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1.(丹东中考)下列运算正确的是 (
A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$(ab)^3 = a^3b^3$
D.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
C
)A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$(ab)^3 = a^3b^3$
D.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查幂的各类运算法则的应用，解题思路为：先分别回忆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算规则，再逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则，即可选出正确结果。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5≠ a^6$，该选项运算错误；
B. 幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6≠ a^5$，该选项运算错误；
C. 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^3 = a^3b^3$，该选项运算正确；
D. 同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2}=a^6≠ a^4$，该选项运算错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查对幂的运算法则的熟练掌握程度，解题时要注意区分不同运算法则中指数的运算规则，避免混淆法则出现错误。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的各类运算法则的应用，解题思路为：先分别回忆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算规则，再逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则，即可选出正确结果。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5≠ a^6$，该选项运算错误；
B. 幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6≠ a^5$，该选项运算错误；
C. 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^3 = a^3b^3$，该选项运算正确；
D. 同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2}=a^6≠ a^4$，该选项运算错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查对幂的运算法则的熟练掌握程度，解题时要注意区分不同运算法则中指数的运算规则，避免混淆法则出现错误。
【难度系数】
0.85
2.(河北中考)若$k$为正整数，则$\underbrace{(k + k + \dots + k)}_{k个k}^k = ( )$
A.$k^{2k}$
B.$k^{2k+1}$
C.$2k^k$
D.$k^{2 + k}$
A.$k^{2k}$
B.$k^{2k+1}$
C.$2k^k$
D.$k^{2 + k}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从化简括号内的式子入手：首先括号内是k个k相加，根据乘法的意义，几个相同加数的和可以转化为乘法运算，先算出括号内的结果，再对结果进行乘方运算，最后结合幂的乘方运算法则即可求出最终结果，对应选项选出答案。
【解析】
第一步：化简括号内的加法运算
k个k相加，即$\underbrace{k + k + \dots + k}_{k个k}$，根据乘法的意义可转化为乘法：$k × k = k^2$；
第二步：计算整体的乘方运算
原式变为$(k^2)^k$，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（a≠0，m、n为正整数），代入得$(k^2)^k = k^{2 × k} = k^{2k}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 乘法的意义
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是先正确将多个相同加数的加法转化为乘法，再结合幂的运算法则计算，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先从化简括号内的式子入手：首先括号内是k个k相加，根据乘法的意义，几个相同加数的和可以转化为乘法运算，先算出括号内的结果，再对结果进行乘方运算，最后结合幂的乘方运算法则即可求出最终结果，对应选项选出答案。
【解析】
第一步：化简括号内的加法运算
k个k相加，即$\underbrace{k + k + \dots + k}_{k个k}$，根据乘法的意义可转化为乘法：$k × k = k^2$；
第二步：计算整体的乘方运算
原式变为$(k^2)^k$，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（a≠0，m、n为正整数），代入得$(k^2)^k = k^{2 × k} = k^{2k}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 乘法的意义
