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9. [2026宣城四校联考]在二次函数①$y=3x^2$，②$y=\frac{2}{3}x^2$，③$y=\frac{4}{3}x^2$中，图象在同一平面直角坐标系中的开口大小顺序，用序号表示应该为（
A.①＞②＞③
B.①＞③＞②
C.②＞③＞①
D.②＞①＞③
C
）A.①＞②＞③
B.①＞③＞②
C.②＞③＞①
D.②＞①＞③
答案
C $\because \frac{2}{3}＜\frac{4}{3}＜3,\therefore$ 对应图象开口大小的顺序为②＞③＞①.
10. [2026嘉兴南湖区段考] 已知$P(t,y_1)$，$Q(t+4,y_2)$两点在二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象上，下列判断错误的是（
A.若$t=-2$，则$y_1=y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$t=-2$
C.若$t＞0$，则$y_1＜y_2$
D.若$y_1＜y_2$，则$t＞0$
D
）A.若$t=-2$，则$y_1=y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$t=-2$
C.若$t＞0$，则$y_1＜y_2$
D.若$y_1＜y_2$，则$t＞0$
答案
D 当$t=-2$时,点$P$的坐标为$(-2,y_1)$,点$Q$的坐标为$(2,y_2)$,因为抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的对称轴为$y$轴,所以$y_1=y_2$,故选项A不符合题意;由$y_1=y_2$,得点$P$和点$Q$关于$y$轴对称,则$t+t+4=0$,解得$t=-2$,故选项B不符合题意;当$t＞0$时,点$P$和点$Q$都在$y$轴的右侧,此时$y$随$x$的增大而增大,因为$t＜t+4$,所以$y_1＜y_2$,故选项C不符合题意;由$y_1＜y_2$,得$|t|＜|t+4|$,所以不一定是$t＞0$,如$t=-1$也符合要求,故选项D符合题意.
11. 二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = ax + a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (
D
)答案
D 因为当$x=-1$时,$ax+a=a×(-1)+a=0$,所以一次函数$y=ax+a$的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$,故选项A,B错误.当$a＜0$时,二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线,顶点为原点,开口向下,一次函数$y=ax+a$的图象是一条直线,经过第二、三、四象限,故选项C错误.当$a＞0$时,二次函数$y=ax^2$的图象是抛物线,顶点为原点,开口向上,一次函数$y=ax+a$的图象是一条直线,经过第一、二、三象限,故选项D正确.
12. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点 $P$ 从点 $C$ 出发沿 $CA$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $A$ 运动,同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $CB$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动,则运动过程中所构成的 $△ CPQ$ 的面积 $y$(单位:$\mathrm{cm}^2$)与运动时间 $x$(单位:$\mathrm{s}$)之间的函数图象大致是 (
C
)答案
C 由题意可得$y=\frac{1}{2}CP· CQ=\frac{1}{2}· x· 2x=x^2(0＜x≤3)$.结合选项知选C.
13. [2026六安金安区段考] 如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象，则阴影部分的面积是
8
。答案
8 因为函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于$x$轴对称,所以题图中的阴影部分的面积等于正方形面积的一半,所以图中的阴影部分的面积是$\frac{1}{2}×4^2=8$.
14. [2026南通崇川区段考]对于二次函数$y=ax^2$和$y=bx^2$，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示：
根据表中相关数据可知：$m=$
根据表中相关数据可知：$m=$
1
，$d - c=$3
。答案
1 3
15. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象与直线$y=2x-3$交于点$(1,b)$.
(1)求$a$和$b$的值.
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
(3)当二次函数$y=ax^2$中的$y$随$x$的增大而增大时,求$x$的取值范围.
(4)求由抛物线$y=ax^2$与直线$y=-2$的两个交点及抛物线顶点构成的三角形的面积.
(1)求$a$和$b$的值.
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
(3)当二次函数$y=ax^2$中的$y$随$x$的增大而增大时,求$x$的取值范围.
(4)求由抛物线$y=ax^2$与直线$y=-2$的两个交点及抛物线顶点构成的三角形的面积.
答案
解题思路:
解:(1)把$(1,b)$代入$y=2x-3$,得$2-3=b$,解得$b=-1$.
把$(1,-1)$代入$y=ax^2$,得$-1=a$,即$a=-1$.
(2)由(1)知$a=-1$,则该二次函数的表达式为$y=-x^2$,其图象的对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$.
(3)在二次函数$y=-x^2$中,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)如图,记抛物线$y=-x^2$与直线$y=-2$的两个交点为$A$,$B$(点$A$在点$B$左侧).令$y=-2$,则$-x^2=-2$,解得$x=±\sqrt{2}$,所以点$A$的坐标为$(-\sqrt{2},-2)$,点$B$的坐标为$(\sqrt{2},-2)$,所以$AB=2\sqrt{2}$,所以$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
16. 推理能力 [2025北京房山区期中] 已知点$A(-1,3)$，$B(3,3)$，若抛物线$y=ax^2$与线段$AB$只有一个公共点，则$a$的取值范围是（
A.$0 ＜ a ≤ \frac{1}{3}$
B.$0 ＜ a ＜ 3$
C.$\frac{1}{3} ＜ a ＜ 3$
D.$\frac{1}{3} ≤ a ＜ 3$
D
）A.$0 ＜ a ≤ \frac{1}{3}$
B.$0 ＜ a ＜ 3$
C.$\frac{1}{3} ＜ a ＜ 3$
D.$\frac{1}{3} ≤ a ＜ 3$
答案
D 分情况讨论如下:当$a＜0$时,抛物线的开口向下,此时抛物线与线段$AB$没有交点,不合题意;当$a＞0$时,若抛物线$y=ax^2$与线段$AB$只有一个公共点,如图所示,当$x=3$时,$y≥3$,且当$x=-1$时,$y＜3$,即$\begin{cases}9a≥3,\\a＜3,\end{cases}$解得$\frac{1}{3}≤a＜3$.综上,$a$的取值范围是$\frac{1}{3}≤a＜3$.(数形结合思想)
