13. 新考法 推导验证法 利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$。
(1)请你检验这个等式的正确性。
(2)若$a=2025, b=2026, c=2027$，你能很快求出$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$的值吗？试求出这个值。

13. 【解】(1)右边$=\dfrac{1}{2}(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)$
$=\dfrac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)$
$=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=$左边.
(2)当$a=2\ 025,b=2\ 026,c=2\ 027$时，
原式$=\dfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=\dfrac{1}{2}×(1+1+4)=3.$

14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数（即十位数字和个位数字组成的两位数）一定是25”. 这一结论可用下面的方法进行证明.
设个位数字是5的自然数为$10a + 5$（$a$为自然数），则$(10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100(a^2 + a) + 25$.
这说明平方后的末两位数一定是25.
请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是25的自然数，平方后的末三位数（即依次由百位、十位和个位数字组成的三位数）一定是多少？”并给出证明.

14. 【解】平方后的末三位数一定是625.
证明:设末尾数字是25的自然数为$100a+25$($a$为自然数)，
则$(100a+25)^2=10\ 000a^2+5\ 000a+625=1\ 000(10a^2+5a)+625.$
这说明平方后的末三位数一定是625.

15.“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如:在学习“整式的乘法”时,我们通过构造几何图形,用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(如图①).利用“数形结合”的思想方法,可以从代数角度解决图形问题,也可以用图形关系解决代数问题.

根据以上材料提供的方法,完成下列问题:
(1)由图②可得等式:________,利用图②得到的结论,解决问题:若$a+b+c=15$,$ab+ac+bc=35$,则$a^2+b^2+c^2=\_\_\_\_\_\_$;
(2)如图③,若用其中$x$张边长为$a$的正方形,$y$张边长为$b$的正方形,$z$张边长分别为$a,b$的长方形纸片拼出一个面积为$(2a+b)(a+2b)$的长方形(无空隙、无重叠地拼接),求$x+y+z$的值.

15. 【解】(1)$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc;155$
(2)$(2a+b)(a+2b)=2a^2+4ab+ab+2b^2=2a^2+5ab+2b^2$，
$2a^2+5ab+2b^2$可以看成2张边长为$a$的正方形,2张边长为$b$的正方形,5张边长分别为$a,b$的长方形纸片拼成的大长方形的面积.
$\therefore x=2,y=2,z=5.\therefore x+y+z=9.$