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是先正确将多个相同加数的加法转化为乘法，再结合幂的运算法则计算，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3.(逆向思维)已知$4^m=a$,$8^n=b$,其中$m$,$n$为正整数,则$2^{2m+6n}=$ (
A.$ab^2$
B.$a+b^2$
C.$a^2b^3$
D.$a^2+b^3$
A
)A.$ab^2$
B.$a+b^2$
C.$a^2b^3$
D.$a^2+b^3$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查幂的运算的应用，解题思路如下：首先将已知条件中以4、8为底的幂转化为以2为底的幂，得到与待求式底数相同的幂的表达式；再利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将待求式拆分为可与已知条件对应的形式；最后代入已知的a、b进行代换即可得到结果。
【解析】
首先对已知条件变形：
∵$4=2^2$，
∴$4^m=(2^2)^m=2^{2m}=a$；
∵$8=2^3$，
∴$8^n=(2^3)^n=2^{3n}=b$，对该式两边同时平方可得：$(2^{3n})^2=2^{6n}=b^2$；
再对待求式变形，根据同底数幂的乘法法则：
$2^{2m+6n}=2^{2m}·2^{6n}$
将$2^{2m}=a$，$2^{6n}=b^2$代入上式，可得：
$2^{2m+6n}=a·b^2=ab^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题需要逆向运用幂的运算公式求解，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合公式变形代换，侧重考察对幂运算法则的灵活运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算的应用，解题思路如下：首先将已知条件中以4、8为底的幂转化为以2为底的幂，得到与待求式底数相同的幂的表达式；再利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将待求式拆分为可与已知条件对应的形式；最后代入已知的a、b进行代换即可得到结果。
【解析】
首先对已知条件变形：
∵$4=2^2$，
∴$4^m=(2^2)^m=2^{2m}=a$；
∵$8=2^3$，
∴$8^n=(2^3)^n=2^{3n}=b$，对该式两边同时平方可得：$(2^{3n})^2=2^{6n}=b^2$；
再对待求式变形，根据同底数幂的乘法法则：
$2^{2m+6n}=2^{2m}·2^{6n}$
将$2^{2m}=a$，$2^{6n}=b^2$代入上式，可得：
$2^{2m+6n}=a·b^2=ab^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题需要逆向运用幂的运算公式求解，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合公式变形代换，侧重考察对幂运算法则的灵活运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
4.计算：$(-3)^{2027} × (-\dfrac{1}{3})^{2025} =$
9
。答案
4.9
解析
【分析】
本题属于幂的乘法运算类题目，观察发现两个幂的底数互为负倒数，解题思路如下：首先利用同底数幂乘法法则的逆用，将指数更高的$(-3)^{2027}$拆分为$(-3)^2 × (-3)^{2025}$，使两个幂获得相同的指数2025；再利用积的乘方的逆运算$a^n · b^n=(ab)^n$，将同指数部分的底数先相乘简化计算，最后计算剩余的乘方和乘法即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\quad(-3)^{2027} × (-\dfrac{1}{3})^{2025}\\&=(-3)^{2+2025} × (-\dfrac{1}{3})^{2025}\\&=(-3)^2 × (-3)^{2025} × (-\dfrac{1}{3})^{2025}\\&=9 × [ (-3) × (-\dfrac{1}{3}) ]^{2025}\\&=9 × 1^{2025}\\&=9 × 1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
积的乘方逆运算，同底数幂的乘法，有理数乘方
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，解题核心是通过拆分幂的指数构造同指数幂，再利用积的乘方逆运算简化计算，熟练掌握幂的各类运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题属于幂的乘法运算类题目，观察发现两个幂的底数互为负倒数，解题思路如下：首先利用同底数幂乘法法则的逆用，将指数更高的$(-3)^{2027}$拆分为$(-3)^2 × (-3)^{2025}$，使两个幂获得相同的指数2025；再利用积的乘方的逆运算$a^n · b^n=(ab)^n$，将同指数部分的底数先相乘简化计算，最后计算剩余的乘方和乘法即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\quad(-3)^{2027} × (-\dfrac{1}{3})^{2025}\\&=(-3)^{2+2025} × (-\dfrac{1}{3})^{2025}\\&=(-3)^2 × (-3)^{2025} × (-\dfrac{1}{3})^{2025}\\&=9 × [ (-3) × (-\dfrac{1}{3}) ]^{2025}\\&=9 × 1^{2025}\\&=9 × 1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
积的乘方逆运算，同底数幂的乘法，有理数乘方
