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1. 给出下列算式:①$(2x+y)^2=4x^2+y^2$;②$(a-3b)^2=a^2-9b^2$;③$(-x-y)^2=x^2-2xy+y^2$;④$(4m-3n)(3n-4m)=-16m^2+24mn-9n^2$.其中错误的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
2. 如果$(x+a)^2 = x^2 + mx + 16$，则$m$的值是（
A.4
B.－4或4
C.8
D.－8或8
D
）A.4
B.－4或4
C.8
D.－8或8
答案
2. D 【点拨】$\because (x+a)^2=x^2+mx+16,(x+a)^2=x^2+2ax+a^2,\therefore m=2a,a^2=16.\therefore a=\pm4.\therefore m=2a=\pm8.$
3. 如图,可验证的乘法公式是（
A.$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$
B.$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$
C.$(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$
D.$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$
A
）A.$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$
B.$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$
C.$(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$
D.$(m+n)^2 = (m-n)^2 + 4mn$
答案
3. A
4. 若$(\frac{1}{3}x - 6y)^2 = \frac{1}{9}x^2 - 4xy + k^2y^2$，则$k$的值为
$\pm6$
。答案
4. $\pm6$
5.若$(x+9y)^2=(x-9y)^2+A$，则代数式A为
$36xy$
。答案
5. $36xy$
6. [2025广州越秀区期中] 若$a^2 + 2a = 1$，那么多项式$(a - 1)^2 - 2(a + 2)(a - 2)$的值是
$8$
。答案
6. 8
7. 母题 教材 P115例4 利用完全平方公式计算：
(1) $(60 \frac{1}{60})^2$；
(2) $101^2 + 99^2 - 98 × 102$；
(1) $(60 \frac{1}{60})^2$；
(2) $101^2 + 99^2 - 98 × 102$；
答案
7. 【解】(1) 原式$= (60+\dfrac{1}{60})^2 = 3\ 600 + 2 + \dfrac{1}{3\ 600} = 3\ 602\dfrac{1}{3\ 600}.$
(2)原式$=(100+1)^2+(100-1)^2-(100-2)(100+2)=100^2+200+1+100^2-200+1-(100^2-4)=100^2+6=10\ 006.$
点方法 利用完全平方公式进行数值运算时,可以将底数拆成两个数的和或差,拆分时主要有两种形式：一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差;二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差。
(2)原式$=(100+1)^2+(100-1)^2-(100-2)(100+2)=100^2+200+1+100^2-200+1-(100^2-4)=100^2+6=10\ 006.$
点方法 利用完全平方公式进行数值运算时,可以将底数拆成两个数的和或差,拆分时主要有两种形式：一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差;二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差。
8. (1)解方程：$(x-1)^2 - x^2 = 5$；
(2)计算：$(3x+y)(3x-y)+(2x+y)^2$。
(2)计算：$(3x+y)(3x-y)+(2x+y)^2$。
答案
8. 【解】(1)$(x-1)^2 - x^2 = 5$，
$x^2-2x+1-x^2=5$，
$-2x+1=5$，
$-2x=4$，
$x=-2.$
(2)$(3x+y)(3x-y)+(2x+y)^2$
$=9x^2-y^2+4x^2+4xy+y^2$
$=13x^2+4xy.$
$x^2-2x+1-x^2=5$，
$-2x+1=5$，
$-2x=4$，
$x=-2.$
(2)$(3x+y)(3x-y)+(2x+y)^2$
$=9x^2-y^2+4x^2+4xy+y^2$
$=13x^2+4xy.$
9. 母题 教材P117习题T5 一个正方形的边长少了3 cm，它的面积就减少了39 cm²，那么这个正方形的边长为（
A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
B
）A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
答案
9. B
10. 母题 教材P118习题T7 若$m - n = -4$，$mn = 9$，则$(m + n)^2 =$（
A.52
B.50
C.45
D.60
A
）A.52
B.50
C.45
D.60
答案
10. A 【点拨】$\because m-n=-4,\therefore (m-n)^2=16.\therefore m^2-2mn+n^2=16.\therefore m^2+n^2=16+2mn=16+2×9=34.\therefore (m+n)^2=m^2+2mn+n^2=34+2×9=52.$
11.设$a=x-2025$，$b=x-2027$，$c=x-2026$，若$a^2+b^2=34$，则$c^2$的值是
$16$
答案
11. 16 【点拨】$\because a=x-2\ 025,b=x-2\ 027,a^2+b^2=34$，
$\therefore (x-2\ 025)^2+(x-2\ 027)^2=34.\therefore (x-2\ 026+1)^2+(x-2\ 026-1)^2=34.\therefore (x-2\ 026)^2+2(x-2\ 026)+1+(x-2\ 026)^2-2(x-2\ 026)+1=34.\therefore 2(x-2\ 026)^2=32.$
$\therefore (x-2\ 026)^2=16.$ 又$\because c=x-2\ 026,\therefore c^2=16.$
$\therefore (x-2\ 025)^2+(x-2\ 027)^2=34.\therefore (x-2\ 026+1)^2+(x-2\ 026-1)^2=34.\therefore (x-2\ 026)^2+2(x-2\ 026)+1+(x-2\ 026)^2-2(x-2\ 026)+1=34.\therefore 2(x-2\ 026)^2=32.$
$\therefore (x-2\ 026)^2=16.$ 又$\because c=x-2\ 026,\therefore c^2=16.$
12. 已知$x+\frac{1}{x}=3$，求下列各式的值：
(1)$(x-\frac{1}{x})^2$；
(2)$x^4+\frac{1}{x^4}$。
(1)$(x-\frac{1}{x})^2$；
(2)$x^4+\frac{1}{x^4}$。
答案
12. 【解】(1)$\because (x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$，
$\therefore (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}-4=(x+\dfrac{1}{x})^2-4=3^2-4=5.$
(2)$\because (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}$，
$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x-\dfrac{1}{x})^2+2=5+2=7.$
$\because (x^2+\dfrac{1}{x^2})^2=x^4+2+\dfrac{1}{x^4}$，
$\therefore x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2=7^2-2=47.$
$\therefore (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}-4=(x+\dfrac{1}{x})^2-4=3^2-4=5.$
(2)$\because (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}$，
$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x-\dfrac{1}{x})^2+2=5+2=7.$
$\because (x^2+\dfrac{1}{x^2})^2=x^4+2+\dfrac{1}{x^4}$，
$\therefore x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2=7^2-2=47.$
