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1.（2025·浙江模拟）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度$\bar{v}$（km/h）和运行时间t（h）之间的关系时，上网查阅了相关资料。下表是他们收集的数据：
则最符合$\bar{v}$与t之间的解析式是（
A.$\bar{v}=\dfrac{158}{t}$
B.$\bar{v}=158t$
C.$\bar{v}=\dfrac{t}{158}$
D.$\bar{v}=158+t$
则最符合$\bar{v}$与t之间的解析式是（
A
）A.$\bar{v}=\dfrac{158}{t}$
B.$\bar{v}=158t$
C.$\bar{v}=\dfrac{t}{158}$
D.$\bar{v}=158+t$
答案
1. A 解析:沪杭高铁的总里程是固定的.由 $s=\bar{v} · t$ 得 $\bar{v}=\dfrac{s}{t}$,由 $158=\dfrac{s}{1}$,得 $s=158$,根据表格中的数据可以计算出最符合 $\bar{v}$ 与 $t$ 之间的解析式是 $\bar{v}=\dfrac{158}{t}$,故选 A.
2. (2025·深圳月考)【项目式学习】
项目主题:高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.
假设某城市计划建设一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了相关探究.
素材一:为了保证安全,高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的时间,假设加速度和减速度都是常数,且加减速过程中,列车速度随时间变化的关系为$v=v_0+at$,其中$v$是最终速度,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同,均为$d$千米,时间也相同,均为$t$秒.
素材三:匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为$s=v_0t+\frac{1}{2}at^2$,其中$s$是路程,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
任务一:理解与计算
(1)如果高铁列车的最高速度$v=360$千米/时,加速度$a=0.5$米/秒²,则从静止加速到最高速度所需的时间$t=$
(2)在(1)的条件下,列车从静止加速到最高速度所需的最小路程$d=$
任务二:应用与推理
(3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程$x$千米中,除去两端的加减速路程为$d$,列车以最高速度行驶的距离为$x-2d$,请直接写出列车全程行驶的时间$T$的解析式.(单位:小时)
任务三:设计与分析
(4)假设距某站台2千米有一辆高铁正以180千米/时的速度驶来,由于某人从站台跳入轨道捡手机,列车需紧急停车,若减速度$a=-0.5$米/秒²,列车能否安全停车?分析计算后的答案,结合现实,说说你的想法.
项目主题:高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.
假设某城市计划建设一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了相关探究.
素材一:为了保证安全,高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的时间,假设加速度和减速度都是常数,且加减速过程中,列车速度随时间变化的关系为$v=v_0+at$,其中$v$是最终速度,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同,均为$d$千米,时间也相同,均为$t$秒.
素材三:匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为$s=v_0t+\frac{1}{2}at^2$,其中$s$是路程,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
任务一:理解与计算
(1)如果高铁列车的最高速度$v=360$千米/时,加速度$a=0.5$米/秒²,则从静止加速到最高速度所需的时间$t=$
200
秒.(2)在(1)的条件下,列车从静止加速到最高速度所需的最小路程$d=$
10
千米.任务二:应用与推理
(3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程$x$千米中,除去两端的加减速路程为$d$,列车以最高速度行驶的距离为$x-2d$,请直接写出列车全程行驶的时间$T$的解析式.(单位:小时)
任务三:设计与分析
(4)假设距某站台2千米有一辆高铁正以180千米/时的速度驶来,由于某人从站台跳入轨道捡手机,列车需紧急停车,若减速度$a=-0.5$米/秒²,列车能否安全停车?分析计算后的答案,结合现实,说说你的想法.
答案
2. (1)200 解析:$\because v=v_0+at,\therefore t=\dfrac{v-v_0}{a}.\because v_0=0,v=360$千米/时=$100$米/秒,$a=0.5$米/秒²,$\therefore t=\dfrac{100-0}{0.5}=200$(秒),$\therefore$ 从静止加速到最高速度所需的时间$t=200$秒.
(2)10 解析:由(1)知 $v_0=0,t=200,a=0.5,\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=0×200+\dfrac{1}{2}×0.5×200^2=10\ 000$(米).$\because 10\ 000$ 米=$10$千米,$\therefore$ 列车从静止加速到最高速度所需的最小路程$d=10$千米.
(3)$T$的解析式为 $T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$. 解析:$\because$ 加速和减速时间都是$t$秒且加减速路程都是$d$千米,
$\therefore$ 加速和减速的总时间为 $2t=400$ 秒$=\dfrac{1}{9}$小时,
$\therefore$ 匀速行驶的时间为 $(T-\dfrac{1}{9})$小时,匀速行驶的路程为$(x-20)$千米,速度为 360 千米/时,
$\therefore T-\dfrac{1}{9}=\dfrac{x-20}{360},\therefore T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$,
$\therefore$ 列车全程行驶的时间 $T$ 的解析式为 $T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$.
(4)$\because v=0$,$v_0=180$ 千米/时=$50$ 米/秒,$a=-0.5$ 米/秒²,
$\therefore t=\dfrac{0-50}{-0.5}=100$(秒),$\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=50×100-\dfrac{1}{2}×0.5×100^2=2\ 500$(米)$=2.5$(千米).
$\because 2.5$ 千米＞2 千米,$\therefore$ 列车不能安全停车.
(2)10 解析:由(1)知 $v_0=0,t=200,a=0.5,\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=0×200+\dfrac{1}{2}×0.5×200^2=10\ 000$(米).$\because 10\ 000$ 米=$10$千米,$\therefore$ 列车从静止加速到最高速度所需的最小路程$d=10$千米.
(3)$T$的解析式为 $T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$. 解析:$\because$ 加速和减速时间都是$t$秒且加减速路程都是$d$千米,
$\therefore$ 加速和减速的总时间为 $2t=400$ 秒$=\dfrac{1}{9}$小时,
$\therefore$ 匀速行驶的时间为 $(T-\dfrac{1}{9})$小时,匀速行驶的路程为$(x-20)$千米,速度为 360 千米/时,
$\therefore T-\dfrac{1}{9}=\dfrac{x-20}{360},\therefore T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$,
$\therefore$ 列车全程行驶的时间 $T$ 的解析式为 $T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$.
(4)$\because v=0$,$v_0=180$ 千米/时=$50$ 米/秒,$a=-0.5$ 米/秒²,
$\therefore t=\dfrac{0-50}{-0.5}=100$(秒),$\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=50×100-\dfrac{1}{2}×0.5×100^2=2\ 500$(米)$=2.5$(千米).
$\because 2.5$ 千米＞2 千米,$\therefore$ 列车不能安全停车.