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，解题核心是通过拆分幂的指数构造同指数幂，再利用积的乘方逆运算简化计算，熟练掌握幂的各类运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.计算：
(1)$a · a^2 · a^3 + (a^3)^2 - (2a^2)^3$；
(2)$(-8)^{57} × 0.125^{55}$。
(1)$a · a^2 · a^3 + (a^3)^2 - (2a^2)^3$；
(2)$(-8)^{57} × 0.125^{55}$。
答案
5.(1)原式$=-6a^6$ (2)原式$=-64$
解析
【分析】
(1) 解题时先分别识别每一项对应的整式乘法运算法则：第一项用同底数幂的乘法法则计算，第二项用幂的乘方法则计算，第三项用积的乘方法则计算，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 观察到-8与0.125互为倒数，乘积为-1，因此可先将$(-8)^{57}$拆分为$(-8)^2×(-8)^{55}$，再利用积的乘方的逆运算将指数均为55的两项合并计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 分步计算各项：
根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），得$a·a^2·a^3 = a^{1+2+3}=a^6$；
根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），得$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$；
根据积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），得$(2a^2)^3 = 2^3·(a^2)^3=8a^6$；
合并同类项：原式$=a^6 + a^6 - 8a^6 = -6a^6$。
(2) 拆分高次项后逆用公式计算：
先把$(-8)^{57}$拆分为$(-8)^{55+2}=(-8)^2×(-8)^{55}$，代入原式得：
原式$=(-8)^2×(-8)^{55}×0.125^{55}$
根据积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，得：
$(-8)^{55}×0.125^{55}=(-8×0.125)^{55}=(-1)^{55}=-1$
代入计算得：原式$=64×(-1)=-64$。
【答案】
(1)$-6a^6$；(2)$-64$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；积的乘方的逆应用
【点评】
本题重点考查整式乘法相关运算法则的应用，解题时需准确区分不同运算法则的使用条件，注意运算过程中的符号处理，第二题要学会观察数字特征，灵活运用逆运算简化计算，避免直接计算高次幂导致出错。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先分别识别每一项对应的整式乘法运算法则：第一项用同底数幂的乘法法则计算，第二项用幂的乘方法则计算，第三项用积的乘方法则计算，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 观察到-8与0.125互为倒数，乘积为-1，因此可先将$(-8)^{57}$拆分为$(-8)^2×(-8)^{55}$，再利用积的乘方的逆运算将指数均为55的两项合并计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 分步计算各项：
根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），得$a·a^2·a^3 = a^{1+2+3}=a^6$；
根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），得$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$；
根据积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），得$(2a^2)^3 = 2^3·(a^2)^3=8a^6$；
合并同类项：原式$=a^6 + a^6 - 8a^6 = -6a^6$。
(2) 拆分高次项后逆用公式计算：
先把$(-8)^{57}$拆分为$(-8)^{55+2}=(-8)^2×(-8)^{55}$，代入原式得：
原式$=(-8)^2×(-8)^{55}×0.125^{55}$
根据积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，得：
$(-8)^{55}×0.125^{55}=(-8×0.125)^{55}=(-1)^{55}=-1$
代入计算得：原式$=64×(-1)=-64$。
【答案】
(1)$-6a^6$；(2)$-64$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；积的乘方的逆应用
【点评】
本题重点考查整式乘法相关运算法则的应用，解题时需准确区分不同运算法则的使用条件，注意运算过程中的符号处理，第二题要学会观察数字特征，灵活运用逆运算简化计算，避免直接计算高次幂导致出错。
【难度系数】
0.7
6.(1)若$x^m=2$，$x^n=3$，求$x^{3m+2n}$的值；
(2)若$2×8^x×16^x=2^{22}$，求$x$的值。
(2)若$2×8^x×16^x=2^{22}$，求$x$的值。
答案
6.(1)$\because x^m=2,x^n=3,\therefore x^{3m+2n}=x^{3m} · x^{2n}=(x^m)^3 · (x^n)^2=2^3×3^2=8×9=72$
