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12. 如果二次函数 $ y = ax^2 + m $ 的值恒大于0，那么必有（
A.$ a ＞ 0, m $ 取任意实数
B.$ a ＞ 0, m ＞ 0 $
C.$ a ＜ 0, m ＞ 0 $
D.$ a, m $ 均可取任意实数
B
）A.$ a ＞ 0, m $ 取任意实数
B.$ a ＞ 0, m ＞ 0 $
C.$ a ＜ 0, m ＞ 0 $
D.$ a, m $ 均可取任意实数
答案
12.B 二次函数$y=ax^2 + m$的值恒大于0,即二次函数$y=ax^2 + m$的最小值大于0,所以$a＞0,m＞0$.
13. 在平面直角坐标系中,如果把抛物线$y=2x^2$向下平移3个单位长度得到一条新的抛物线,那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是 (
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点的横坐标相同
D.顶点的纵坐标相同
D
)A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点的横坐标相同
D.顶点的纵坐标相同
答案
13.D 把抛物线$y=2x^2$向下平移3个单位长度得到新的抛物线$y=2x^2-3$,这两条抛物线的开口方向都是向上,对称轴都为直线$x=0$,顶点的横坐标都为0,顶点的纵坐标一个为0,一个为-3.
14. [2026六安段考]已知二次函数$y=2x^2+3$，若当x分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当x取$x_1+x_2$时，函数值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
14.C 二次函数$y=2x^2+3$的图象关于y轴对称,当x分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时,函数值相等,则必有$x_1+x_2=0$,所以当x取$x_1+x_2$时,$y=3$.
15. [2025安庆段考]在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=-mx + n^2$与二次函数$y=x^2 + m$的图象可能是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
15.D (排除法)由$y=x^2 + m$可知$a=1$,所以抛物线的开口向上,排除选项B.选项A,C,D中,抛物线的顶点均在y轴负半轴,可知$m＜0$,故直线$y=-mx + n^2$一定经过第一、第三象限,故选项D正确,选项A,C错误.
16. [2025六安期中]已知两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2 -1$上，下列说法正确的是（
A.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
C.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＜y_2$
D.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
D
）A.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
C.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＜y_2$
D.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
答案
16.D 画出抛物线$y=x^2 -1$如图所示
.已知抛物线$y=x^2 -1$的对称轴为y轴,由图象可知,若$x_1=-x_2$,则$y_1=y_2$,故选项A错误;若$y_1=y_2$,则$x_1=x_2$或$x_1=-x_2$,故选项B错误;若$x_1＜x_2＜0$,则$y_1＞y_2$,故选项C错误;若$0＜x_1＜x_2$,则$y_1＜y_2$,故选项D正确.17.如图,两条抛物线$y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + 1$,$y_2 = -\frac{1}{2}x^2 -1$与分别经过点$(-2,0),(2,0)$且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
8
.答案
17. 8 如图,易知将抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$向下平移2个单位长度得到抛物线$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2 -1$,所以阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积.因为分别过点$(-2,0),(2,0)$且平行于y轴的两条平行线间的距离为4,所以所求阴影部分的面积为$2×4=8$
.18. [2026合肥行知实验中学月考] 如图, 抛物线 $y=2x^2 +k$ 与直线 $y=x+2$ 交于点 $B(-1,m)$ 和点 $C(n,\frac{7}{2})$, 若抛物线的顶点为A, 求$△ ABC$的面积.
答案
18. 解:因为点$B(-1,m)$在直线$y=x+2$上,
所以$m=-1+2=1$,所以点B的坐标为$(-1,1)$.
因为点$C(n,\dfrac{7}{2})$在直线$y=x+2$上,
所以$\dfrac{7}{2}=n+2$,解得$n=\dfrac{3}{2}$,
所以点C的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2})$.
因为点$B(-1,1)$在抛物线$y=2x^2 +k$上,
所以$2+k=1$,解得$k=-1$,所以$y=2x^2 -1$,
所以抛物线的顶点A的坐标为$(0,-1)$.
设直线$y=x+2$与y轴的交点为Q,则点Q的坐标为$(0,2)$,
所以$S_{△ABC}=S_{△AQB}+S_{△AQC}=\dfrac{1}{2}×(1+2)×1+\dfrac{1}{2}×(1+2)×\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{4}$.
所以$m=-1+2=1$,所以点B的坐标为$(-1,1)$.
因为点$C(n,\dfrac{7}{2})$在直线$y=x+2$上,
所以$\dfrac{7}{2}=n+2$,解得$n=\dfrac{3}{2}$,
所以点C的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2})$.
因为点$B(-1,1)$在抛物线$y=2x^2 +k$上,
所以$2+k=1$,解得$k=-1$,所以$y=2x^2 -1$,
所以抛物线的顶点A的坐标为$(0,-1)$.
设直线$y=x+2$与y轴的交点为Q,则点Q的坐标为$(0,2)$,
所以$S_{△ABC}=S_{△AQB}+S_{△AQC}=\dfrac{1}{2}×(1+2)×1+\dfrac{1}{2}×(1+2)×\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{4}$.
19. 推理能力 [2024 赤峰中考] 如图,正方形$ABCD$的顶点$A,C$在抛物线$y=-x^2+4$上,点$D$在$y$轴上.若$A,C$两点的横坐标分别为$m,n(m＞n＞0)$,下列结论正确的是 (
A.$m+n=1$
B.$m-n=1$
C.$mn=1$
D.$\frac{m}{n}=1$
B
)A.$m+n=1$
B.$m-n=1$
C.$mn=1$
D.$\frac{m}{n}=1$
答案
19.B 如图,分别过点A和点C作y轴的垂线,垂足分别为M和N.易得点A的坐标为$(m,-m^2+4)$,点C的坐标为$(n,-n^2+4)$,所以$AM=m$,$MO=-m^2+4$,$CN=n$,$NO=-n^2+4$.因为四边形ABCD是正方形,所以$AD=CD$,$∠ADC=90°$,所以$∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°$,所以$∠CDN=∠DAM$. 在$△CDN$和$△DAM$中,$\begin{cases}∠CND=∠DMA,\\∠CDN=∠DAM,\\CD=DA,\end{cases}$所以$△CDN≌△DAM$("一线三等角"模型),所以$DM=CN=n$,$DN=AM=m$,所以$MN=DN+DM=m+n$.又因为$MN=NO-MO=m^2-n^2$,所以$m^2-n^2=m+n$,即$(m+n)(m-n)=m+n$.因为$m＞n＞0$,所以$m+n≠0$,所以$m-n=1$
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