17. (12分)(2024·宜宾中考)如图,一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(1,4),B(n,-1)$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)利用图象,直接写出不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集;
(3)已知点$D$在$x$轴上,点$C$在反比例函数图象上.若以$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形,求点$C$的坐标.

(1)$\because y=\frac{k}{x}(k\ne0)$经过$A(1,4)$,$\therefore 4=\frac{k}{1}$,解得$k=4$,$\therefore y=\frac{4}{x}$.把$B(n,-1)$代入$y=\frac{4}{x}$,得$-1=\frac{4}{n}$,解得$n=-4$,$\therefore B(-4,-1)$.把$A(1,4),B(-4,-1)$代入$y=ax+b(a\ne0)$,得$\begin{cases}a+b=4,\\-4a+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=3,\end{cases}\therefore y=x+3$.
(2)不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$. 解析:观察图象得当$x＜-4$或$0＜x＜1$时,一次函数的图象在反比例函数图象的下方,$\therefore$ 不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$.
(3)设点$C$的坐标为$(c,\frac{4}{c})$,$D(d,0)$,①以$AC,BD$为对角线,则$\begin{cases}1+c=-4+d,\\4+\frac{4}{c}=-1+0,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-\frac{4}{5},\\d=\frac{21}{5},\end{cases}\therefore \frac{4}{c}=-5$,$\therefore C(-\frac{4}{5},-5)$;②以$BC,AD$为对角线,则$\begin{cases}-4+c=1+d,\\-1+\frac{4}{c}=4+0,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=\frac{4}{5},\\d=-\frac{21}{5},\end{cases}\therefore \frac{4}{c}=5$,$\therefore C(\frac{4}{5},5)$;③以$AB,CD$为对角线,则$\begin{cases}1-4=c+d,\\4-1=\frac{4}{c}+0,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=\frac{4}{3},\\d=-\frac{13}{3},\end{cases}\therefore \frac{4}{c}=3$,$\therefore C(\frac{4}{3},3)$.
综上,当$C$的坐标为$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$或$(\frac{4}{3},3)$时,以$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形.

18. (16分)(泰州中考)已知一次函数$y_1=kx+n$（$n＜0$）和反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$（$m＞0,x＞0$）.
(1)如图①,若$n=-2$,且函数$y_1,y_2$的图象都经过点$A(3,4)$.
①求$m,k$的值；
②直接写出当$y_1＞y_2$时$x$的取值范围.
(2)如图②,过点$P(1,0)$作$y$轴的平行线$l$与函数$y_2$的图象相交于点$B$,与反比例函数$y_3=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象相交于点$C$.
①若$k=2$,直线$l$与函数$y_1$的图象相交于点$D$.当点$B,C,D$中的一点到另外两点的距离相等时,求$m-n$的值；
②过点$B$作$x$轴的平行线与函数$y_1$的图象相交于点$E$,当$m-n$的值取不大于1的任意实数时,点$B,C$间的距离与点$B,E$间的距离之和$d$始终是一个定值,求此时$k$的值及定值$d$.

(1)①$\because y_2=\frac{m}{x}(m＞0,x＞0)$,且$y_2$的图象经过点$A(3,4)$,$\therefore 4=\frac{m}{3}$,$\therefore m=12$.又$\because$ 点$A(3,4)$在$y_1=kx+n$的图象上,且$n=-2$,$\therefore 4=3k-2$,$\therefore k=2$.
②由图象可知,当$y_1＞y_2$时,$x＞3$.
(2)①$\because$ 直线$l$经过点$P(1,0)$且平行于$y$轴,点$B,C,D$都在直线$l$上,$\therefore B(1,m)$,$C(1,n)$,$D(1,n+2)$.$\because n+2＞n$,$\therefore$ 点$D$一定在点$C$的上方.$\because m＞0,n＜0$,$\therefore$ 点$B$一定在点$C$的上方,$\therefore$ 本题有三种情况:三点从上到下排列是$D,B,C$或$B,D,C$或$B$与$D$重合.
(ⅰ)从上到下排列是$D,B,C$时,则点$B$到点$D,C$的距离相等,$\therefore n+2-m=m-n$,解得$m-n=1$.
(ⅱ)从上到下排列是$B,D,C$时,同理可得$m-n=4$.
(ⅲ)当$B$与$D$重合时,可得$m=n+2$,即$m-n=2$.
综上可得,$m-n$的值为1或4或2.
②由题意可知,$B(1,m)$,$C(1,n)$,当$y_1=m$时,$kx+n=m$,$\therefore x=\frac{m-n}{k}$,$\therefore E(\frac{m-n}{k},m)$.
点$E$可能在点$B$的左侧,也可能在点$B$的右侧,$\therefore$ 本题有两种情况:
(ⅰ)当点$E$在点$B$的左侧时,$BE=1-\frac{m-n}{k}$,$BC=m-n$,$\therefore d=BC+BE=(m-n)+1-\frac{m-n}{k}=(1-\frac{1}{k})(m-n)+1$,由题意知,当$m-n$的值取不大于1的任意实数时,$d$始终是一个定值,$\therefore 1-\frac{1}{k}=0$,$\therefore k=1$,此时$d=1$;
(ⅱ)当点$E$在点$B$的右侧时,同理可得$d=(1+\frac{1}{k})(m-n)-1$,$\therefore k=-1$,$d=-1$,显然这种情况不成立.
综上可得,$k=1$,此时定值$d=1$.