(2)$\because 2×8^x×16^x=2^{22},\therefore 2×(2^3)^x×(2^4)^x=2^{22},\therefore 2×2^{3x}×2^{4x}=2^{22},\therefore 2^{1+7x}=2^{22},\therefore 1+7x=22,$解得$x=3$
(2)$\because 2×8^x×16^x=2^{22},\therefore 2×(2^3)^x×(2^4)^x=2^{22},\therefore 2×2^{3x}×2^{4x}=2^{22},\therefore 2^{1+7x}=2^{22},\therefore 1+7x=22,$解得$x=3$
解析
【分析】
(1) 求解$x^{3m+2n}$时，先观察指数为和的形式，可利用同底数幂乘法的逆运算拆分为$x^{3m}·x^{2n}$；再根据幂的乘方的逆运算，将$x^{3m}$转化为$(x^m)^3$，$x^{2n}$转化为$(x^n)^2$，最后代入已知数值计算即可。
(2) 等式左侧底数不统一，先将8、16转化为以2为底的幂，再用幂的乘方法则化简，之后通过同底数幂的乘法法则将左侧合并为底数为2的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”列一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 已知$x^m=2$，$x^n=3$，根据幂的运算法则逆用可得：
$x^{3m+2n}=x^{3m} · x^{2n}=(x^m)^3 · (x^n)^2$
代入数值计算：
$(x^m)^3 · (x^n)^2=2^3 × 3^2=8 × 9=72$
(2) 已知$2 × 8^x × 16^x=2^{22}$，先统一底数：$8=2^3$，$16=2^4$，代入得：
$2 × (2^3)^x × (2^4)^x=2^{22}$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简得：
$2 × 2^{3x} × 2^{4x}=2^{22}$
根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n=a^{m+n}$合并左侧得：
$2^{1+3x+4x}=2^{22}$，即$2^{1+7x}=2^{22}$
由同底数幂相等则指数相等，可得：
$1+7x=22$
解得$x=3$
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) $\boxed{x=3}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，包含法则的正向应用和逆向变形，解题时遇到不同底数的幂相乘，优先统一底数再运算，熟练掌握运算法则是解题关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求解$x^{3m+2n}$时，先观察指数为和的形式，可利用同底数幂乘法的逆运算拆分为$x^{3m}·x^{2n}$；再根据幂的乘方的逆运算，将$x^{3m}$转化为$(x^m)^3$，$x^{2n}$转化为$(x^n)^2$，最后代入已知数值计算即可。
(2) 等式左侧底数不统一，先将8、16转化为以2为底的幂，再用幂的乘方法则化简，之后通过同底数幂的乘法法则将左侧合并为底数为2的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”列一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 已知$x^m=2$，$x^n=3$，根据幂的运算法则逆用可得：
$x^{3m+2n}=x^{3m} · x^{2n}=(x^m)^3 · (x^n)^2$
代入数值计算：
$(x^m)^3 · (x^n)^2=2^3 × 3^2=8 × 9=72$
(2) 已知$2 × 8^x × 16^x=2^{22}$，先统一底数：$8=2^3$，$16=2^4$，代入得：
$2 × (2^3)^x × (2^4)^x=2^{22}$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简得：
$2 × 2^{3x} × 2^{4x}=2^{22}$
根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n=a^{m+n}$合并左侧得：
$2^{1+3x+4x}=2^{22}$，即$2^{1+7x}=2^{22}$
由同底数幂相等则指数相等，可得：
$1+7x=22$
解得$x=3$
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) $\boxed{x=3}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，包含法则的正向应用和逆向变形，解题时遇到不同底数的幂相乘，优先统一底数再运算，熟练掌握运算法则是解题关键。
【难度系数】
0.8
7.计算$(2m+1)(3m-2)$，结果正确的是（
A.$6m^2 - m - 2$
B.$6m^2 + m - 2$
C.$6m^2$
D.$5m - 1$
A
）A.$6m^2 - m - 2$
B.$6m^2 + m - 2$
C.$6m^2$
D.$5m - 1$
答案
7.A
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题时需按照多项式乘多项式的法则逐步展开，再合并同类项，将最终结果与选项对比即可得到正确答案。思考时首先回忆多项式乘多项式的运算规则：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，运算过程中要注意各项的符号，避免出现符号错误，最后合并同类项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(2m+1)(3m-2)&=2m·3m + 2m·(-2) + 1·3m + 1·(-2)\\&=6m^2 - 4m + 3m - 2\\&=6m^2 - m - 2\end{aligned}$
