
4
。答案
9 4 [提示:由题意得，$\Delta=4a^2-4(a^2+a-2)≥0$,解得$a≤2$。因为$m+n=2a$,所以$m+n≤4$,所以$m+n$的最大值为4。]
解析
【分析】
解题时首先要明确：一元二次方程有两个实根的前提是判别式Δ≥0，这是本题的易错点。第一步先根据判别式的要求列出不等式，求出参数a的取值范围；第二步利用根与系数的关系，写出m+n关于a的表达式；最后结合a的取值范围，即可求出m+n的最大值。
【解析】
∵$m$、$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2ax + a^2 + a - 2 = 0$的两个实根
∴首先判别式满足$\Delta≥0$
计算$\Delta$：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2a)^2 - 4×1×(a^2 + a - 2) \\&= 4a^2 - 4a^2 - 4a + 8 \\&= -4a + 8\end{aligned}$
列不等式：$-4a + 8 ≥ 0$
解得：$a ≤ 2$
根据根与系数的关系，二次项系数为1时，一元二次方程两根之和等于一次项系数的相反数，可得：
$m + n = 2a$
∵$a ≤ 2$，两边同时乘2得：$2a ≤ 4$
即$m + n ≤ 4$
∴$m+n$的最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的综合基础题，解题的关键是牢记有两个实根时判别式非负，不要忽略参数a的取值范围直接求最值，避免出现无限制放大取值的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：一元二次方程有两个实根的前提是判别式Δ≥0，这是本题的易错点。第一步先根据判别式的要求列出不等式，求出参数a的取值范围；第二步利用根与系数的关系，写出m+n关于a的表达式；最后结合a的取值范围，即可求出m+n的最大值。
【解析】
∵$m$、$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2ax + a^2 + a - 2 = 0$的两个实根
∴首先判别式满足$\Delta≥0$
计算$\Delta$：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2a)^2 - 4×1×(a^2 + a - 2) \\&= 4a^2 - 4a^2 - 4a + 8 \\&= -4a + 8\end{aligned}$
列不等式：$-4a + 8 ≥ 0$
解得：$a ≤ 2$
根据根与系数的关系，二次项系数为1时，一元二次方程两根之和等于一次项系数的相反数，可得：
$m + n = 2a$
∵$a ≤ 2$，两边同时乘2得：$2a ≤ 4$
即$m + n ≤ 4$
∴$m+n$的最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的综合基础题，解题的关键是牢记有两个实根时判别式非负，不要忽略参数a的取值范围直接求最值，避免出现无限制放大取值的错误。
【难度系数】
0.6
⑩ 已知实数$m$、$n$满足$m^2 - 4m - 1 = 0$，$n^2 - 4n - 1 = 0$，则$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} =$
2或−18
。答案
10 2或−18 [提示:当$m=n$时,原式$=1+1=2$;当$m≠ n$时,$m$、$n$可看作方程$x^2-4x-1=0$的两根,则$m+n=4$,$mn=-1$,所以原式$=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{4^2-2×(-1)}{-1}=-18$。]
解析
【分析】
首先观察已知条件，m和n满足的方程结构完全相同，因此需要分两种情况讨论：①当m=n时，可直接代入所求式子计算；②当m≠n时，m、n可看作一元二次方程$x^2-4x-1=0$的两个实数根，此时可以利用根与系数的关系求出$m+n$与$mn$的值，再将所求代数式通分、变形为用$m+n$和$mn$表示的形式，代入数值计算即可。解题时要注意不要遗漏$m=n$的情况，避免漏解。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
1. 当$m=n$时：
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = 1 + 1 = 2$；
2. 当$m≠ n$时：
由题意可知，m、n是一元二次方程$x^2 - 4x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m + n = 4$，$mn = -1$。
将所求代数式变形：
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$
代入$m + n = 4$，$mn = -1$得：
$\frac{4^2 - 2×(-1)}{-1} = \frac{16 + 2}{-1} = -18$。
综上，$\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$的值为2或-18。
【答案】
2或−18
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代数式化简求值 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略$m=n$的情况，仅算出-18这一个结果。解题时要先分析已知条件的结构特征，合理分类讨论，再结合根与系数的关系对代数式变形求解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，m和n满足的方程结构完全相同，因此需要分两种情况讨论：①当m=n时，可直接代入所求式子计算；②当m≠n时，m、n可看作一元二次方程$x^2-4x-1=0$的两个实数根，此时可以利用根与系数的关系求出$m+n$与$mn$的值，再将所求代数式通分、变形为用$m+n$和$mn$表示的形式，代入数值计算即可。解题时要注意不要遗漏$m=n$的情况，避免漏解。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
1. 当$m=n$时：
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = 1 + 1 = 2$；
2. 当$m≠ n$时：
由题意可知，m、n是一元二次方程$x^2 - 4x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m + n = 4$，$mn = -1$。
将所求代数式变形：
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$
代入$m + n = 4$，$mn = -1$得：
$\frac{4^2 - 2×(-1)}{-1} = \frac{16 + 2}{-1} = -18$。
综上，$\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$的值为2或-18。
【答案】
2或−18
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代数式化简求值 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略$m=n$的情况，仅算出-18这一个结果。解题时要先分析已知条件的结构特征，合理分类讨论，再结合根与系数的关系对代数式变形求解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
11 已知α、β是方程$x^2 + 2x -7=0$的两个实数根，求$α^2 + 3β^2 + 4β$的值。
答案
11 因为$α$、$β$是方程$x^2+2x-7$的两个实数根,所以$α^2=7-2α$,$β^2=7-2β$,$α+β=-2$,所以原式$=7-2α+3(7-2β)+4β=28-2(α+β)=28-2×(-2)=32$。
解析
【分析】
本题所求代数式含有α、β的二次项，若直接求解方程得到α、β的值再代入计算，过程繁琐且易出错。我们可以先利用一元二次方程根的定义，将α²、β²转化为含一次项的式子，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的α+β的值整体代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵α、β是方程$x^2 + 2x -7=0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：
$α^2 + 2α -7=0$，$β^2 + 2β -7=0$，
即$α^2=7-2α$，$β^2=7-2β$，
根据根与系数的关系可得：$α+β=-\frac{2}{1}=-2$，
将上述关系代入$α^2 + 3β^2 + 4β$得：
原式$=(7-2α) + 3×(7-2β) + 4β$
$=7-2α + 21 -6β +4β$
$=28 -2α -2β$
$=28 -2(α+β)$
将$α+β=-2$代入得：
原式$=28 -2×(-2)=28+4=32$
【答案】
32
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题的核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求根的复杂运算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题所求代数式含有α、β的二次项，若直接求解方程得到α、β的值再代入计算，过程繁琐且易出错。我们可以先利用一元二次方程根的定义，将α²、β²转化为含一次项的式子，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的α+β的值整体代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵α、β是方程$x^2 + 2x -7=0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：
$α^2 + 2α -7=0$，$β^2 + 2β -7=0$，
即$α^2=7-2α$，$β^2=7-2β$，
根据根与系数的关系可得：$α+β=-\frac{2}{1}=-2$，
将上述关系代入$α^2 + 3β^2 + 4β$得：
原式$=(7-2α) + 3×(7-2β) + 4β$
$=7-2α + 21 -6β +4β$
$=28 -2α -2β$
$=28 -2(α+β)$
将$α+β=-2$代入得：
原式$=28 -2×(-2)=28+4=32$
【答案】
32
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题的核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求根的复杂运算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
