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1. [2025六安段考]二次函数$y=x^2 +4$的图象不经过的象限为（
A.第三、第四象限
B.第二、第四象限
C.第一、第二象限
D.第一、第四象限
A
）A.第三、第四象限
B.第二、第四象限
C.第一、第二象限
D.第一、第四象限
答案
1.A
∵a=1＞0,
∴抛物线$y=x^2+4$的开口向上,且最小值为4,
∴y始终为正数,
∴抛物线$y=x^2+4$不经过第三、第四象限.
∵a=1＞0,
∴抛物线$y=x^2+4$的开口向上,且最小值为4,
∴y始终为正数,
∴抛物线$y=x^2+4$不经过第三、第四象限.
2. 教材P8T3变式 若抛物线$y=x^2+1$经过点$P(m,n)$，则下列各点必在该抛物线上的是（
A.$(-m,-n)$
B.$(-m,n)$
C.$(m,-n)$
D.$(n,m)$
B
）A.$(-m,-n)$
B.$(-m,n)$
C.$(m,-n)$
D.$(n,m)$
答案
2.B
∵抛物线$y=x^2+1$关于y轴对称,且经过点$P(m,n)$,
∴点$P(m,n)$关于y轴对称的点$(-m,n)$必在该抛物线上.
∵抛物线$y=x^2+1$关于y轴对称,且经过点$P(m,n)$,
∴点$P(m,n)$关于y轴对称的点$(-m,n)$必在该抛物线上.
3. [2026合肥锦绣中学月考]下列函数中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小的是 (
A.$y=1 - x^2$
B.$y=x - 1$
C.$y=x^2 - 3$
D.$y=8x$
A
)A.$y=1 - x^2$
B.$y=x - 1$
C.$y=x^2 - 3$
D.$y=8x$
答案
3.A 对于选项A,因为-1＜0,所以图象的对称轴为y轴,开口向下,所以当x＞0时,y随x的增大而减小,符合题意;对于选项B,因为1＞0,所以y随x的增大而增大,不符合题意;对于选项C,因为1＞0,所以图象的对称轴为y轴,开口向上,所以当x＞0时,y随x的增大而增大,不符合题意;对于选项D,因为8＞0,所以y随x的增大而增大,不符合题意.
4. [2026合肥包河区期末]已知抛物线$y=(a+1)x^2 +1$的开口向下，则a的取值范围为
a ＜ -1
.答案
4. $a ＜ -1$ 由题意可得$a+1＜0$,解得$a ＜ -1$.
5. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A是抛物线$y=x^2+3$上任意一点,则OA长的最小值为
3
.答案
5. 3 易知抛物线$y=x^2+3$的开口向上,顶点坐标为$(0,3)$,
∴当点A与抛物线的顶点重合时,OA长最小,最小值为3.
∴当点A与抛物线的顶点重合时,OA长最小,最小值为3.
6. 教材 P19T4 变式 易错题 [2026 亳州质测]若抛物线$y=ax^2 +k$的顶点坐标为$(0,2)$，且形状与抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2$相同，则$a=$
$\pm \dfrac{1}{2}$
，$k=$2
。答案
6. $\pm \dfrac{1}{2}$ 2 因为抛物线$y=ax^2 +k$的顶点坐标为$(0,2)$,所以$k=2$.因为抛物线$y=ax^2 +k$与$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2$的形状相同,所以$a= \pm \dfrac{1}{2}$(不要漏掉$a=\dfrac{1}{2}$的情况).
避坑指南
抛物线形状相同,但是抛物线的开口方向可以不同,所以一定要考虑全面,不要漏解.
避坑指南
抛物线形状相同,但是抛物线的开口方向可以不同,所以一定要考虑全面,不要漏解.
7. 已知二次函数$y=ax^2 +2$的图象经过点$(1,-1)$。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)写出该函数图象的对称轴及顶点坐标。
(3)已知点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1.5,y_3)$都在该函数图象上,试比较$y_1,y_2,y_3$的大小。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)写出该函数图象的对称轴及顶点坐标。
(3)已知点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1.5,y_3)$都在该函数图象上,试比较$y_1,y_2,y_3$的大小。
答案
7. 解:(1)
∵二次函数$y=ax^2 +2$的图象经过点$(1,-1)$,
∴$a+2=-1$,解得$a=-3$,
∴该二次函数的表达式为$y=-3x^2+2$.
(2)该函数图象的对称轴为y轴,顶点坐标为$(0,2)$.
(3)当$x=-2$时,$y_1=-3×(-2)^2 +2=-10$;当$x=-1$时,$y_2=-3×(-1)^2 +2=-1$;当$x=1.5$时,$y_3=-3×1.5^2 +2=-4.75$.
∵$-10 ＜ -4.75 ＜ -1$,
∴$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$.
∵二次函数$y=ax^2 +2$的图象经过点$(1,-1)$,
∴$a+2=-1$,解得$a=-3$,
∴该二次函数的表达式为$y=-3x^2+2$.
(2)该函数图象的对称轴为y轴,顶点坐标为$(0,2)$.
(3)当$x=-2$时,$y_1=-3×(-2)^2 +2=-10$;当$x=-1$时,$y_2=-3×(-1)^2 +2=-1$;当$x=1.5$时,$y_3=-3×1.5^2 +2=-4.75$.
∵$-10 ＜ -4.75 ＜ -1$,
∴$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$.
8. [2025合肥庐阳区段考]将抛物线$y=x^2$向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式是（
A.$y=x^2+3$
B.$y=x^2-3$
C.$y=(x+3)^2$
D.$y=(x-3)^2$
A
）A.$y=x^2+3$
B.$y=x^2-3$
C.$y=(x+3)^2$
D.$y=(x-3)^2$
答案
8.A 抛物线$y = ax^2 \xrightarrow[\mathrm{平移}|k|\mathrm{个单位长度}]{\mathrm{向上}(k＞0)\mathrm{或向下}(k＜0)}$抛物线$y = ax^2 + k$
9. 教材P16T3变式 [2026合肥四十六中期中] 将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式是
$y=\dfrac{1}{2}x^2 -5$
。答案
9. $y=\dfrac{1}{2}x^2 -5$
10. 教材P16T2变式 将抛物线$y=-x^2$向下平移$k$个单位长度，得到抛物线的表达式为$y=-x^2 -2$，则$k$的值为
2
。答案
10. 2
11. 能否将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象通过上下平移，使得到的新的函数图象过点$(3, -3)$？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
答案
11. 解:能.
设平移后的函数图象的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2 + b$.
由平移后的函数图象过点$(3,-3)$,得$\dfrac{1}{3}×3^2 + b = -3$,解得$b=-6$,
所以把函数$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度,得到的图象对应函数的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2 -6$,该函数的图象过点$(3,-3)$.
设平移后的函数图象的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2 + b$.
由平移后的函数图象过点$(3,-3)$,得$\dfrac{1}{3}×3^2 + b = -3$,解得$b=-6$,
所以把函数$y=\dfrac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度,得到的图象对应函数的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2 -6$,该函数的图象过点$(3,-3)$.