对比选项，结果与A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，运算时要注意不要漏乘多项式的项，同时注意带负号的项相乘时的符号问题，合并同类项时要准确判断同类项再合并。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式乘多项式的运算，解题时需按照多项式乘多项式的法则逐步展开，再合并同类项，将最终结果与选项对比即可得到正确答案。思考时首先回忆多项式乘多项式的运算规则：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，运算过程中要注意各项的符号，避免出现符号错误，最后合并同类项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(2m+1)(3m-2)&=2m·3m + 2m·(-2) + 1·3m + 1·(-2)\\&=6m^2 - 4m + 3m - 2\\&=6m^2 - m - 2\end{aligned}$
对比选项，结果与A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，运算时要注意不要漏乘多项式的项，同时注意带负号的项相乘时的符号问题，合并同类项时要准确判断同类项再合并。
【难度系数】
0.8
8.若$(-2x^2)(3x^2 - ax - 6) - 3x^3 + x^2$中不含$x^3$项，则$a=$
$\dfrac{3}{2}$
.答案
8.$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
本题的核心是理解“多项式中不含x³项”的含义：即展开合并同类项后，x³项的系数为0。解题时先按照单项式乘多项式的法则展开原式的乘法部分，再合并同类项找到x³项的系数，令其等于0建立方程，求解即可得到a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(-2x^2)(3x^2 - ax - 6) - 3x^3 + x^2\\=&-2x^2·3x^2 + (-2x^2)·(-ax) + (-2x^2)·(-6) - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + 2ax^3 + 12x^2 - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + (2a - 3)x^3 + 13x^2\end{aligned}$
因为原式不含x³项，所以x³项的系数为0，即：
$2a - 3 = 0$
解得：$a = \frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、无关项系数特性
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题关键是掌握“不含某一项则该项系数为0”的规律，计算时要注意单项式乘多项式的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
本题的核心是理解“多项式中不含x³项”的含义：即展开合并同类项后，x³项的系数为0。解题时先按照单项式乘多项式的法则展开原式的乘法部分，再合并同类项找到x³项的系数，令其等于0建立方程，求解即可得到a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(-2x^2)(3x^2 - ax - 6) - 3x^3 + x^2\\=&-2x^2·3x^2 + (-2x^2)·(-ax) + (-2x^2)·(-6) - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + 2ax^3 + 12x^2 - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + (2a - 3)x^3 + 13x^2\end{aligned}$
因为原式不含x³项，所以x³项的系数为0，即：
$2a - 3 = 0$
解得：$a = \frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、无关项系数特性
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题关键是掌握“不含某一项则该项系数为0”的规律，计算时要注意单项式乘多项式的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
9.计算：
(1)$a(2a+3b)$；
(2)$(a+3b)(2a-b)$。
(1)$a(2a+3b)$；
(2)$(a+3b)(2a-b)$。
答案
9.(1)原式$=2a^2+3ab$ (2)原式$=2a^2+5ab-3b^2$
解析
【分析】
(1)该式属于单项式乘多项式运算，解题时需运用单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再将所得的积相加即可得到结果。
(2)该式属于多项式乘多项式运算，解题时需运用多项式乘多项式法则：先用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所得的积相加，最后合并同类项即可，计算时需注意各项的符号，避免漏乘。
【解析】
(1)根据单项式乘多项式法则计算：
原式$=a·2a + a·3b = 2a^2 + 3ab$
(2)根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
原式$=a·2a + a·(-b) + 3b·2a + 3b·(-b)$
$=2a^2 - ab + 6ab - 3b^2$
$=2a^2 + 5ab - 3b^2$
【答案】
(1)$2a^2+3ab$；(2)$2a^2+5ab-3b^2$
【知识点】
