14. 小丽在计算$3×(4+1)×(4^2+1)$时，把3写成$(4-1)$后，发现可以连续运用平方差公式进行计算. 用类似的方法计算：$(1+\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2^2})×(1+\dfrac{1}{2^4})+\dfrac{1}{2^7}=$.

14.2 【点拨】$(1+\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2^2})×(1+\dfrac{1}{2^4})+\dfrac{1}{2^7}=2×(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2^2})×(1+\dfrac{1}{2^4})+\dfrac{1}{2^7}=2×(1-\dfrac{1}{2^4})×(1+\dfrac{1}{2^4})+\dfrac{1}{2^7}=2×(1-\dfrac{1}{2^8})+\dfrac{1}{2^7}=2-\dfrac{1}{2^7}+\dfrac{1}{2^7}=2.$

15. 新考法 阅读类比法 阅读材料:已知实数$m,n$满足
$(m^2+2n^2-1)(m^2+2n^2+1)=63$,试求$m^2+2n^2$的值.
解:设$m^2+2n^2=t$,则原方程变为$(t-1)(t+1)=63$,
整理得$t^2-1=63$,即$t^2=64$,
$\therefore t=\pm8.\therefore m^2+2n^2=\pm8$.
$\because m^2+2n^2≥0,\therefore m^2+2n^2=8$.
上述这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
已知$x,y$满足$(2x^2+y^2+3)(2x^2+y^2-3)=27$,求$6x^2+3y^2$的值.

15.【解】设$2x^2+y^2=t$,
则原方程可变为$(t+3)(t-3)=27$,解得$t=\pm6$,
$\because 2x^2+y^2≥0,\therefore 2x^2+y^2=6.\therefore 6x^2+3y^2=18.$

16. 母题 教材P112思考 如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1)图②是将图①中的阴影部分裁剪下来,重新拼成的一个长方形,面积是;如图①,阴影部分的面积是;比较图①,图②阴影部分的面积,可以得到乘法公式;
(2)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①$(x+3y)(x-3y)+(3y+x)(-x+3y)$;
②$100^2 -98×102$.

16.(1)$(a+b)(a-b)$;$a^2-b^2$;$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(2)①$(x+3y)(x-3y)+(3y+x)(-x+3y)=x^2-(3y)^2+(3y)^2-x^2=0.$
②$100^2-98×102=100^2-(100-2)(100+2)=100^2-(100^2-2^2)=100^2-100^2+4=4.$

17. [2025北京海淀区期中] 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.

(1)图①是某月的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分)，将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：$5×19 - 4×20 =$ ，$2×16 - 1×17 =$ ，不难发现，结果都等于 ；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明；
(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分(阴影部分)9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为105，那么中间位置上的数$a=$ .

17.(1)15;15;15
(2)【证明】设“Z”字型框架中位置C上的数为$x$,则A,B,D,E四个数依次为$x-8,x-7,x+7,x+8$,依题意得,
$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=(x^2-49)-(x^2-64)=x^2-49-x^2+64=15.$
(3)13 【点拨】$\because$中间位置上的数为$a$,$\therefore$最小的数为$a-8$,最大的数为$a+8$.依题意得,$(a-8)(a+8)=105$,$a^2-64=105,a^2=169$,$\therefore a=13$或$a=-13$(负值不符合题意,舍去).$\therefore$中间位置上的数$a=13.$