单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础常规题，核心考查整式乘法的运算法则，计算时要注意不要漏乘多项式的项，合并同类项时需准确判断符号，熟练掌握相关法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
(1)该式属于单项式乘多项式运算，解题时需运用单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再将所得的积相加即可得到结果。
(2)该式属于多项式乘多项式运算，解题时需运用多项式乘多项式法则：先用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所得的积相加，最后合并同类项即可，计算时需注意各项的符号，避免漏乘。
【解析】
(1)根据单项式乘多项式法则计算：
原式$=a·2a + a·3b = 2a^2 + 3ab$
(2)根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
原式$=a·2a + a·(-b) + 3b·2a + 3b·(-b)$
$=2a^2 - ab + 6ab - 3b^2$
$=2a^2 + 5ab - 3b^2$
【答案】
(1)$2a^2+3ab$；(2)$2a^2+5ab-3b^2$
【知识点】
单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础常规题，核心考查整式乘法的运算法则，计算时要注意不要漏乘多项式的项，合并同类项时需准确判断符号，熟练掌握相关法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
10.化简:$[x(x^{2}-2x+3)-3x]÷\frac{1}{2}x^{2}.$
答案
10.原式$=2x-4$
解析
【分析】
这是整式的混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算括号外，先乘除后加减”的运算顺序：第一步先计算括号内的单项式乘多项式，展开乘积后合并同类项化简括号内的式子；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘它的倒数），再按单项式除以单项式的法则计算，即可得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}x(x^2-2x+3)-3x&=x^3-2x^2+3x-3x\\&=x^3-2x^2\end{aligned}$
再计算除法运算，除以$\frac{1}{2}x^2$等价于乘$\frac{2}{x^2}$：
$\begin{aligned}(x^3-2x^2)÷\frac{1}{2}x^2&=(x^3-2x^2)×\frac{2}{x^2}\\&=x^3×\frac{2}{x^2} - 2x^2×\frac{2}{x^2}\\&=2x-4\end{aligned}$
【答案】
$2x-4$
【知识点】
单项式乘多项式；整式的加减；整式的除法
【点评】
本题考查整式的混合运算，核心是熟练掌握整式各类运算的法则，运算时要注意运算顺序，合并同类项时要辨清同类项，除法转化为乘法时不要漏乘系数，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这是整式的混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算括号外，先乘除后加减”的运算顺序：第一步先计算括号内的单项式乘多项式，展开乘积后合并同类项化简括号内的式子；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘它的倒数），再按单项式除以单项式的法则计算，即可得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}x(x^2-2x+3)-3x&=x^3-2x^2+3x-3x\\&=x^3-2x^2\end{aligned}$
再计算除法运算，除以$\frac{1}{2}x^2$等价于乘$\frac{2}{x^2}$：
$\begin{aligned}(x^3-2x^2)÷\frac{1}{2}x^2&=(x^3-2x^2)×\frac{2}{x^2}\\&=x^3×\frac{2}{x^2} - 2x^2×\frac{2}{x^2}\\&=2x-4\end{aligned}$
【答案】
$2x-4$
【知识点】
单项式乘多项式；整式的加减；整式的除法
【点评】
本题考查整式的混合运算，核心是熟练掌握整式各类运算的法则，运算时要注意运算顺序，合并同类项时要辨清同类项，除法转化为乘法时不要漏乘系数，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
11.(贵阳中考)计算$(-4xy^2 + 3x^2 y)(4xy^2 + 3x^2 y)$的最佳方法是（
A.运用多项式乘多项式法则
B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则
D.运用完全平方公式
B
）A.运用多项式乘多项式法则
B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则
D.运用完全平方公式
答案
11.B
解析
【分析】
拿到两个多项式相乘的题目时，先不要直接硬算，优先观察两个因式的结构特征：第一步找相同项，两个因式中都含有$3x^2 y$，属于相同项；第二步找相反项，第一个因式中的$-4xy^2$和第二个因式中的$4xy^2$互为相反数。此时可发现式子刚好符合平方差公式“两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差”的结构，因此优先选择平方差公式计算，是最简便的方法。
【解析】
先将原式调整顺序，把相同项放在两项的前侧，可得：
原式$=(3x^2 y - 4xy^2)(3x^2 y + 4xy^2)$
该式完全符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$的结构，其中相同项$a=3x^2 y$，相反项的绝对值$b=4xy^2$，运用平方差公式计算最为简便。
逐一排除其他选项：
A选项：多项式乘多项式法则虽可算出结果，但计算步骤多，不是最佳方法；
C选项：两个因式均为多项式，不符合单项式乘多项式的适用条件；
D选项：完全平方公式适用于$(a\pm b)^2$的结构，本题不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题考查整式乘法运算中简便方法的选择，解题核心是熟练掌握各类整式乘法法则、乘法公式的结构特征，能够快速匹配对应方法，有效减少计算量、提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
拿到两个多项式相乘的题目时，先不要直接硬算，优先观察两个因式的结构特征：第一步找相同项，两个因式中都含有$3x^2 y$，属于相同项；第二步找相反项，第一个因式中的$-4xy^2$和第二个因式中的$4xy^2$互为相反数。此时可发现式子刚好符合平方差公式“两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差”的结构，因此优先选择平方差公式计算，是最简便的方法。
【解析】
先将原式调整顺序，把相同项放在两项的前侧，可得：
原式$=(3x^2 y - 4xy^2)(3x^2 y + 4xy^2)$
该式完全符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$的结构，其中相同项$a=3x^2 y$，相反项的绝对值$b=4xy^2$，运用平方差公式计算最为简便。
逐一排除其他选项：
A选项：多项式乘多项式法则虽可算出结果，但计算步骤多，不是最佳方法；
C选项：两个因式均为多项式，不符合单项式乘多项式的适用条件；
D选项：完全平方公式适用于$(a\pm b)^2$的结构，本题不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题考查整式乘法运算中简便方法的选择，解题核心是熟练掌握各类整式乘法法则、乘法公式的结构特征，能够快速匹配对应方法，有效减少计算量、提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
12.运用乘法公式计算：
(1)$(m - 2n + 3)(m + 2n - 3)$；
(2)$(a - 3b + 2)^2$。
(1)$(m - 2n + 3)(m + 2n - 3)$；
(2)$(a - 3b + 2)^2$。
答案
12.(1)原式$=m^2-4n^2+12n-9$ (2)原式$=a^2-6ab+9b^2+4a-12b+4$
解析
【分析】
对于多个项的整式乘法，优先观察式子结构，将其转化为已学乘法公式的形式简化计算：
(1) 观察两个因式，相同项为$m$，相反项为$(-2n+3)$和$(2n-3)$，可将相反项打包为整体，构造平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，再展开计算即可。
(2) 三项的平方运算，可将其中两项合并为一个整体，转化为两数和的平方形式，再利用完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$逐步展开，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[m-(2n-3)][m+(2n-3)]\\&=m^2-(2n-3)^2\\&=m^2-(4n^2-12n+9)\\&=m^2-4n^2+12n-9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a-3b)+2]^2\\&=(a-3b)^2+2×(a-3b)×2+2^2\\&=a^2-6ab+9b^2+4a-12b+4\end{aligned}$
【答案】
(1)$m^2-4n^2+12n-9$；(2)$a^2-6ab+9b^2+4a-12b+4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活应用，解题核心是通过添括号构造符合乘法公式的结构，运用整体思想降低计算难度，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免漏乘项。
【难度系数】
0.7
对于多个项的整式乘法，优先观察式子结构，将其转化为已学乘法公式的形式简化计算：
(1) 观察两个因式，相同项为$m$，相反项为$(-2n+3)$和$(2n-3)$，可将相反项打包为整体，构造平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，再展开计算即可。
(2) 三项的平方运算，可将其中两项合并为一个整体，转化为两数和的平方形式，再利用完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$逐步展开，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[m-(2n-3)][m+(2n-3)]\\&=m^2-(2n-3)^2\\&=m^2-(4n^2-12n+9)\\&=m^2-4n^2+12n-9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a-3b)+2]^2\\&=(a-3b)^2+2×(a-3b)×2+2^2\\&=a^2-6ab+9b^2+4a-12b+4\end{aligned}$
【答案】
(1)$m^2-4n^2+12n-9$；(2)$a^2-6ab+9b^2+4a-12b+4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活应用，解题核心是通过添括号构造符合乘法公式的结构，运用整体思想降低计算难度，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免漏乘项。
【难度系数】
0.7
